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【摘要】离散数学这门数学课程具有抽象性和逻辑性，对相关专业的后续课程学习有举足轻重的作用.在传统教学模式下，学生接受知识的情况和课堂教学效果不理想，因此教学模式的改革势在必行.多维教学模式不仅可以应用于离散数学课程教学，还可以应用于其他学科的基础课程教学甚至某些专业的专业课程教学.
【关键词】离散数学;教学模式;学科基础
【基金项目】兰州交通大学博文学院2018年教育教学改革与科技创新项目（项目编号：2018BWJX002）
引 言
离散数学是数学的一大门类，以离散量为研究对象（如自然数、整数、字母表、代码表、符号串、真假值等），包括集合论、代数系统、图论、数理逻辑等模块.离散数学课程是某些专业的重要先修课程，是计算机科学与技术、网络工程、物联网工程、通信工程、电子信息工程等计算机类和电子信息类专业的重要基础课程，且是计算机类专业的核心课程.有人说数学的学习程度决定了计算机技术的深度，离散数学的重要性可见一斑.
一、传统的教学模式
对于数学课程而言，传统的教学模式以板书教学为主，讲授内容一般包含引例、定义、性质、定理公式、例题等，从内容上来看很完整，但整堂课以授课教师讲解为主，学生的参与度很低或几乎没有，因此往往会出现教师在黑板前讲得天花乱坠，分析得头头是道，而学生学到的和能接受的非常有限的现象.这种灌输式的教学模式影响了学生的学习积极性.传统的离散数学教学方式也比较单一，一般为课程教学、案例教学等，没有融入互联网等现代教育技术，这很大程度上影响了学生的学习兴趣及学习能动性.从离散数学的课程性质上来说，课程较抽象，教学理论性强，实践环节较弱，不利于学生创新能力的培养.学生缺少具体分析离散数学的例子，缺少课程实践环节，缺少参加研究性与创新性学习的机会，因此传统教学方式不能激发学生对学习离散数学课程的兴趣，教学效果也不理想.这表明研究和探索多维离散数学课程教学模式迫在眉睫.
二、多维教学模式
1.板书教学模式和多媒体教学模式相结合
由课堂效果和学生的课堂反应及实践应用可以发现，仅使用板书教学的教学模式已经无法获得理想的教学效果和达到教学要求了，现代化教学模式成了很多教师首选的教学方式.但是，是彻底使用多媒体教学，是以板书为主、多媒体教学为辅，还是以多媒体教学为主、板书教学为辅，这需要教师通过课堂教学实践，根据学生的学习能力随时调整，最终找到适合的教学模式.
在离散数学课程中，集合论中的大部分内容都是学生在初中数学或者其他数学课程中接触过的，他们对基本定义比较明确，对运算公式和运算性质也比较熟悉.因此，关于集合论的内容教师可以利用课件，通过多媒体演示的方式加深学生对相关知识点的认识.学生容易接受这种教学方式，课堂节奏也较紧凑.代数系统的内容比较抽象，从运算的全新理解、性质的验证到群、环、格和布尔代数的分类讲解，教师都需要给学生充足的时间去接受和理解，因此代数系统的相关章节内容适合用板书教学，教师的书写能让学生有充足的理解时间.图论和数理逻辑的内容需要穿插大量的图表，还需用邻接矩阵计算相关的结果，有一定的计算量，因此教师可以充分利用多媒体教学丰富课堂内容，又可以适当在黑板上列出计算公式和典型例題.
2.在例题的选用上下足功夫，引起学生的共鸣，激发学生的学习兴趣
离散数学课程比较抽象，如果教师在课堂上按部就班地讲授，局限在教材的条条框框里，那么不仅无法达到预期的教学效果，长此以往还会引起学生的反感和厌学情绪.因此教师在上课例题的选取和讲解上必须贴合实际，引起学生的兴趣和共鸣，再以例题为出发点阐述相应定义和性质，获得事半功倍的效果.
