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本文调查了高中学生对频率分布直方图的纵轴——“频率/组距”——意义的掌握情况，并从数学教材和教师两个方面分析了产生概念理解纰漏的非记忆原因；根据分析的原因，对小样本的学生尝试了教学改进．
1问题的提出
文1中指出：“26.4%的学生制作的频率分步直方图用纵轴表示频率”，并认为出现这一错误的“主要原因是学生受已掌握的频数分步直方图的干扰作用，阻碍了他们对频率分步直方图的学习”．巧合的是，笔者的一些从业经历以及其他随机交流也显示：学生在理解和处理涉及“频率分步直方图纵轴”的问题时的确容易出现错误——主要是对纵轴意义的理解．
一般而言，部分学生因对纵轴定义的“记忆有误”而出现各种错误是比较正常的，但当大批学生在多种情形下反复出现错误，那么还是将其解释为主要“受已掌握的频数分步直方图的干扰作用，阻碍了他们对频率分步直方图的学习”（即所谓负迁移）恐怕就有点儿牵强．
下面，我们关心三个问题：
(1) 上述错误是否为孤立个案？
(2) 如果具有普遍性，上述错误真的“主要”是受已掌握的频数分步直方图的干扰作用吗？
(3) 如果为假，那么背后“非记忆”、“非负迁移”的致误因素又是什么？
2验证性调查及其分析
本调查对象分为两类：学生和教师．
2．1样本选取
在本研究中，我们从重庆主城、山东聊城两地选取了六所学校（每一地区三所——两所“一般学校”，一所“示范学校”）．在每所学校的普通理科班随机抽查两个，实验班随机抽查一个，在自愿参与的基础上，选取学生被试．共计选取高三18个班，203名学生．教师41人．
2．2调查方式及内容
调查方式主要采取问卷和访谈．
问卷具体调查师生对频率分布直方图三个层次的掌握情况:
（1）很清楚——知道纵轴定义是“频率/组距”而且清楚“频率/组距”的意义（频率密度，笔者注）；
（2）一般清楚——知道定义是“频率/组距”但不清楚“频率/组距”的意义；
（3） 不清楚——不知道定义是“频率/组距”而且不清楚“频率/组距”的意义．
在调查中，考虑到这一概念内容的丰富性，我们将“频率密度”、 “单位距离上的平均频率”，甚至“概率密度”均列为关键词，即只要被访者说出或写出其中之一就认为他“清楚意义”．
在发放正式问卷之前，在自愿的基础上，我们先对小部分师生进行了测试．结果表明，师生对问卷的表述基本理解，对所要了解的问题基本清楚．之后，我们又根据反馈信息，对个别问题的表述又进行了修改．该部分测试信息未进入最后的分析．
2.3调查结果及结论
本次调查对学生发放问卷203份，回收200份，对教师发放问卷41份，回收41份．经检验，问卷内部一致信度系数（克伦巴赫系数）分别为为0.91和0.87，符合一般调查对问卷信度的要求．
在被调查的学生中，持“很清楚”态度的约占总人数的5.5%，持“一般清楚”态度的约占87.5%，持“不清楚”态度的约占7%；教师的这一比例分别为17.1%、82.9%和0．
我们首先对小范围数据进行探查性分析，以确认人数分布的特点．结果表明，重庆“一般学校”的“普通班”和“实验班”在人数分布上一致性很强（x2=0.631，p=0.730＞0.05，列联表卡方独立性检验，统计软件包SPSS12.0，下同）．其他检验结果列表如下．
初步结论：从学习者和教学者而言，他们对频率分布直方图纵轴的意义都不太了解，这一比例约为94%．这一结果很逻辑地吻合了游敬敬、张景斌的论断——“26.4%的学生制作的频率分步直方图用纵轴表示频率”．因此，我们认为，学生的错误不是偶然的个案；“不清楚纵轴的意义”应该是“记忆”和“负迁移”背后的“非心理”物质因素．
2.4不清楚纵轴意义的原因分析
学生和教师为什么会“不清楚纵轴的意义”呢？
