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“摸球试验”是古典概型的典型代表.很多中考试题常常是以摸球问题为原型,将条件或结论适当地改变、引申、重组,命制出精彩的试题.下面就一道有关摸球试验的课本例题进行变式研究,让同学们从不同角度、不同层次认识概率.
课本例题(苏科版《数学》九上第136页例4)
一只不透明的袋子中装有1个白球和两个红球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从袋中任意摸出1个球,记录颜色后放回、摇匀,再从中任意摸出1个球.求两次都摸到红球的概率.
解:把两个红球编号为红球1、红球2,用表格列出所有可能出现的结果:
由表格可知,共有9种可能出现的结果,并且它们都是等可能的.“两次都摸到红球”有4种可能,所以P(两次都摸到红球)=.
【方法归纳】当试验结果分为2步,但所有等可能出现的结果数较大时,运用“表格”较为清晰、便捷;当试验结果分为3步时,则一般运用“树状图”列出所有等可能出现的结果求解.
变式一:求两次摸到同样颜色球的概率.
变式二:如果第一次摸出的球不放回,那么两次都摸到红球的概率是多少?
【分析】变式一只需从表格中找到两次摸到同样颜色球有5种可能.所以P(两次都摸到同样颜色球)=.
变式二属于“不放回”的情况,先列出表格为:
所以第一次摸出的球不放回,两次都摸到红球的概率==.例题与变式二区别在于前者是“放回”,后者是“不放回”,要注意它们列出表格的不同点.如果条件是“一次摸两个球”,这里虽然没有明说是放回还是不放回,但是我们也应做不放回处理.
变式三:有甲、乙两个不透明的布袋.甲袋中有两个完全相同的小球,分别标有数字1和-2;乙袋中有三个完全相同的小球,分别标有数字-1、0和2.小丽先从甲袋中随机取出一个小球,记下小球上的数字为x,再从乙袋中随机取出一个小球,记录下小球上的数字为y,设点P的坐标为(x,y).
(1) 请用表格或树状图列出点P所有可能的坐标;
(2) 求点P在一次函数y=x 1图像上的概率.
【分析】变式三由原来单一地求概率到利用概率知识与方程、函数等其它知识相结合的综合性问题,考查了解决综合问题的能力.
解:(1) 画树状图:
∴点P所有可能的坐标为:(1,-1)、(1,0)、(1,2)、(-2,-1)、(-2,0)、(-2,2).
(2) ∵只有(1,2)、(-2,-1)这两个点在一次函数y=x 1的图像上,
∴P(点P在一次函数y=x 1的图像上)==.
变式四:一只不透明的袋子中,装有两个白球和1个红球,这些球除颜色外都相同.
(1) 小明认为,搅匀后从中任意摸出一个球,不是白球就是红球,因此摸出白球和摸出红球是等可能的.你同意他的说法吗?为什么?
(2)搅匀后从中一把摸出两个球,请通过列表或树状图求两个球都是白球的概率;
(3)搅匀后从中任意摸出一个球,要使摸出红球的概率为,应如何添加红球?
【分析】变式四中第(1)题有的同学会只考虑球的颜色而忽略球的的个数,认为摸出白球和摸出红球是等可能的.第(2)题容易忽视“一把摸出两个球”这一条件,它实质属于“不放回”的情况,不少同学往往因分析失误,就会对可能出现的结果数判断出错,从而造成解题出错.第(3)题既考查概率意义,又考查同学们灵活运用概率知识设计方案的能力.
解:(1) 不同意小明的说法.
因为摸出白球的概率是,摸出红球的概率是,因此摸出白球和摸出红球不是等可能的.
(2) 树状图如图:
∴P(两个球都是白球)==.
(3) 方法一:设应添加x个红球,
由题意得=,
解得x=3(经检验是原方程的解).
方法二:∵添加后P(摸出红球)=,
∴添加后P(摸出白球)=1-=,
∴添加后球的总个数=2÷=6,
∴应添加6-3=3(个)红球.
答:应添加3个红球.
有关以“摸球”为背景的概率题目是我们比较熟悉的常见问题.学习过程中同学们要对这些典型问题反复进行一题多变的训练,既可以增长知识,又能培养思维能力.同学们要注意积累经验,提高能力.