比如在教师给学生讲到集合的定义时，学生的第一反应就是常见的自然数、整数、实数等数集，但实际上数集只是最特殊、最简单的集合，离散数学中的集合无论从元素的性质上还是表示形式上都有了很大的拓展，此时可以用身边的事物作为集合的例题.比如我们要清查教室里的桌椅，那么所有的桌椅便组成了一个集合，记为A={a1，a2，…，an，b1，b2，…，bm}.如果我们在清查时要求一张桌子必须配两把椅子，那么我们的集合应为A={（a1，b11，b12），（a2，b21，b22），…，（a30，b301，b302）}，很显然元素ai，i=1，2，…，30表示教室中有30张桌子，元素bij，i=1，2，…，30，j=1，2表示每张桌子都配了两把椅子，集合中元素的形式不再是一些单一的个体，而是每张桌子和对应的两把椅子的关系.通过例题，教师可以让学生理解集合中的元素可以是单一的，也可以是若干个元素的序列.因此，桌椅及生活的一切事物都可以成为集合中的元素，这由研究的目的决定.
3.在课堂上融入人文思想
在数学课堂上谈人文似乎是风马牛不相及的事情，但很多数学家不仅是数学家，还是著名的思想家、哲学家，因此从数学的角度给学生讲授人生道理是非常有说服力的，同时可启发学生从另一个角度去认识数学，从而喜欢上数学.
比如很多群名词的分类定义：半群→单元半群→群→可换群.对于包含一个二元运算符号的代数系统，如果满足结合律就可以称为半群，又有了单位元素称为单元半群，在此基础上若存在逆元素则改称为群，若此时满足交换律则称为可换群.对于这些名词，用死记硬背的方法记忆并不长久，而且学生会感觉枯燥无趣，教师可以用“升级打怪”来类比群定义的进阶，也可以用学生的经历类比：成为小学生，通过学习具备更高的技能，步入大学.再如讲到单位元素和零元素时，教师可以让学生思考：“在日常生活中我们是选择做单位元素？还是做零元素？”一开始学生会一脸茫然，教师可以解释：“我认为在日常相处时我们要做安静的单位元素，不要去改变别人，而在一些原则问题上，我们一定要做倔强的零元素，不能让别人改变.”学生听后若有所思.当学生会心一笑时，相信他们已经理解了单位元素和零元素的含义. 4.适当整合教学内容，合理分配课程学时
离散数学的内容与领域非常广泛，最基本的内容为集合论、代数系统、图论和数理逻辑四部分，按各部分的具体内容又分为集合论基础、关系、函数、有限集与无限集、代数系统基础、群论、环论、图论原理、树与欧拉图、命题逻辑、谓词逻辑等十一章.按照人才培养方案要求及教学大纲规定，计算机类专业该课程开设48学时.在有限的学时里，教师既要完成既定的教学任务，又要充分调动学生的学习兴趣，取得良好的教学效果，有效整合教学内容，合理分配学时.
为了不让学生对离散数学产生内容繁杂、晦涩难懂的印象，教师可以在该课程第一节课的说课环节告诉学生离散数学有四部分内容，各部分内容既相互联系又相对独立.教师在每部分内容教授结束后进行一次复习指导和典型习题分析，使学生在心理上觉得该课程内容简洁、易学习.教师通过复习指导强化各章节之间的联系，使学生建立起完整的知识体系，为学生的后续学习打下坚实基础.
但是所谓的内容简洁并不是指删减甚至去掉某些内容，而是指少而精.教师在讲课的过程中适当简化部分定理的证明，或者对某些重要定理只解释清楚原因，不做详细推导，但一定要用相应例题说明定理的作用.总而言之，教师要做到重点突出，学以致用.授课教师在课前课后做足功课，反复推敲上课的每个细节和步骤，对课程内容做适当整合，分配好各部分学时.
5.在课堂上引入离散建模应用实例
离散数学在数学建模中的应用十分重要，数学建模是应用所学数学知識解决客观世界中实际问题的行之有效的手段.教师在课堂上引入离散建模可以使学生对所学知识有直观的理解和认识，在巩固学生所学内容的同时让学生应用所学知识，提高数学思维和实践应用能力.离散数学课程比传统数学课程的抽象性更强，教师一味地在课堂上讲定义、讲定理、讲推理，难免会将离散数学课堂变成死板僵硬的理论课堂.事实上，该课程的实用性非常强，因此教师适当加入离散建模应用实例有利于将该课程“变活”.
