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【摘 要】高三数学复习不仅要强调题型的归纳，方法的总结，数学思想的提炼，还要追问题目背后的数学内涵。文章首先从历史上最早的二元问题——古巴比伦泥板上的数学问题入手，学习和差术的概念，并利用这一特殊的化归方法解决二元方程组的问题;其次，利用所学和差术的向量模型——极化恒等式解决较难的向量数量积问题;再次，将向量、方程、不等式、函数等相关问题抽象成与和差术相关的二元问题;最后，挖掘和差术的数学内涵，即利用对称性的化归方法，解决具有对称性的二元数学问题。这种从“术”到“道”再到“源”的思考方式，体现了高阶的数学抽象能力。
【关键词】和差术;极化恒等式;对称性;HPM
【作者简介】高振严，上海市宝山区问题化学习研究所高思工作坊坊主，上海市寶山区“教学能手”。
【基金项目】上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地之数学教育教学研究基地项目“数学课程与教学中如何落实立德树人研究”（A8）
一、引言
高三复习课既需要温故，也要知新。“故”是指高一、高二已经学习过的知识，而“新”则是指对原有知识新的认识。“温故”是重复性、机械性的，而“知新”是有深度、有创造性的。那么如何才能做到知新呢？笔者从HPM视角进行分析。
在高三数学复习中，有大量的二元问题（二元方程、二元不等式、二元函数等）需要解决。这些问题的解决需要学生有较强的数形结合能力、化归转化能力，属于较难的题目类型。本文以历史上的和差术为主线，引领学生在问题解决过程中经历由方法到思想再到数学内涵的思考方式，即“术、道、源”三重境界，有利于解决数学教学中学生只重视数学方法，轻视数学思想，忽视数学内涵的问题。
古巴比伦数学泥板上很多问题都是这样解答的，这说明古巴比伦人已经熟练掌握了这种解方程的技巧。已知两个数的和或差，从而将这两个数表示为半和或半差与一个未知数的和与差的方法称为和差术。
三、教学过程
历史上的和差术和今天的数学有什么渊源，给高三数学复习课带来哪些启发？笔者通过呈现这节课的教学片段，以便给大家一些借鉴。
（一）初识和差术——向量的数量积与和差术
师：昨天作业中的第5题（如图2）比较难，大部分同学解答过程比较烦琐，但是有一名同学的方法比较简洁，我们请他来给大家讲一讲。
师：这名同学的解法非常简练，但大家却不容易想到。如果学习了和差术，这样的问题将能轻松地解决。
【设计意图】课前作业中涉及向量数量积的问题大部分学生解答烦琐，虽然有个别学生能简练地解出该题，但仅限于就题解题。如何能做到举一反三、总结方法，解决这一类向量的数量积问题，学生并未进行过深入思考。笔者以此为切入点，激发学生探究和差术的积极性。
（二）和差术——具有对称性的消元法
师：这是一个很古老的数学问题，记载于3900多年前的古巴比伦数学泥板VAT 8389上。这个问题大家是用什么方法解决的呢？
生：加减消元法。
师：还能怎么解？
生：行列式。
师：解决这个问题的方法很多，但当时并没有加减消元法和行列式，那么古巴比伦的祭司是如何解决这个问题的呢？我们来学习一下。
师：古巴比伦祭司的解法虽然与现代的解法不同，但两者的解题思想是否一致？
生：一致，都是化双变量为单变量，属于化归思想。
师：祭司为什么设x=900+t，y=900-t？设x=1000+t，y=800-t不可以吗？
生：祭司的方法具有对称性。
师：非常好，大家能够发现祭司的方法具有代数对称性。那么，几何上的对称性有没有？
（教师在黑板上画出数轴，并在数轴上标出x和y。）
师：900这个数标在哪里？
生：因为900=x+y2，所以900是x和y的中点，x和y关于中点900对称。
师：那么t有什么意义？