(作者单位:江苏省宿迁市宿豫区实验初级中学)
课本例题(苏科版《数学》九上第136页例4)
一只不透明的袋子中装有1个白球和两个红球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从袋中任意摸出1个球,记录颜色后放回、摇匀,再从中任意摸出1个球.求两次都摸到红球的概率.
解:把两个红球编号为红球1、红球2,用表格列出所有可能出现的结果:
由表格可知,共有9种可能出现的结果,并且它们都是等可能的.“两次都摸到红球”有4种可能,所以P(两次都摸到红球)=.
【方法归纳】当试验结果分为2步,但所有等可能出现的结果数较大时,运用“表格”较为清晰、便捷;当试验结果分为3步时,则一般运用“树状图”列出所有等可能出现的结果求解.
变式一:求两次摸到同样颜色球的概率.
变式二:如果第一次摸出的球不放回,那么两次都摸到红球的概率是多少?
【分析】变式一只需从表格中找到两次摸到同样颜色球有5种可能.所以P(两次都摸到同样颜色球)=.
变式二属于“不放回”的情况,先列出表格为:
所以第一次摸出的球不放回,两次都摸到红球的概率==.例题与变式二区别在于前者是“放回”,后者是“不放回”,要注意它们列出表格的不同点.如果条件是“一次摸两个球”,这里虽然没有明说是放回还是不放回,但是我们也应做不放回处理.
变式三:有甲、乙两个不透明的布袋.甲袋中有两个完全相同的小球,分别标有数字1和-2;乙袋中有三个完全相同的小球,分别标有数字-1、0和2.小丽先从甲袋中随机取出一个小球,记下小球上的数字为x,再从乙袋中随机取出一个小球,记录下小球上的数字为y,设点P的坐标为(x,y).
(1) 请用表格或树状图列出点P所有可能的坐标;
(2) 求点P在一次函数y=x 1图像上的概率.
【分析】变式三由原来单一地求概率到利用概率知识与方程、函数等其它知识相结合的综合性问题,考查了解决综合问题的能力.
解:(1) 画树状图:
∴点P所有可能的坐标为:(1,-1)、(1,0)、(1,2)、(-2,-1)、(-2,0)、(-2,2).
(2) ∵只有(1,2)、(-2,-1)这两个点在一次函数y=x 1的图像上,
∴P(点P在一次函数y=x 1的图像上)==.
变式四:一只不透明的袋子中,装有两个白球和1个红球,这些球除颜色外都相同.
(1) 小明认为,搅匀后从中任意摸出一个球,不是白球就是红球,因此摸出白球和摸出红球是等可能的.你同意他的说法吗?为什么?
(2)搅匀后从中一把摸出两个球,请通过列表或树状图求两个球都是白球的概率;
(3)搅匀后从中任意摸出一个球,要使摸出红球的概率为,应如何添加红球?
【分析】变式四中第(1)题有的同学会只考虑球的颜色而忽略球的的个数,认为摸出白球和摸出红球是等可能的.第(2)题容易忽视“一把摸出两个球”这一条件,它实质属于“不放回”的情况,不少同学往往因分析失误,就会对可能出现的结果数判断出错,从而造成解题出错.第(3)题既考查概率意义,又考查同学们灵活运用概率知识设计方案的能力.
解:(1) 不同意小明的说法.
因为摸出白球的概率是,摸出红球的概率是,因此摸出白球和摸出红球不是等可能的.
(2) 树状图如图:
∴P(两个球都是白球)==.
(3) 方法一:设应添加x个红球,
由题意得=,
解得x=3(经检验是原方程的解).
方法二:∵添加后P(摸出红球)=,
∴添加后P(摸出白球)=1-=,
∴添加后球的总个数=2÷=6,
∴应添加6-3=3(个)红球.
答:应添加3个红球.
有关以“摸球”为背景的概率题目是我们比较熟悉的常见问题.学习过程中同学们要对这些典型问题反复进行一题多变的训练,既可以增长知识,又能培养思维能力.同学们要注意积累经验,提高能力.
(作者单位:江苏省宿迁市宿豫区实验初级中学)