但在教学中加入离散建模例题时，教师既要显得不生硬，又要引起学生的兴趣，以利于学生理解.比如，代数系统的内容与学生以前学到的数学知识差别较大，运算较抽象.作为一个研究特定关系的数学分支，其有很重要的地位，在教学中适当引入相关的离散建模实例是再好不过的了.讲开关代数时，教师可先引导学生验证该代数系统中的运算能否满足布尔代数的要求和性质，再引导学生思考该布尔代数为什么称为开关代数.在学生能将代数运算与或门、与门、非门对应起来后，教师进一步引入数字逻辑电路中的离散建模实例.通过与实际关联和引入离散建模，学生不仅理解了枯燥难懂的定义，也对相关内容有了深刻印象和浓厚兴趣，这就达到良好的教学效果.
6.打造精品课程，实现线上线下同步学习
随着信息技术的发展，课堂形式也丰富多样起来，除传统的教室授课外，利用互联网实现课后继续学习已成为新兴教学模式中必不可少的一种.对于离散数学这类较抽象但对后续专业课学习极为重要的学科基础课来说，教师应充分利用好网络平台，将该课程建设成精品课程，满足不同层次学生的学习要求，并且可在网络平台上建设习题库，上传重难点小视频、精品课件、教案等方式，实现线上线下同步学习.
总 结
综上所述，作为一门学科基础课程，离散数学十分重要，离散数学课程的学习与教师的教学水平有重要关系，而良好的教学模式是决定教学水平的关键因素，教师可根据自己多年的教学经验逐渐调整和转变教学模式，同时不断在课堂中进行实践研究，形成较好的教学模式.
【参考文献】
[1]徐洁磐.离散数学导论（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2004.
[2]鱼先锋，李超.离散数学集合论模块的实践教学研究[J].商洛学院学报，2016（2）：70-73.
[3]杨洪，张宏礼，朱桂英.离散数学课程案例式教学方法初探[J].数学学习与研究，2015（5）：30.
[4]黄秦安.“离散数学”的范式革命及其意义[J].科学学研究，2019（2）：228-234.
【关键词】离散数学;教学模式;学科基础
【基金项目】兰州交通大学博文学院2018年教育教学改革与科技创新项目（项目编号：2018BWJX002）
引 言
离散数学是数学的一大门类，以离散量为研究对象（如自然数、整数、字母表、代码表、符号串、真假值等），包括集合论、代数系统、图论、数理逻辑等模块.离散数学课程是某些专业的重要先修课程，是计算机科学与技术、网络工程、物联网工程、通信工程、电子信息工程等计算机类和电子信息类专业的重要基础课程，且是计算机类专业的核心课程.有人说数学的学习程度决定了计算机技术的深度，离散数学的重要性可见一斑.
一、传统的教学模式
对于数学课程而言，传统的教学模式以板书教学为主，讲授内容一般包含引例、定义、性质、定理公式、例题等，从内容上来看很完整，但整堂课以授课教师讲解为主，学生的参与度很低或几乎没有，因此往往会出现教师在黑板前讲得天花乱坠，分析得头头是道，而学生学到的和能接受的非常有限的现象.这种灌输式的教学模式影响了学生的学习积极性.传统的离散数学教学方式也比较单一，一般为课程教学、案例教学等，没有融入互联网等现代教育技术，这很大程度上影响了学生的学习兴趣及学习能动性.从离散数学的课程性质上来说，课程较抽象，教学理论性强，实践环节较弱，不利于学生创新能力的培养.学生缺少具体分析离散数学的例子，缺少课程实践环节，缺少参加研究性与创新性学习的机会，因此传统教学方式不能激发学生对学习离散数学课程的兴趣，教学效果也不理想.这表明研究和探索多维离散数学课程教学模式迫在眉睫.