笔者对小部分同学的访谈表明：高中学生不清楚意义是因为“搞忘了”或者“不记得数学老师曾经专门讲过为什么这样定义，老师只是要求大家记住（定义）就行了”． 对数学教师的个别访谈证实了这一点：数学教师一般认为“没有必要去讲解纵轴的意义”，而且也“没有专门考虑过‘频率/组距’的意义”．
至此，我们似乎找到了问题的一个症结：数学教师没有专门有针对性地讲解过纵轴的意义而只是要求记忆应该是学生出现问题的一个重要原因——这也是本问题的“非心理”物质因素．但老师为什么不讲呢？笔者以为教师出现“不讲”或“没考虑”是有原因的——查阅了六本国内比较有影响的大学“概率论与数理统计”教材［2,3,4,5,6,7］后，没有发现一本教材专门讨论甚至提及纵轴的意义．很难想象大家会去自己琢磨它的意义，然而问题的症结也就在这里——不弄清纵轴的意义而只是记忆其形式，怎么会不出错误？
这样，我们对本文第二个问题的解释是：学生出现错误的“非记忆”和“非负迁移”原因是数学教材和教师对这一问题提及和认识的缺位！致误因素不宜简单地归为“主要”受记忆和负迁移等干扰作用．
那么，“频率/组距”的意义是什么呢？数学上为什么非要把纵轴定义为“频率/组距”而不是频率等其他名字呢？
2.5“频率/组距”意义的分析
考虑到频率是单位试验的统计结果，其值具有可变性，而概率是理论计算或理想状态下大量实验的结果，其值具有确定性，因此二者一般不可混为一谈．但如果单位试验的结果具有代表性，那么其频率值与概率值应该相差不大，一般可以认为是相等的．实际上，如果一次实验值严重偏离理论值，那么我们讨论它意义不大，所以，在下面的讨论中我们对二者在数值上不加区别．
事实上，如果只是研究离散型随机变量的分布，那么把纵轴定义为频率或者“频率/组距”都是可以的，甚至前者更容易理解，因为我们可以说某离散型随机变量在某个点或取某个值的概率是多少多少．此时，频率和“频率/组距”都可以说明问题．但这一情形在连续型随机变量的讨论中不再适用——连续型随机变量在某一个点或取某一个值的概率没有意义（都是零）——其讨论的范围必须是区间．因而需要用诸如“概率密度函数”等概念加以刻画．事实上，“频率/组距”就是离散型随机变量基于测度不为零的“概率密度”的形式表达式——“频率密度”．笔者以为，同是随机变量的概率密度，数学工作者一般会趋向于将他们统一称谓和表达，不会分别命名，这大概就是纵轴命名为“频率/组距”而不是频率的一个重要原因．也很可能由于上述原因，高中认为不能讲而大学觉得没必要再讲，从而形成认识真空．
3 基于理解的微型教学试验
虽然高中教材和课标都没有提及“概率密度”或“频率密度”这一概念，但在实践中，既然提到“频率/组距”并且学生很难理解或接受这一概念，闭口不提反倒徒增神秘感．因此，不宜完全回避．在能促进学生理解的基础上，适当讲解或解释是必要的．
这里的关键问题是学生能不能哪怕是近似接受“概（频）率密度”这一概念？由于只是一个技术问题，我们的研究限制在对上述问题感兴趣的少数高中学生中间展开．
一方面，就像在调查中我们期望受访者说出“单位距离上的平均频率”、“概率密度”、“频率密度”等词汇一样，在教学描述中我们也力求表达的多样化，让学习者自己选择．事实表明：多数学生趋向于接受“单位距离上的平均频率”等描述方式，这已经够了，因为对学生而言，学习极限理论后，将“平均”延伸至“瞬时”应该是顺理成章的事情．
另一方面，我们尽量借用物理学科中的密度概念进行类比．事实上，学生对“密度”一词并不陌生，比如空气密度、铁块密度等，那里的“体积”相当于这里的“长度”（组距），“质量”相当于“频率”， “频率/组距”是频率对单位距离的“平均频率”， 其对长度（组距）的累加（积分）就是随机变量在某段距离（区间）内的概率值（单位试验称为频率值）．教学中，甚至有学生将他们与“速度”等词进行了类比．
