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摘 要： 用试探函数法求得一类反应扩散方程的反应扩散方程通解，验证当参数 m =1时解的正确性，得到连接不同平衡点的异宿轨道.可以把该解法推广到高维反应扩散方程中.
关键词： 反应扩散方程; 行波解;平衡点;异宿轨道
[中图分类号]O415 [文献标志码]A
Travelling Wave Solutions to a Kind of Reaction-diffusion Equations
ZHOU Xiao-yan， HU-Ping LIANG Qing-qing
（Lan Zhou University of arts and science ，Lanzhou 730070，China）
Abstract： By using the trial function method， we obtained the general solutions of reaction diffusion equations， And obtained the heteroclinic orbit of connecting to a different equilibrium point.The results show that it is righted when the parameter m=1， It is shown that the method can also be used to solve high-dimensional nonlinear reaction diffusion equations.
Key words： Reaction-diffusion equations; travelling wave solutions ; equilibrium point;heteroclinic orbit
非線性科学是目前科学研究的热点问题之一，求解非线性偏微分方程，也是数学和物理学家研究的重要内容.研究人员提出了很多方法，构造非线性方程精确解，如齐次平衡法[1]、反散射法、双曲正切函数展开法[2-5]、Darboux变换法、试探函数法[6]、Hirota双线性法、Sine-Gonsine法[7]、齐次平衡法、辅叠加法[8]、辅助常微分方程法[9]和双函数法[10-11]，但由于问题的复杂性，至今尚无统一的方法，能够得到精确解的方程也是凤毛麟角.因此，本文用试探函数法，解出一类反应扩散方程的行波解的通解，分析不同情况下解的形式并验证.
1 反应扩散方程及行波变换
反应扩散方程（1）中，ν，k分别为扩散系数和反应系数且ν>0，k>0.
（13）式恰好是方程（10）当m=1的情况，说明方程（10）的正确性.即方程（10）就是连接鞍点（u*，P*）=（1，0）和结点（u*，P*）=（0，0）的异宿轨道，且 m 为任意值时都成立.至此，利用试探函数法解出了方程（1）的行波解的通解，并验证了当 m =1时结论的正确性.从而可知方程（10）就是方程（1）的通解.解对这类方程有一定的指导意义.
参考文献
[1] Wang ML Solitar wave solution for Boussinesq equation[J].Physics Letters A，1995，199：162-172.
[2] Parkes E J.Duffy B R.Traveling solitary wave solution to a compound Kdv-Burgers equation[J] .Physics Letters A，1997，229：217-220.
[3] Zhang G X，Li Z B，Duan Y S .Exact solitary waves solutions of nonlinear wave equations[J].Sci Sin A，2000，44（3）：369-401.
[4] 张鹏飞，房维维，李利. 一类P（x）-laplace 方程非平衡解的存在性[J]. 牡丹江师范学院学报：自然科学版，2011（4）：1-2.
[5] 刘希强.非线性发展方程显式解的研究[D].北京：中国工程物理研究院，2002.
[6] Fan E C，Zhang H Q. A note on homogeneous balance methed[J].Phys Lett A，1998，246：403-406.
[7] Kudryasow N A. Exact solutions of the generalized kuramoto Sivashinsky equations [J].Physics Letters A，1990，147：287-292.
[8] Yan C T.A simple transformation for nonlinear waves[J].Physics Letters A，1996，224：77-84.
[9] 徐淮娟 .二次曲线简化方程的定理[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2003（3）：2-3.
[10] Xie Y X.Tang J S. A unified approach in seeking the solitary wave solutions to sine-Gordon type equtions[J].Chinese Physics，2005，14（7）：1303-1306.
[11] 关伟，张鸿庆.求解非线性方程的双函数法[J].高校应用数学学报：A辑，2001，16（2）：163-168.
[12] 刘式适，刘式达.物理学中的非线性方程[M].北京：北京大学出版社，2000.195-200.
关键词： 反应扩散方程; 行波解;平衡点;异宿轨道
[中图分类号]O415 [文献标志码]A
Travelling Wave Solutions to a Kind of Reaction-diffusion Equations
ZHOU Xiao-yan， HU-Ping LIANG Qing-qing
（Lan Zhou University of arts and science ，Lanzhou 730070，China）
Abstract： By using the trial function method， we obtained the general solutions of reaction diffusion equations， And obtained the heteroclinic orbit of connecting to a different equilibrium point.The results show that it is righted when the parameter m=1， It is shown that the method can also be used to solve high-dimensional nonlinear reaction diffusion equations.
Key words： Reaction-diffusion equations; travelling wave solutions ; equilibrium point;heteroclinic orbit
非線性科学是目前科学研究的热点问题之一，求解非线性偏微分方程，也是数学和物理学家研究的重要内容.研究人员提出了很多方法，构造非线性方程精确解，如齐次平衡法[1]、反散射法、双曲正切函数展开法[2-5]、Darboux变换法、试探函数法[6]、Hirota双线性法、Sine-Gonsine法[7]、齐次平衡法、辅叠加法[8]、辅助常微分方程法[9]和双函数法[10-11]，但由于问题的复杂性，至今尚无统一的方法，能够得到精确解的方程也是凤毛麟角.因此，本文用试探函数法，解出一类反应扩散方程的行波解的通解，分析不同情况下解的形式并验证.
1 反应扩散方程及行波变换
反应扩散方程（1）中，ν，k分别为扩散系数和反应系数且ν>0，k>0.
（13）式恰好是方程（10）当m=1的情况，说明方程（10）的正确性.即方程（10）就是连接鞍点（u*，P*）=（1，0）和结点（u*，P*）=（0，0）的异宿轨道，且 m 为任意值时都成立.至此，利用试探函数法解出了方程（1）的行波解的通解，并验证了当 m =1时结论的正确性.从而可知方程（10）就是方程（1）的通解.解对这类方程有一定的指导意义.
参考文献
[1] Wang ML Solitar wave solution for Boussinesq equation[J].Physics Letters A，1995，199：162-172.
[2] Parkes E J.Duffy B R.Traveling solitary wave solution to a compound Kdv-Burgers equation[J] .Physics Letters A，1997，229：217-220.
[3] Zhang G X，Li Z B，Duan Y S .Exact solitary waves solutions of nonlinear wave equations[J].Sci Sin A，2000，44（3）：369-401.
[4] 张鹏飞，房维维，李利. 一类P（x）-laplace 方程非平衡解的存在性[J]. 牡丹江师范学院学报：自然科学版，2011（4）：1-2.
[5] 刘希强.非线性发展方程显式解的研究[D].北京：中国工程物理研究院，2002.
[6] Fan E C，Zhang H Q. A note on homogeneous balance methed[J].Phys Lett A，1998，246：403-406.
[7] Kudryasow N A. Exact solutions of the generalized kuramoto Sivashinsky equations [J].Physics Letters A，1990，147：287-292.
[8] Yan C T.A simple transformation for nonlinear waves[J].Physics Letters A，1996，224：77-84.
[9] 徐淮娟 .二次曲线简化方程的定理[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2003（3）：2-3.
[10] Xie Y X.Tang J S. A unified approach in seeking the solitary wave solutions to sine-Gordon type equtions[J].Chinese Physics，2005，14（7）：1303-1306.
[11] 关伟，张鸿庆.求解非线性方程的双函数法[J].高校应用数学学报：A辑，2001，16（2）：163-168.
[12] 刘式适，刘式达.物理学中的非线性方程[M].北京：北京大学出版社，2000.195-200.