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导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最值等问题的最有效的工具．导数的定义是导数的基本概念之一，是导数的基础，也是学好导数必须扎实掌握的重点．利用导数的定义解题，可以起到意想不到的作用，展现无穷“威力”.
1. 直接利用导数的定义解题
例1 若函数[f(x)]可导，则[limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx]=
答案 C
点拨 （1）本题中将[f(3)=-2]，结合导数的定义产生[limx→3f(x)-f(3)x-3=-2]是解题的关键. 有了这个转化，可迅速得出结论．（2）在导数的定义中，增量[Δx]的形式多种多样，但不论[Δx]选择哪种形式，[Δy]也必须选择相对应的形式．解决此类问题不能盲目地套用导数的定义，要准确地分析和把握给定的极限式与导数的关系，利用函数[f(x)在x=x0]处可导的条件，将所求极限的形式恒等变形，转化为已知极限的结构形式. 因此，必须深刻理解导数的概念．
2. 利用导数的定义求具体函数的导数
例2 已知[f(x)=x(x+1)(x+2)×⋯×(x+2004),]则[f(0)]= ．
分析 求一个可导函数[f(x)]的导函数值[f(x0)]，通常是先求这个导数的导函数，再将[x=x0]代入，这是一般处理方法．然而，在本题情况下，[f(x)]不易求得．此时，可返回到原始定义，直接利用函数在某一点的导数的定义来求．
解 [f(0)=limx→0f(x)-f(0)x-0=limx→0f(x)x]
[=limx→0(x+1)(x+2)×⋯×(x+2004)]
[=2004!]
点拨 定义在数学解题中的应用是很广泛的．因此，平常的学习过程中一定要加强对概念的学习，注重对概念和定义的理解，真正做到融会贯通、灵活应用．
例3 已知[f(x)=x(1+x)]，用导数定义求[f(0).]
解 [∵ΔyΔx=f(0+Δx)-f(0)Δx=Δx(1+Δx)Δx]
[=1+Δx]，
[∴limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(1+Δx)=1]，故[f(0)][=1.]
点拨 本题借助导数定义，巧妙地产生了[f(0)]的值．这种求解非常好，就算是以后学了导数的运算法则及运算公式，这种方法依然少不了．
3. 利用导数的定义求抽象函数的导数
有很多题目并没有给出明确具体的函数解析式,而是给出函数的抽象形式，求解与函数[f(x)]有关的具体问题．正确理解导数的定义,可以帮助我们选择最恰当的解决问题的方法．
例4 如果函数[f(x)]是偶函数，且[f(0)]存在，求证：[f(0)=0]．
分析 由于本题条件给出的函数是抽象的，无法应用导数公式，因此我们可以考虑从导数的定义来入手．
证明： 根据导数定义，我们有
[f(0)=limΔx→0f(0+Δx)-f(0)Δx,]
又函数为偶函数，
∴[f(0+Δx)-f(0-Δx)]，
于是[f(0)=limΔx→0f(0+Δx)-f(0)Δx]
[=limΔx→0f(0-Δx)-f(0)Δx=-lim-Δx→0f(0-Δx)-f(0)-Δx]
[=-f(0)]，即[f(0)=-f(0)]，
∴[f(0)=0]．
点拨 本题依据导数的定义求得[t]时刻的瞬时速度[v(t)=h(t)]，再令[h(t)=0]求得速度为0的时刻，应注意本题的方法技巧．
4. 可以转化为利用导数定义求解的问题
学习导数的定义，要结合瞬时速度、光滑曲线的切线、斜率等实际背景，从物理和几何两方面入手，熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题.
例5 求过点（2，0）与曲线[y=1x]相切的直线方程．
错解 设所求切线的斜率为[k]，则[k=f(2)=][(-1x2)x=2=-14]，故所求直线方程为：[y-0=-14（x-2）]，即[y=-14x+12]．若作出曲线[y=1x]及直线[y=-14x+12]的图象，就可以看出所求的直线和曲线不相切．错因在于一开始就没有判定所给的点（2，0）是否在曲线[y=1x]上，而想当然的把该点当作切点来考虑了．事实上点（2，0）根本不在曲线上．
正解 设平面上通过点（2，0）的所有直线方程（[y]轴除外）为：[y=k(x-2)]，切点为[(x0，y0)]，
则在切点处，直线和曲线的纵坐标相等且具有相同的斜率，
因此有：[1x0=k(x0-2),-1x20=k,]
解得[k=-1]，[x0=1]，
故所求直线方程为[y=-x+2]．
点拨 解答此类问题常见的错误是：不能确定所给点的位置；或忽略切点既在曲线上，也在切线上这一关键条件；或受思维定势的消极影响，先设出切线方程，再利用直线和抛物线相切的条件，使得解题的运算量变大．
例6 竖直向上弹射一个小球，小球的初速度为100m/s，试求小球何时速度为零．
解 小球向上的位移是初速度引起的位移[(100t)]与重力引起的位移（[-12gt2]）的合成．所以小球的运动方程为[h(t)=100t-12gt2]，
在[t]附近的平均变化率为：
[ΔhΔt]=[[100(t+Δt)-12g(t+Δt)2]-(100t-12gt2)Δt]
[=100Δt-gtΔt-12g(Δt)2Δt=100-gt-12gΔt].