简单的解释、类比下来，在被调查学生中积存或潜在的“不清楚”基本可以被消除．多数学生表示“知道频率与频率密度不是同一个概念”、“频率密度与速度似乎有某些类似”．这说明学生可以接受概率密度、频率密度的一些通俗描述，尽管其表达与真正理解还有距离，但毕竟促进了理解．
4研究结论及其思考
本研究表明：约有94%的学生“不清楚”频率分布直方图的纵轴——“频率/组距”——的意义；这种“不清楚”在不同区域、不同学生层次两个方面均没有差异，问题具有普遍性；造成学生“不清楚”及其由此表现出的错误的“非心理”因素有两个：数学教材和数学教师，他们对这个问题的关注和解释还不足以让学生达到“理解”的程度，因此，在后续的应用中容易出现错误；学生可以理解并接受纵轴意义的本质性通俗表述之一．
中国数学双基教学理论认为：“记忆通向理解”（张奠宙，2006），但这里我们应该看到，缺乏意义支撑的记忆及其熟练很难导致理解，在这个问题上，教师需要适时“点破窗户纸”；大学师范类的概率与统计教材宜体现一定的师范性，比如对一些同质问题进行本质的、统一的理解和表述．事实上，直接以普通概率与统计教材替代可能会带来某些理解上的断裂或真空．
参考文献
1游敬敬，张景斌．关于高中生统计概念学习错误的分析．数学通报，2007（11）
2盛聚，谢式千，潘承毅．概率论与数理统计．北京：高等教育出版社，2001（12）
3陈家鼎，刘宛如，汪仁宫．概率统计讲义（第三版）．北京：高等教育出版社，2004（5）
4峁诗松，程依明，濮哓龙．概率论与数理统计教程．北京：高等教育出版社，2004（7）
5龚光鲁．概率论与数理统计．北京：清华大学出版社，2006（5）
6曹炳元，阎国军．应用概率统计教程．北京：科学出版社，2005（8）
7范大茵，陈永华．概率论与数理统计．杭州：浙江大学出版社，2003（6）
8鲁庆云，刘红霞．列联表卡方检验在数学教育研究中的使用方法分析．统计与决策，2008（2）
9张奠宙主编．中国数学双基教学．上海；上海教育出版社，2006（5）
10洪楠主编，SPSS for Windows 统计分析教程．北京：电子工业出版社，2000（9）
1问题的提出
文1中指出：“26.4%的学生制作的频率分步直方图用纵轴表示频率”，并认为出现这一错误的“主要原因是学生受已掌握的频数分步直方图的干扰作用，阻碍了他们对频率分步直方图的学习”．巧合的是，笔者的一些从业经历以及其他随机交流也显示：学生在理解和处理涉及“频率分步直方图纵轴”的问题时的确容易出现错误——主要是对纵轴意义的理解．
一般而言，部分学生因对纵轴定义的“记忆有误”而出现各种错误是比较正常的，但当大批学生在多种情形下反复出现错误，那么还是将其解释为主要“受已掌握的频数分步直方图的干扰作用，阻碍了他们对频率分步直方图的学习”（即所谓负迁移）恐怕就有点儿牵强．
下面，我们关心三个问题：
(1) 上述错误是否为孤立个案？
(2) 如果具有普遍性，上述错误真的“主要”是受已掌握的频数分步直方图的干扰作用吗？
(3) 如果为假，那么背后“非记忆”、“非负迁移”的致误因素又是什么？
2验证性调查及其分析
本调查对象分为两类：学生和教师．
2．1样本选取
在本研究中，我们从重庆主城、山东聊城两地选取了六所学校（每一地区三所——两所“一般学校”，一所“示范学校”）．在每所学校的普通理科班随机抽查两个，实验班随机抽查一个，在自愿参与的基础上，选取学生被试．共计选取高三18个班，203名学生．教师41人．
2．2调查方式及内容
调查方式主要采取问卷和访谈．
问卷具体调查师生对频率分布直方图三个层次的掌握情况:
（1）很清楚——知道纵轴定义是“频率/组距”而且清楚“频率/组距”的意义（频率密度，笔者注）；
（2）一般清楚——知道定义是“频率/组距”但不清楚“频率/组距”的意义；
（3） 不清楚——不知道定义是“频率/组距”而且不清楚“频率/组距”的意义．