生：设t=x-900=x-x+y2=x-y2，表示x和y到中点的距离。
这种已知两个数的和或差，从而将这两个数表示为半和或半差与一个未知数的和与差的方法称为和差术，这种方法在古代用得很多。
【设计意图】笔者并没有直接讲授和差术的概念，而是先提出课前练习中的问题，让学生比较传统消元法与和差术的异同。通过探究，学生发现和差术不同于消元法的地方是其具有对称性;而它们的相同点是体现了化归思想，将二元问题化归为一元问题解决。本教学环节不仅讨论了和差术的代数对称特征，还引导学生探究了其几何上的对称性，在理解了和差术所蕴含的对称性之后，和差术的概念自然生成。
（三）对称消元的优点——简化运算
【设计意图】教师引导学生初步应用和差术，探究和差术所具有的对称性在解一元二次方程时的优越性，为接下来的和差术在向量中的应用做铺垫。
生：两向量半和的平方减去半差的平方。
师：可以在图上标出两向量的半和与半差吗？
生：半和长为三角形的中线，半差长为三角形底边的一半。
师：我们再回到本课初始的问题：由和差术可知，要求BE·CE，只需求BD与DF即可。已知BA·CA=4，BF·CF=-1，由和差术可得BA·CA=9DF2-BD2=4，BF·CF=DF2-BD2=-1。学习了和差术之后，同学们就很容易联想到利用三角形的中线与三角形底边半长解决向量的数量积问题。
师：通过以上解题，同学们思考一下，什么情况下可以用极化恒等式解向量的数量积问题？
生：如果三角形的中线与底边半长确定，可以求数量积的值。
师：如果三角形的中线与底边半长一个量确定，一个量不确定呢？ 生：可以求数量积的取值范围。
师：为什么用和差术解决数量积问题会比较简便？
生：因为可以将代数问题转化为几何问题。
师：是的，化归为几何问题后，问题呈现更直观。我们高一学习的对数有什么用？
生：对数将乘除运算降阶为加减运算，实现运算降阶，从而减少运算量。
师：和差术在向量的运算上起到了什么作用？
生：与对数类似，同样实现了从数量积到加减运算的运算降阶，从而降低运算难度。
【设计意图】本教学环节教师与学生共同探讨和差术的向量模型（极化恒等式），解决向量的数量积问题。教师引导学生思考满足什么条件的数量积问题适合使用极化恒等式解决，进一步探讨为什么使用极化恒等式解决这一类问题比较简便。通过类比对数的运算，学生发现极化恒等式能将向量的数量积运算降阶为向量的和差运算，从而使运算变得更简便。
（五）和差术化归的秘密——完全对称
师：和差术的方法虽然在解方程的过程中已经不太使用，但是它的影响实际上已经深入数学的各个分支，大家能否从下列问题中提炼出与和差术相关的代数恒等式？
生：四种代数式，即a+b，a-b，ab，a2+b2。
师：根据以上恒等式得出什么结论？
生：已知其中两个可以求其余两个。
师：这四个代数式还具有怎样的共同特征？
生：交换a和b的位置，四个代数式不变。
师：我们把代数式具有的这种性质叫做完全对称性。正是因为具有了完全对称性，这四个代数式之间才可以两两相互表示。
（教师播放PPT向学生介绍对称在数学中的重要性，并指出正是基于对称性，数学家伽罗瓦创立了群论，他谈道：“跳出计算，群化运算，按照它们的复杂度而不是表象来分类;我相信这是数学未来的任务，这也正是我的工作所揭示出来的道路。”）
师：数学家伽罗瓦的话对于高三数学复习有什么启示呢？
教师引导学生在高三数学复习中不仅要归纳题型，总结方法，更要提炼思想，实现从“术”到“道”的升华;不仅要提炼思想，更要深入探究题目的数学内涵，实现从“道”到“源”的提升。学生只有把握住了问题的数学本源，才能达到举一反三、以不变应万变的效果。