故小球的瞬时速度：
[v(t)=h(t)=limΔt→0(100-gt-12gΔt)=100-gt].
令[v(t)=100-gt=0]，
解得[t=100g≈1009.8≈10.2(s)].
因此，小球被弹射后约10.2s后速度变为0．
点拨 本题依据导数的定义求得[t]时刻的瞬时速度[v(t)=h(t)]，再令[h(t)=0]求得速度为0的时刻，应注意本题的方法技巧．
例7 一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降，温度[T]（单位：℃）与时间t（单位：min）的关系由函数[T=f(t)]表示．
（1）[f(t)]的含义是什么？[f(t)]的符号是什么？
（2）[f(3)=-4]的实际意义是什么？如果[f(3)=60]℃，请画出函数在[t=3]时的图象的大致形状．
分析 [f(t0)]表示瞬时变化率，即“瞬时温度”， [f(t0)]的正负反映图象在[t0]附近的变化情况（图象升降）．
解 （1）由导数的物理意义知[f(t)]表示的含义是：温度下降的瞬时速度．
∵热红茶的温度在下降，
∴[f(t)]的符号是负号，即[f(t)<0]．
（2）[f(3)=-4]表明[t=3min]时，红茶温度以4℃/min的速度下降．
∵[T=f(t)]在点（3，60）处的切线斜率[k=f(3)=-4]，
∴[T=f(t)]在点[t=3]时的图象大致形状如图所示.
点拨 正确理解导数的定义,可以帮助我们选择最恰当的解决问题的方法．求导的本质是求极限，在求极限的过程中，要准确分析和把握给定的极限式与导数的关系，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是能够顺利求导的关键．
1. 直接利用导数的定义解题
例1 若函数[f(x)]可导，则[limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx]=
答案 C
点拨 （1）本题中将[f(3)=-2]，结合导数的定义产生[limx→3f(x)-f(3)x-3=-2]是解题的关键. 有了这个转化，可迅速得出结论．（2）在导数的定义中，增量[Δx]的形式多种多样，但不论[Δx]选择哪种形式，[Δy]也必须选择相对应的形式．解决此类问题不能盲目地套用导数的定义，要准确地分析和把握给定的极限式与导数的关系，利用函数[f(x)在x=x0]处可导的条件，将所求极限的形式恒等变形，转化为已知极限的结构形式. 因此，必须深刻理解导数的概念．
2. 利用导数的定义求具体函数的导数
例2 已知[f(x)=x(x+1)(x+2)×⋯×(x+2004),]则[f(0)]= ．
分析 求一个可导函数[f(x)]的导函数值[f(x0)]，通常是先求这个导数的导函数，再将[x=x0]代入，这是一般处理方法．然而，在本题情况下，[f(x)]不易求得．此时，可返回到原始定义，直接利用函数在某一点的导数的定义来求．
解 [f(0)=limx→0f(x)-f(0)x-0=limx→0f(x)x]
[=limx→0(x+1)(x+2)×⋯×(x+2004)]
[=2004!]
点拨 定义在数学解题中的应用是很广泛的．因此，平常的学习过程中一定要加强对概念的学习，注重对概念和定义的理解，真正做到融会贯通、灵活应用．
例3 已知[f(x)=x(1+x)]，用导数定义求[f(0).]
解 [∵ΔyΔx=f(0+Δx)-f(0)Δx=Δx(1+Δx)Δx]
[=1+Δx]，
[∴limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(1+Δx)=1]，故[f(0)][=1.]