在调查中，考虑到这一概念内容的丰富性，我们将“频率密度”、 “单位距离上的平均频率”，甚至“概率密度”均列为关键词，即只要被访者说出或写出其中之一就认为他“清楚意义”．
在发放正式问卷之前，在自愿的基础上，我们先对小部分师生进行了测试．结果表明，师生对问卷的表述基本理解，对所要了解的问题基本清楚．之后，我们又根据反馈信息，对个别问题的表述又进行了修改．该部分测试信息未进入最后的分析．
2.3调查结果及结论
本次调查对学生发放问卷203份，回收200份，对教师发放问卷41份，回收41份．经检验，问卷内部一致信度系数（克伦巴赫系数）分别为为0.91和0.87，符合一般调查对问卷信度的要求．
在被调查的学生中，持“很清楚”态度的约占总人数的5.5%，持“一般清楚”态度的约占87.5%，持“不清楚”态度的约占7%；教师的这一比例分别为17.1%、82.9%和0．
我们首先对小范围数据进行探查性分析，以确认人数分布的特点．结果表明，重庆“一般学校”的“普通班”和“实验班”在人数分布上一致性很强（x2=0.631，p=0.730＞0.05，列联表卡方独立性检验，统计软件包SPSS12.0，下同）．其他检验结果列表如下．
初步结论：从学习者和教学者而言，他们对频率分布直方图纵轴的意义都不太了解，这一比例约为94%．这一结果很逻辑地吻合了游敬敬、张景斌的论断——“26.4%的学生制作的频率分步直方图用纵轴表示频率”．因此，我们认为，学生的错误不是偶然的个案；“不清楚纵轴的意义”应该是“记忆”和“负迁移”背后的“非心理”物质因素．
2.4不清楚纵轴意义的原因分析
学生和教师为什么会“不清楚纵轴的意义”呢？
笔者对小部分同学的访谈表明：高中学生不清楚意义是因为“搞忘了”或者“不记得数学老师曾经专门讲过为什么这样定义，老师只是要求大家记住（定义）就行了”． 对数学教师的个别访谈证实了这一点：数学教师一般认为“没有必要去讲解纵轴的意义”，而且也“没有专门考虑过‘频率/组距’的意义”．
至此，我们似乎找到了问题的一个症结：数学教师没有专门有针对性地讲解过纵轴的意义而只是要求记忆应该是学生出现问题的一个重要原因——这也是本问题的“非心理”物质因素．但老师为什么不讲呢？笔者以为教师出现“不讲”或“没考虑”是有原因的——查阅了六本国内比较有影响的大学“概率论与数理统计”教材［2,3,4,5,6,7］后，没有发现一本教材专门讨论甚至提及纵轴的意义．很难想象大家会去自己琢磨它的意义，然而问题的症结也就在这里——不弄清纵轴的意义而只是记忆其形式，怎么会不出错误？
这样，我们对本文第二个问题的解释是：学生出现错误的“非记忆”和“非负迁移”原因是数学教材和教师对这一问题提及和认识的缺位！致误因素不宜简单地归为“主要”受记忆和负迁移等干扰作用．
那么，“频率/组距”的意义是什么呢？数学上为什么非要把纵轴定义为“频率/组距”而不是频率等其他名字呢？
2.5“频率/组距”意义的分析
考虑到频率是单位试验的统计结果，其值具有可变性，而概率是理论计算或理想状态下大量实验的结果，其值具有确定性，因此二者一般不可混为一谈．但如果单位试验的结果具有代表性，那么其频率值与概率值应该相差不大，一般可以认为是相等的．实际上，如果一次实验值严重偏离理论值，那么我们讨论它意义不大，所以，在下面的讨论中我们对二者在数值上不加区别．
事实上，如果只是研究离散型随机变量的分布，那么把纵轴定义为频率或者“频率/组距”都是可以的，甚至前者更容易理解，因为我们可以说某离散型随机变量在某个点或取某个值的概率是多少多少．此时，频率和“频率/组距”都可以说明问题．但这一情形在连续型随机变量的讨论中不再适用——连续型随机变量在某一个点或取某一个值的概率没有意义（都是零）——其讨论的范围必须是区间．因而需要用诸如“概率密度函数”等概念加以刻画．事实上，“频率/组距”就是离散型随机变量基于测度不为零的“概率密度”的形式表达式——“频率密度”．笔者以为，同是随机变量的概率密度，数学工作者一般会趋向于将他们统一称谓和表达，不会分别命名，这大概就是纵轴命名为“频率/组距”而不是频率的一个重要原因．也很可能由于上述原因，高中认为不能讲而大学觉得没必要再讲，从而形成认识真空．