二、多维教学模式
1.板书教学模式和多媒体教学模式相结合
由课堂效果和学生的课堂反应及实践应用可以发现，仅使用板书教学的教学模式已经无法获得理想的教学效果和达到教学要求了，现代化教学模式成了很多教师首选的教学方式.但是，是彻底使用多媒体教学，是以板书为主、多媒体教学为辅，还是以多媒体教学为主、板书教学为辅，这需要教师通过课堂教学实践，根据学生的学习能力随时调整，最终找到适合的教学模式.
在离散数学课程中，集合论中的大部分内容都是学生在初中数学或者其他数学课程中接触过的，他们对基本定义比较明确，对运算公式和运算性质也比较熟悉.因此，关于集合论的内容教师可以利用课件，通过多媒体演示的方式加深学生对相关知识点的认识.学生容易接受这种教学方式，课堂节奏也较紧凑.代数系统的内容比较抽象，从运算的全新理解、性质的验证到群、环、格和布尔代数的分类讲解，教师都需要给学生充足的时间去接受和理解，因此代数系统的相关章节内容适合用板书教学，教师的书写能让学生有充足的理解时间.图论和数理逻辑的内容需要穿插大量的图表，还需用邻接矩阵计算相关的结果，有一定的计算量，因此教师可以充分利用多媒体教学丰富课堂内容，又可以适当在黑板上列出计算公式和典型例題.
2.在例题的选用上下足功夫，引起学生的共鸣，激发学生的学习兴趣
离散数学课程比较抽象，如果教师在课堂上按部就班地讲授，局限在教材的条条框框里，那么不仅无法达到预期的教学效果，长此以往还会引起学生的反感和厌学情绪.因此教师在上课例题的选取和讲解上必须贴合实际，引起学生的兴趣和共鸣，再以例题为出发点阐述相应定义和性质，获得事半功倍的效果.
比如在教师给学生讲到集合的定义时，学生的第一反应就是常见的自然数、整数、实数等数集，但实际上数集只是最特殊、最简单的集合，离散数学中的集合无论从元素的性质上还是表示形式上都有了很大的拓展，此时可以用身边的事物作为集合的例题.比如我们要清查教室里的桌椅，那么所有的桌椅便组成了一个集合，记为A={a1，a2，…，an，b1，b2，…，bm}.如果我们在清查时要求一张桌子必须配两把椅子，那么我们的集合应为A={（a1，b11，b12），（a2，b21，b22），…，（a30，b301，b302）}，很显然元素ai，i=1，2，…，30表示教室中有30张桌子，元素bij，i=1，2，…，30，j=1，2表示每张桌子都配了两把椅子，集合中元素的形式不再是一些单一的个体，而是每张桌子和对应的两把椅子的关系.通过例题，教师可以让学生理解集合中的元素可以是单一的，也可以是若干个元素的序列.因此，桌椅及生活的一切事物都可以成为集合中的元素，这由研究的目的决定.
3.在课堂上融入人文思想
在数学课堂上谈人文似乎是风马牛不相及的事情，但很多数学家不仅是数学家，还是著名的思想家、哲学家，因此从数学的角度给学生讲授人生道理是非常有说服力的，同时可启发学生从另一个角度去认识数学，从而喜欢上数学.
比如很多群名词的分类定义：半群→单元半群→群→可换群.对于包含一个二元运算符号的代数系统，如果满足结合律就可以称为半群，又有了单位元素称为单元半群，在此基础上若存在逆元素则改称为群，若此时满足交换律则称为可换群.对于这些名词，用死记硬背的方法记忆并不长久，而且学生会感觉枯燥无趣，教师可以用“升级打怪”来类比群定义的进阶，也可以用学生的经历类比：成为小学生，通过学习具备更高的技能，步入大学.再如讲到单位元素和零元素时，教师可以让学生思考：“在日常生活中我们是选择做单位元素？还是做零元素？”一开始学生会一脸茫然，教师可以解释：“我认为在日常相处时我们要做安静的单位元素，不要去改变别人，而在一些原则问题上，我们一定要做倔强的零元素，不能让别人改变.”学生听后若有所思.当学生会心一笑时，相信他们已经理解了单位元素和零元素的含义. 4.适当整合教学内容，合理分配课程学时
离散数学的内容与领域非常广泛，最基本的内容为集合论、代数系统、图论和数理逻辑四部分，按各部分的具体内容又分为集合论基础、关系、函数、有限集与无限集、代数系统基础、群论、环论、图论原理、树与欧拉图、命题逻辑、谓词逻辑等十一章.按照人才培养方案要求及教学大纲规定，计算机类专业该课程开设48学时.在有限的学时里，教师既要完成既定的教学任务，又要充分调动学生的学习兴趣，取得良好的教学效果，有效整合教学内容，合理分配学时.