【设计意图】通过将三角函数、一般函数、一元二次方程中的不同问题抽象出共同的问题：找出a+b，a-b，ab，a2+b2之间的关系，培养学生的归纳总结与数学抽象能力。同时，教师引导学生进一步抽象a+b，a-b，ab，a2+b2的共同点：完全对称，介绍对称在群论产生过程中的作用，让学生意识到对称的重要性。通过伽罗瓦对群论的描述，学生体会到数学抽象的重要性，从而培养追问数学本源的习惯，转变了只重视技巧而忽视数学本质的思考方式，提高学生的数学核心素养。
四、学生反馈
课后，笔者收集了41名学生对本节课的反馈信息。
五、结语
从HPM视角思考高三数学复习课是一个全新的角度。与其他视角不同的是，HPM视角更具历史的深度与厚度，更凝练，更具内涵。笔者认为，HPM视角下的高三数学复习课体现了三个“一”。一种方法。通过数学史的学习掌握了和差术这一方法，并运用和差术的向量模型轻松解决数量积难题，归纳总结了使用這种方法所要满足的条件。一种思想。和差术解二元一次方程组所蕴含的化归消元思想与现代的消元法有异曲同工之妙;四种代数式a+b，a-b，ab，a2+b2之间的相互转化体现了和差术化归思想运用之妙。高三数学复习强调化归思想的应用，数学难题的解决往往得益于化归思想的灵活运用。
一种本源。在HPM视角下，笔者将高三数学复习中的二元问题追溯到3900多年前的古巴比伦泥板上的数学问题，为解决二元问题的方法找到了源头。和差术所蕴含的对称性可以简化运算，保证了对称二元代数式之间的相互化归，是和差术不同于其他方法的内涵所在。这启发学生对有共同特征的一类问题要学会追根溯源，源头找到了，内涵清楚了，问题往往也就解决了。
高三数学复习不仅要强调题型的归纳，方法的总结，数学思想的提炼，还要追问题目背后的数学内涵。这种从“术”到“道”再到“源”的思考方式，体现了高阶的数学抽象能力。“万法归一”的数学抽象能力，是高三数学复习中能够举一反三的前提。正所谓“好看的皮囊千篇一律，有趣的灵魂万里挑一”，我们通过追寻问题的数学本源，从万千的题目中挑出有趣的数学灵魂，从而培养学生对数学美的欣赏能力，提高学生的数学核心素养。
参考文献：
[1]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017.
[2]梁宗巨，王青建，孙宏安.世界数学通史（下册·一[BFB]）[M].沈阳：辽宁教育出版社，2005.
（责任编辑：陆顺演）
【关键词】和差术;极化恒等式;对称性;HPM
【作者简介】高振严，上海市宝山区问题化学习研究所高思工作坊坊主，上海市寶山区“教学能手”。
【基金项目】上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地之数学教育教学研究基地项目“数学课程与教学中如何落实立德树人研究”（A8）
一、引言
高三复习课既需要温故，也要知新。“故”是指高一、高二已经学习过的知识，而“新”则是指对原有知识新的认识。“温故”是重复性、机械性的，而“知新”是有深度、有创造性的。那么如何才能做到知新呢？笔者从HPM视角进行分析。
在高三数学复习中，有大量的二元问题（二元方程、二元不等式、二元函数等）需要解决。这些问题的解决需要学生有较强的数形结合能力、化归转化能力，属于较难的题目类型。本文以历史上的和差术为主线，引领学生在问题解决过程中经历由方法到思想再到数学内涵的思考方式，即“术、道、源”三重境界，有利于解决数学教学中学生只重视数学方法，轻视数学思想，忽视数学内涵的问题。
古巴比伦数学泥板上很多问题都是这样解答的，这说明古巴比伦人已经熟练掌握了这种解方程的技巧。已知两个数的和或差，从而将这两个数表示为半和或半差与一个未知数的和与差的方法称为和差术。
三、教学过程
历史上的和差术和今天的数学有什么渊源，给高三数学复习课带来哪些启发？笔者通过呈现这节课的教学片段，以便给大家一些借鉴。
（一）初识和差术——向量的数量积与和差术