3 基于理解的微型教学试验
虽然高中教材和课标都没有提及“概率密度”或“频率密度”这一概念，但在实践中，既然提到“频率/组距”并且学生很难理解或接受这一概念，闭口不提反倒徒增神秘感．因此，不宜完全回避．在能促进学生理解的基础上，适当讲解或解释是必要的．
这里的关键问题是学生能不能哪怕是近似接受“概（频）率密度”这一概念？由于只是一个技术问题，我们的研究限制在对上述问题感兴趣的少数高中学生中间展开．
一方面，就像在调查中我们期望受访者说出“单位距离上的平均频率”、“概率密度”、“频率密度”等词汇一样，在教学描述中我们也力求表达的多样化，让学习者自己选择．事实表明：多数学生趋向于接受“单位距离上的平均频率”等描述方式，这已经够了，因为对学生而言，学习极限理论后，将“平均”延伸至“瞬时”应该是顺理成章的事情．
另一方面，我们尽量借用物理学科中的密度概念进行类比．事实上，学生对“密度”一词并不陌生，比如空气密度、铁块密度等，那里的“体积”相当于这里的“长度”（组距），“质量”相当于“频率”， “频率/组距”是频率对单位距离的“平均频率”， 其对长度（组距）的累加（积分）就是随机变量在某段距离（区间）内的概率值（单位试验称为频率值）．教学中，甚至有学生将他们与“速度”等词进行了类比．
简单的解释、类比下来，在被调查学生中积存或潜在的“不清楚”基本可以被消除．多数学生表示“知道频率与频率密度不是同一个概念”、“频率密度与速度似乎有某些类似”．这说明学生可以接受概率密度、频率密度的一些通俗描述，尽管其表达与真正理解还有距离，但毕竟促进了理解．
4研究结论及其思考
本研究表明：约有94%的学生“不清楚”频率分布直方图的纵轴——“频率/组距”——的意义；这种“不清楚”在不同区域、不同学生层次两个方面均没有差异，问题具有普遍性；造成学生“不清楚”及其由此表现出的错误的“非心理”因素有两个：数学教材和数学教师，他们对这个问题的关注和解释还不足以让学生达到“理解”的程度，因此，在后续的应用中容易出现错误；学生可以理解并接受纵轴意义的本质性通俗表述之一．
中国数学双基教学理论认为：“记忆通向理解”（张奠宙，2006），但这里我们应该看到，缺乏意义支撑的记忆及其熟练很难导致理解，在这个问题上，教师需要适时“点破窗户纸”；大学师范类的概率与统计教材宜体现一定的师范性，比如对一些同质问题进行本质的、统一的理解和表述．事实上，直接以普通概率与统计教材替代可能会带来某些理解上的断裂或真空．
参考文献
1游敬敬，张景斌．关于高中生统计概念学习错误的分析．数学通报，2007（11）
2盛聚，谢式千，潘承毅．概率论与数理统计．北京：高等教育出版社，2001（12）
3陈家鼎，刘宛如，汪仁宫．概率统计讲义（第三版）．北京：高等教育出版社，2004（5）
4峁诗松，程依明，濮哓龙．概率论与数理统计教程．北京：高等教育出版社，2004（7）
5龚光鲁．概率论与数理统计．北京：清华大学出版社，2006（5）
6曹炳元，阎国军．应用概率统计教程．北京：科学出版社，2005（8）
7范大茵，陈永华．概率论与数理统计．杭州：浙江大学出版社，2003（6）
8鲁庆云，刘红霞．列联表卡方检验在数学教育研究中的使用方法分析．统计与决策，2008（2）
9张奠宙主编．中国数学双基教学．上海；上海教育出版社，2006（5）
10洪楠主编，SPSS for Windows 统计分析教程．北京：电子工业出版社，2000（9）