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数学物理中许多问题要归结为适当的泛函的极值,而极值存在的一类条件与下半连续性有关,因此,泛函的下半连续性是比较普通而应用颇广的问题。本文在比较一般的Hausdo—ff拓补空间(目的是使得极限唯一)中讨论下半连续的几个等价条件。作为下半连续的特殊情形,还讨论了一类支撑函数的住质,这些性质主要与随机集或Mackey拓扑相联系。