师：昨天作业中的第5题（如图2）比较难，大部分同学解答过程比较烦琐，但是有一名同学的方法比较简洁，我们请他来给大家讲一讲。
师：这名同学的解法非常简练，但大家却不容易想到。如果学习了和差术，这样的问题将能轻松地解决。
【设计意图】课前作业中涉及向量数量积的问题大部分学生解答烦琐，虽然有个别学生能简练地解出该题，但仅限于就题解题。如何能做到举一反三、总结方法，解决这一类向量的数量积问题，学生并未进行过深入思考。笔者以此为切入点，激发学生探究和差术的积极性。
（二）和差术——具有对称性的消元法
师：这是一个很古老的数学问题，记载于3900多年前的古巴比伦数学泥板VAT 8389上。这个问题大家是用什么方法解决的呢？
生：加减消元法。
师：还能怎么解？
生：行列式。
师：解决这个问题的方法很多，但当时并没有加减消元法和行列式，那么古巴比伦的祭司是如何解决这个问题的呢？我们来学习一下。
师：古巴比伦祭司的解法虽然与现代的解法不同，但两者的解题思想是否一致？
生：一致，都是化双变量为单变量，属于化归思想。
师：祭司为什么设x=900+t，y=900-t？设x=1000+t，y=800-t不可以吗？
生：祭司的方法具有对称性。
师：非常好，大家能够发现祭司的方法具有代数对称性。那么，几何上的对称性有没有？
（教师在黑板上画出数轴，并在数轴上标出x和y。）
师：900这个数标在哪里？
生：因为900=x+y2，所以900是x和y的中点，x和y关于中点900对称。
师：那么t有什么意义？
生：设t=x-900=x-x+y2=x-y2，表示x和y到中点的距离。
这种已知两个数的和或差，从而将这两个数表示为半和或半差与一个未知数的和与差的方法称为和差术，这种方法在古代用得很多。
【设计意图】笔者并没有直接讲授和差术的概念，而是先提出课前练习中的问题，让学生比较传统消元法与和差术的异同。通过探究，学生发现和差术不同于消元法的地方是其具有对称性;而它们的相同点是体现了化归思想，将二元问题化归为一元问题解决。本教学环节不仅讨论了和差术的代数对称特征，还引导学生探究了其几何上的对称性，在理解了和差术所蕴含的对称性之后，和差术的概念自然生成。
（三）对称消元的优点——简化运算
【设计意图】教师引导学生初步应用和差术，探究和差术所具有的对称性在解一元二次方程时的优越性，为接下来的和差术在向量中的应用做铺垫。
生：两向量半和的平方减去半差的平方。
师：可以在图上标出两向量的半和与半差吗？
生：半和长为三角形的中线，半差长为三角形底边的一半。
师：我们再回到本课初始的问题：由和差术可知，要求BE·CE，只需求BD与DF即可。已知BA·CA=4，BF·CF=-1，由和差术可得BA·CA=9DF2-BD2=4，BF·CF=DF2-BD2=-1。学习了和差术之后，同学们就很容易联想到利用三角形的中线与三角形底边半长解决向量的数量积问题。
师：通过以上解题，同学们思考一下，什么情况下可以用极化恒等式解向量的数量积问题？
生：如果三角形的中线与底边半长确定，可以求数量积的值。
师：如果三角形的中线与底边半长一个量确定，一个量不确定呢？ 生：可以求数量积的取值范围。
师：为什么用和差术解决数量积问题会比较简便？
生：因为可以将代数问题转化为几何问题。
师：是的，化归为几何问题后，问题呈现更直观。我们高一学习的对数有什么用？
生：对数将乘除运算降阶为加减运算，实现运算降阶，从而减少运算量。
师：和差术在向量的运算上起到了什么作用？
生：与对数类似，同样实现了从数量积到加减运算的运算降阶，从而降低运算难度。
【设计意图】本教学环节教师与学生共同探讨和差术的向量模型（极化恒等式），解决向量的数量积问题。教师引导学生思考满足什么条件的数量积问题适合使用极化恒等式解决，进一步探讨为什么使用极化恒等式解决这一类问题比较简便。通过类比对数的运算，学生发现极化恒等式能将向量的数量积运算降阶为向量的和差运算，从而使运算变得更简便。