点拨 本题借助导数定义，巧妙地产生了[f(0)]的值．这种求解非常好，就算是以后学了导数的运算法则及运算公式，这种方法依然少不了．
有很多题目并没有给出明确具体的函数解析式,而是给出函数的抽象形式，求解与函数[f(x)]有关的具体问题．正确理解导数的定义,可以帮助我们选择最恰当的解决问题的方法．
例4 如果函数[f(x)]是偶函数，且[f(0)]存在，求证：[f(0)=0]．
分析 由于本题条件给出的函数是抽象的，无法应用导数公式，因此我们可以考虑从导数的定义来入手．
证明： 根据导数定义，我们有
[f(0)=limΔx→0f(0+Δx)-f(0)Δx,]
又函数为偶函数，
∴[f(0+Δx)-f(0-Δx)]，
于是[f(0)=limΔx→0f(0+Δx)-f(0)Δx]
[=limΔx→0f(0-Δx)-f(0)Δx=-lim-Δx→0f(0-Δx)-f(0)-Δx]
[=-f(0)]，即[f(0)=-f(0)]，
∴[f(0)=0]．
点拨 本题依据导数的定义求得[t]时刻的瞬时速度[v(t)=h(t)]，再令[h(t)=0]求得速度为0的时刻，应注意本题的方法技巧．
4. 可以转化为利用导数定义求解的问题
学习导数的定义，要结合瞬时速度、光滑曲线的切线、斜率等实际背景，从物理和几何两方面入手，熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题.
例5 求过点（2，0）与曲线[y=1x]相切的直线方程．
错解 设所求切线的斜率为[k]，则[k=f(2)=][(-1x2)x=2=-14]，故所求直线方程为：[y-0=-14（x-2）]，即[y=-14x+12]．若作出曲线[y=1x]及直线[y=-14x+12]的图象，就可以看出所求的直线和曲线不相切．错因在于一开始就没有判定所给的点（2，0）是否在曲线[y=1x]上，而想当然的把该点当作切点来考虑了．事实上点（2，0）根本不在曲线上．
正解 设平面上通过点（2，0）的所有直线方程（[y]轴除外）为：[y=k(x-2)]，切点为[(x0，y0)]，
则在切点处，直线和曲线的纵坐标相等且具有相同的斜率，
因此有：[1x0=k(x0-2),-1x20=k,]
解得[k=-1]，[x0=1]，
故所求直线方程为[y=-x+2]．
点拨 解答此类问题常见的错误是：不能确定所给点的位置；或忽略切点既在曲线上，也在切线上这一关键条件；或受思维定势的消极影响，先设出切线方程，再利用直线和抛物线相切的条件，使得解题的运算量变大．
例6 竖直向上弹射一个小球，小球的初速度为100m/s，试求小球何时速度为零．
解 小球向上的位移是初速度引起的位移[(100t)]与重力引起的位移（[-12gt2]）的合成．所以小球的运动方程为[h(t)=100t-12gt2]，
在[t]附近的平均变化率为：
[ΔhΔt]=[[100(t+Δt)-12g(t+Δt)2]-(100t-12gt2)Δt]
[=100Δt-gtΔt-12g(Δt)2Δt=100-gt-12gΔt].
故小球的瞬时速度：
[v(t)=h(t)=limΔt→0(100-gt-12gΔt)=100-gt].
令[v(t)=100-gt=0]，
解得[t=100g≈1009.8≈10.2(s)].
因此，小球被弹射后约10.2s后速度变为0．
点拨 本题依据导数的定义求得[t]时刻的瞬时速度[v(t)=h(t)]，再令[h(t)=0]求得速度为0的时刻，应注意本题的方法技巧．
例7 一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降，温度[T]（单位：℃）与时间t（单位：min）的关系由函数[T=f(t)]表示．
（1）[f(t)]的含义是什么？[f(t)]的符号是什么？
（2）[f(3)=-4]的实际意义是什么？如果[f(3)=60]℃，请画出函数在[t=3]时的图象的大致形状．
分析 [f(t0)]表示瞬时变化率，即“瞬时温度”， [f(t0)]的正负反映图象在[t0]附近的变化情况（图象升降）．
解 （1）由导数的物理意义知[f(t)]表示的含义是：温度下降的瞬时速度．
∵热红茶的温度在下降，
∴[f(t)]的符号是负号，即[f(t)<0]．
（2）[f(3)=-4]表明[t=3min]时，红茶温度以4℃/min的速度下降．
∵[T=f(t)]在点（3，60）处的切线斜率[k=f(3)=-4]，
∴[T=f(t)]在点[t=3]时的图象大致形状如图所示.
点拨 正确理解导数的定义,可以帮助我们选择最恰当的解决问题的方法．求导的本质是求极限，在求极限的过程中，要准确分析和把握给定的极限式与导数的关系，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是能够顺利求导的关键．