论文部分内容阅读
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像是抛物线,抛物线的对称轴是x=-■,顶点坐标为(-■,■),系数a、b、c的符号与抛物线的位置之间有如下关系:
1.二次项系数a的符号决定抛物线开口方向。
a>0?圳开口向上;a<0?圳开口向下。
2.a、b的符号决定对称轴x=-■的位置。
b=0?圳对称轴是y轴;
ab>0(a、b同号)?圳对称轴在y轴左侧;
ab<0(a、b异号)?圳对称轴在y轴右侧。简记为“左同右异”。
3.c的符号决定抛物线与y轴交点的位置。
c=0?圳抛物线经过原点;
c>0?圳抛物线与y轴交与正半轴;
c<0?圳抛物线与y轴交与负半轴;
应用上述关系可准确快速地解决由a、b、c的符号判定抛物线的位置,或者根据抛物线的位置判定a、b、c的符号等问题。
一、由系数符号判定抛物线的位置
例1 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中a<0、b>0、c=0,则下列图像正确的是()
■
分析:由c=0知图像经过原点,可排除(A)、(D);由a<0、b>0知,对称轴在y轴右侧可排除(B),所以选(C)。
例2 已知a<0、b>0、c>0,那么抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点在()
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
分析:由a<0、b>0知,x=-■>0;由c>0知ac<0,从而4ac-b2<0,所以■>0,抛物线的顶点在第一象限内,所以选(A)。
二、由抛物线的位置确定a、b、c的符号及代数式的符号
例3 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图1所示,則a、b、c应满足()
(A)a<0、b<0、c>0 (B)a<0、b>0、c>0
(C)a>0、b<0、c>0 (D)a<0、b<0、c<0
分析:由抛物线开口向下知a<0,可排除(C),由对称轴在y轴左侧知a、b同号,可排除(B),由抛物线与y轴交于正半轴知c>0,可排除(D),所以选(A)。
例4 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图2所示,则下列关于a、b、c间的关系式的判断正确的是()
(A)ab<0 (B)bc<0
(C)a+b+c>0 (D)a-b+c<0
分析:由抛物线开口向下知a<0,由对称轴在y轴左侧知ab>0且b<0可排除(A);由抛物线与y轴交于负半轴知c<0,所以bc>0,可排除(B);当x=1 时,抛物线在x轴下方,所以y=a+b+c<0,所以可排除(C),当x=-1时,抛物线在x轴下方,所以y=a-b+c<0,所以应选(D)。
三、综合运用图像及a、b、c的符号特征解决相关问题
例5 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图3所示,则点M(b,■)在()
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
分析:由图像开口向下知a<0,由图像与y轴交于正半轴知c>0,所以■<0;由对称轴在y轴右侧知ab<0,所以b>0,所以M(b,■)在第四象限,应选(D)。
例6 若一次函数y=ax+b的图像经过二、三、四象限,则二次函数y=ax2+b的图像可能是()
■
分析:由y=ax+b的图像经过二、三、四象限知a<0,b<0;由a<0 知抛物线开口向下,可排除(A)、(B),由ab>0知对称轴在y轴左侧,可排除(D),所以应选(C)。
1.二次项系数a的符号决定抛物线开口方向。
a>0?圳开口向上;a<0?圳开口向下。
2.a、b的符号决定对称轴x=-■的位置。
b=0?圳对称轴是y轴;
ab>0(a、b同号)?圳对称轴在y轴左侧;
ab<0(a、b异号)?圳对称轴在y轴右侧。简记为“左同右异”。
3.c的符号决定抛物线与y轴交点的位置。
c=0?圳抛物线经过原点;
c>0?圳抛物线与y轴交与正半轴;
c<0?圳抛物线与y轴交与负半轴;
应用上述关系可准确快速地解决由a、b、c的符号判定抛物线的位置,或者根据抛物线的位置判定a、b、c的符号等问题。
一、由系数符号判定抛物线的位置
例1 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中a<0、b>0、c=0,则下列图像正确的是()
■
分析:由c=0知图像经过原点,可排除(A)、(D);由a<0、b>0知,对称轴在y轴右侧可排除(B),所以选(C)。
例2 已知a<0、b>0、c>0,那么抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点在()
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
分析:由a<0、b>0知,x=-■>0;由c>0知ac<0,从而4ac-b2<0,所以■>0,抛物线的顶点在第一象限内,所以选(A)。
二、由抛物线的位置确定a、b、c的符号及代数式的符号
例3 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图1所示,則a、b、c应满足()
(A)a<0、b<0、c>0 (B)a<0、b>0、c>0
(C)a>0、b<0、c>0 (D)a<0、b<0、c<0
分析:由抛物线开口向下知a<0,可排除(C),由对称轴在y轴左侧知a、b同号,可排除(B),由抛物线与y轴交于正半轴知c>0,可排除(D),所以选(A)。
例4 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图2所示,则下列关于a、b、c间的关系式的判断正确的是()
(A)ab<0 (B)bc<0
(C)a+b+c>0 (D)a-b+c<0
分析:由抛物线开口向下知a<0,由对称轴在y轴左侧知ab>0且b<0可排除(A);由抛物线与y轴交于负半轴知c<0,所以bc>0,可排除(B);当x=1 时,抛物线在x轴下方,所以y=a+b+c<0,所以可排除(C),当x=-1时,抛物线在x轴下方,所以y=a-b+c<0,所以应选(D)。
三、综合运用图像及a、b、c的符号特征解决相关问题
例5 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图3所示,则点M(b,■)在()
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
分析:由图像开口向下知a<0,由图像与y轴交于正半轴知c>0,所以■<0;由对称轴在y轴右侧知ab<0,所以b>0,所以M(b,■)在第四象限,应选(D)。
例6 若一次函数y=ax+b的图像经过二、三、四象限,则二次函数y=ax2+b的图像可能是()
■
分析:由y=ax+b的图像经过二、三、四象限知a<0,b<0;由a<0 知抛物线开口向下,可排除(A)、(B),由ab>0知对称轴在y轴左侧,可排除(D),所以应选(C)。