（五）和差术化归的秘密——完全对称
师：和差术的方法虽然在解方程的过程中已经不太使用，但是它的影响实际上已经深入数学的各个分支，大家能否从下列问题中提炼出与和差术相关的代数恒等式？
生：四种代数式，即a+b，a-b，ab，a2+b2。
师：根据以上恒等式得出什么结论？
生：已知其中两个可以求其余两个。
师：这四个代数式还具有怎样的共同特征？
生：交换a和b的位置，四个代数式不变。
师：我们把代数式具有的这种性质叫做完全对称性。正是因为具有了完全对称性，这四个代数式之间才可以两两相互表示。
（教师播放PPT向学生介绍对称在数学中的重要性，并指出正是基于对称性，数学家伽罗瓦创立了群论，他谈道：“跳出计算，群化运算，按照它们的复杂度而不是表象来分类;我相信这是数学未来的任务，这也正是我的工作所揭示出来的道路。”）
师：数学家伽罗瓦的话对于高三数学复习有什么启示呢？
教师引导学生在高三数学复习中不仅要归纳题型，总结方法，更要提炼思想，实现从“术”到“道”的升华;不仅要提炼思想，更要深入探究题目的数学内涵，实现从“道”到“源”的提升。学生只有把握住了问题的数学本源，才能达到举一反三、以不变应万变的效果。
【设计意图】通过将三角函数、一般函数、一元二次方程中的不同问题抽象出共同的问题：找出a+b，a-b，ab，a2+b2之间的关系，培养学生的归纳总结与数学抽象能力。同时，教师引导学生进一步抽象a+b，a-b，ab，a2+b2的共同点：完全对称，介绍对称在群论产生过程中的作用，让学生意识到对称的重要性。通过伽罗瓦对群论的描述，学生体会到数学抽象的重要性，从而培养追问数学本源的习惯，转变了只重视技巧而忽视数学本质的思考方式，提高学生的数学核心素养。
四、学生反馈
课后，笔者收集了41名学生对本节课的反馈信息。
五、结语
从HPM视角思考高三数学复习课是一个全新的角度。与其他视角不同的是，HPM视角更具历史的深度与厚度，更凝练，更具内涵。笔者认为，HPM视角下的高三数学复习课体现了三个“一”。一种方法。通过数学史的学习掌握了和差术这一方法，并运用和差术的向量模型轻松解决数量积难题，归纳总结了使用這种方法所要满足的条件。一种思想。和差术解二元一次方程组所蕴含的化归消元思想与现代的消元法有异曲同工之妙;四种代数式a+b，a-b，ab，a2+b2之间的相互转化体现了和差术化归思想运用之妙。高三数学复习强调化归思想的应用，数学难题的解决往往得益于化归思想的灵活运用。
一种本源。在HPM视角下，笔者将高三数学复习中的二元问题追溯到3900多年前的古巴比伦泥板上的数学问题，为解决二元问题的方法找到了源头。和差术所蕴含的对称性可以简化运算，保证了对称二元代数式之间的相互化归，是和差术不同于其他方法的内涵所在。这启发学生对有共同特征的一类问题要学会追根溯源，源头找到了，内涵清楚了，问题往往也就解决了。
高三数学复习不仅要强调题型的归纳，方法的总结，数学思想的提炼，还要追问题目背后的数学内涵。这种从“术”到“道”再到“源”的思考方式，体现了高阶的数学抽象能力。“万法归一”的数学抽象能力，是高三数学复习中能够举一反三的前提。正所谓“好看的皮囊千篇一律，有趣的灵魂万里挑一”，我们通过追寻问题的数学本源，从万千的题目中挑出有趣的数学灵魂，从而培养学生对数学美的欣赏能力，提高学生的数学核心素养。
参考文献：
[1]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017.
[2]梁宗巨，王青建，孙宏安.世界数学通史（下册·一[BFB]）[M].沈阳：辽宁教育出版社，2005.
（责任编辑：陆顺演）