〔关键词〕 均值不等式;最值;错误;剖析
　　〔中图分类号〕 G633.62〔文献标识码〕 A
　　〔文章编号〕 1004—0463(2010)08(A)—0046—01
　　
　　用均值不等式求最值是高中数学的一个重点,但由于学生对用这两个基本不等式求最值的条件认识不清或运用不慎,常出现这样或那样的错误.下面本人就常见的一些典型错误及原因进行举例剖析.
　　忽视各项应均为正数的条件致误
　　例1:求函数y=cosx-■+■的最值.
　　错解:设cosx-■=t,则:y = t+■≥2■. ∴ymin=2■.
　　剖析:这里没有考虑t,■是否为正,就冒然使用均值不等式.事实上,t= cosx-■<0,故而是错解.
　　正解:设cosx-■=-t,显然t>0,则y=-(t+■)≤-2■. ∴ymax=-2■.
　　忽视积(或和)为定值的条件致误
　　例2:求函数y=2x(5-3x),x∈(0,■)的最大值.
　　错解:∵x∈(0,■),则x>0,5-3x>0.∴y=2x·(5-3x)=2■■≤2■■=■.
　　 ∴当x=■时,ymax=■.
　　剖析:上述解法中,x+(5-3x)不是定值(常量),是个变量,不符合均值不等式的条件,故而是错解.
　　正解:y=2x·(5-3x)=■■■≤■■■=■.
　　∴当3x=5-3x,即x=■时,ymax=■.
　　当然,此题也可用二次函数的有关方法来解.
　　忽视积式(或和式)中各项相等的条件致误
　　例3:求函数y=2x(x-1)(8-3x),x∈(1,■)的最大值.
　　错解:∵x∈(1,■),则有2x>0,x-1>0,8-3x>0.
　　∴ y = 2x(x-1)(8-3x) = ■■≤■■=■.即ymax=■.
　　剖析:上述解法中“≤”号中的等号若成立,则应有:2x=x-1=2-3x,显然这是不可能的.
　　正解:
　　y=8■)■≤8■■
　　=8.
　　∴当x=2时,ymax=8.
　　忽视自变量取值的同一性致误
　　例4:求函数y=(sin2x+■)+(cos2x+■)的最小值.
　　错解:∵sin2x>0,且有sin2x·■=1,
　　∴ sin2x+■≥2 .①
　　 同理,cos2x+■≥2 . ②
　　 ∴y=(sin2x+■)+( cos2x+■)≥4.③
　　 ∴ymin=4.
　　剖析:上述①式取等号的条件是sin2x=■,②式取等号的条件是cos2x=■,但③式取等号的条件是对同一个x,①式与②式同时取等号,这里显然是不可能的.
　　正解:y=(sin2x+■)+( cos2x+■)=1+■.
　　∴当x=■kπ+■π(k∈Z)时,ymin=5.
　　总之,用均值不等式求最值,一定要紧扣“一正、二定、三相等”.即各项都为正,和(或积)为定值,存在“=”号成立的条件.另外,还应注意自变量取值的同一性,只有这样才能得到正确结果.