为了不让学生对离散数学产生内容繁杂、晦涩难懂的印象，教师可以在该课程第一节课的说课环节告诉学生离散数学有四部分内容，各部分内容既相互联系又相对独立.教师在每部分内容教授结束后进行一次复习指导和典型习题分析，使学生在心理上觉得该课程内容简洁、易学习.教师通过复习指导强化各章节之间的联系，使学生建立起完整的知识体系，为学生的后续学习打下坚实基础.
但是所谓的内容简洁并不是指删减甚至去掉某些内容，而是指少而精.教师在讲课的过程中适当简化部分定理的证明，或者对某些重要定理只解释清楚原因，不做详细推导，但一定要用相应例题说明定理的作用.总而言之，教师要做到重点突出，学以致用.授课教师在课前课后做足功课，反复推敲上课的每个细节和步骤，对课程内容做适当整合，分配好各部分学时.
5.在课堂上引入离散建模应用实例
离散数学在数学建模中的应用十分重要，数学建模是应用所学数学知識解决客观世界中实际问题的行之有效的手段.教师在课堂上引入离散建模可以使学生对所学知识有直观的理解和认识，在巩固学生所学内容的同时让学生应用所学知识，提高数学思维和实践应用能力.离散数学课程比传统数学课程的抽象性更强，教师一味地在课堂上讲定义、讲定理、讲推理，难免会将离散数学课堂变成死板僵硬的理论课堂.事实上，该课程的实用性非常强，因此教师适当加入离散建模应用实例有利于将该课程“变活”.
但在教学中加入离散建模例题时，教师既要显得不生硬，又要引起学生的兴趣，以利于学生理解.比如，代数系统的内容与学生以前学到的数学知识差别较大，运算较抽象.作为一个研究特定关系的数学分支，其有很重要的地位，在教学中适当引入相关的离散建模实例是再好不过的了.讲开关代数时，教师可先引导学生验证该代数系统中的运算能否满足布尔代数的要求和性质，再引导学生思考该布尔代数为什么称为开关代数.在学生能将代数运算与或门、与门、非门对应起来后，教师进一步引入数字逻辑电路中的离散建模实例.通过与实际关联和引入离散建模，学生不仅理解了枯燥难懂的定义，也对相关内容有了深刻印象和浓厚兴趣，这就达到良好的教学效果.
6.打造精品课程，实现线上线下同步学习
随着信息技术的发展，课堂形式也丰富多样起来，除传统的教室授课外，利用互联网实现课后继续学习已成为新兴教学模式中必不可少的一种.对于离散数学这类较抽象但对后续专业课学习极为重要的学科基础课来说，教师应充分利用好网络平台，将该课程建设成精品课程，满足不同层次学生的学习要求，并且可在网络平台上建设习题库，上传重难点小视频、精品课件、教案等方式，实现线上线下同步学习.
总 结
综上所述，作为一门学科基础课程，离散数学十分重要，离散数学课程的学习与教师的教学水平有重要关系，而良好的教学模式是决定教学水平的关键因素，教师可根据自己多年的教学经验逐渐调整和转变教学模式，同时不断在课堂中进行实践研究，形成较好的教学模式.
【参考文献】
[1]徐洁磐.离散数学导论（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2004.
[2]鱼先锋，李超.离散数学集合论模块的实践教学研究[J].商洛学院学报，2016（2）：70-73.
[3]杨洪，张宏礼，朱桂英.离散数学课程案例式教学方法初探[J].数学学习与研究，2015（5）：30.
[4]黄秦安.“离散数学”的范式革命及其意义[J].科学学研究，2019（2）：228-234.