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[摘 要] 本教学设计是2012年度连云港市“青蓝工程”展示活动暨孙朝仁初中数学名师工作室第八次研讨活动研讨课案例，根据专家点评和课堂实录进行了完善.
[关键词] 翻折与平移；活动过程；探究；设计思路
活动目标
【知识与技能目标】通过探究活动能知道图形的翻折与平移之间的联系.
【能力与方法目标】经历操作—观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程，发展合情推理的能力，体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.
【情感与态度目标】通过学生的画图与思考，体验数学活动的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.
活动重点与难点
重点：通过画图探究翻折与平移之间的关系.
难点：利用数形结合的方法验证翻折与平移之间的关系.
活动准备
铅笔、橡皮、三角板、剪刀、学案等.
活动过程
1. 情境导入
师：剪纸艺术历史悠久，许多剪纸是通过不同的折叠方法使简单图形变化出各种美丽图案的，下面我们一起来试一试，先将长方形纸片连续对折3次后画上茄子图案，再剪去多余部分，观察展开后的图案，并说说你有什么发现.
（学生动手操作、观察思考）
你有何猜想？举例验证你的猜想.
设计思路：通过操作与思考，初步认识到，在本题条件下，翻折奇数次是对称、翻折偶数次是平移.
在学生交流、展示的过程中，老师作如下的板书设计：（板书1）
设计思路：在交流的基础上，有意设计这样的板书，便于学生产生猜想，为突破本节课的难点作好铺垫.
我的想法是______________.
（学生在学案上完成相应的操作和填空；教师随组巡视，适时质疑、引导；同组同学交流想法）
设计思路：在活动1的基础上创设活动2，目的是让学生进一步认识到，本题中，连续翻折奇数次成轴对称，连续翻折偶数次成平移变换，以简化画图的过程.
师：哪一组同学先来？
（根据学生的描述，老师在黑板相应的位置完善板书）（板书2）
设计思路：检验小组合作的实效性；不断通过枚举收集数据，以利于后面的归纳、概括.
师：这位男生把自己的想法说得很清楚，大家有不同意见吗？
生：没有（这时第一组有学生举手）.
师：有同学还想发言，我们让她来说一说.
生2：在这个基础上得出了这样的想法——当画的三角形是偶数个时，可以通过平移得到；当画的三角形是奇数个时，可以通过翻折得到.
师：你的这个想法是针对题目中的哪一个图形来讲的？
生2：△ABC.
师：那你能不能把你的意思说得再明了一点呢？
生2：对于△ABC，如果它连续翻折偶数次时，所得图形与原图成平移变换；如果它连续翻折奇数次，所得图形与原图形成轴对称.
师：这位女生真是好样的，她通过刚才画的这几个图形就能得到这样的结论，真是不简单，我们大家要向她学习. 她所说的，和老师的板书内容也相符合，这说明同学们还是很有思想的. 不过，这个结论是否符合事实呢？这还需要验证.
师：大家来看生2的这个图形（图5），除了老师已经板书的，你还能找出一些能说明生2观点正确的例子吗？
师：同学们表现得真好. 通过活动1和活动2的探究，我们对图形的平移和翻折已有了一个初步的认识. 下面我们来做一个抢答游戏.
活动3：抢答游戏
生6：这可看作是△ABC连续翻折99次得到的，它们应该是成轴对称.
师：那对称轴是谁呢？
生6：……
师：第五题——在活动1的条件下，你能直接画出△AnBnCn（n≥1且n是整数）吗？说说你的想法. （小组交流）
生8：当n为奇数时，△AnBnCn可看成是△ABC连续翻折n次得到的，它们成轴对称；当n为偶数时，△AnBnCn可看成是△ABC连续翻折n次得到的，它们是平移变换.
师：当n为偶数时，△AnBnCn和△ABC是平移变换，那么△ABC如何平移得到△AnBnCn？
生8：当n为偶数时，把△ABC向右平移n个单位长度得到△AnBnCn.
师：当n为奇数时，△AnBnCn和△ABC成轴对称，对称轴是哪条直线呢？
生8：当n为奇数时，△ABC与△AnBnCn关于直线l成轴对称.
（老师完善板书）
师：好，抢答游戏结束，到目前为止，表现好的组有第1、2、4组，第3小组的同学还要加油噢.
师：下面大家来看一下黑板上的板书，再来思考一下，通过活动1和活动2的探究，我们发现了什么？大家交流一下.
设计思路：这时，通过活动1和活动2的操作，学生基本形成的这样一个认识——翻折奇数次所得图形与原图形成轴对称；翻折偶数次所得图形与原图形成平移变换. 但这个总结是不完善的，学生往往会忘记了前提条件.
（小组交流讨论）
师：哪个组能说一说？第三组有举手了，这次机会就让第三组的同学来回答吧. 来，请你说一说.
生9：对于一个图形来讲，当它连续翻折奇数次时，所得的图形与原图形成轴对称；当它连续翻折偶数次时，所得的图形与原图形成平移变换.
师：同意的同学请举手.
（通过统计了解学生的观察和思维）
师：有同学没有举手，没有举手的同学能说一说你的想法吗？
生：……
师：说不出来？老师认为这位同学说得不全面，还漏了点什么，大家再想一想. 生：……
师：老师给个提示，在抢答游戏时，老师每出一题都说了一句话，是什么呢？
生10：“在活动1的条件下.”
师：也就是说，我们刚才所发现的这些现象都是在活动1的条件下归纳出来的，是吗？是有一定条件限制的，对不对？
生齐：对！
师：我们来看一下活动1的条件.
（学生看学案）
师：谁来读一下？
……
你能由△ABC经过运动变化得到△AnBnCn 吗？说一说，与小组同学交流一下.
（各小组合作完成）
师：请各小组选派代表上黑板写出你们的结论.
（通过讨论完善结论）
师：由活动1、活动2到创新题1和2，请同学们从题目到结论再仔细想一想，你能发现什么共性的地方吗？
（小组交流）
师：哪个小组代表发言？
生12：一个图形以一组平行线作为对称轴连续翻折奇数次时所得到的图形与原图形成轴对称；连续翻折偶数次时，所得到的图形与原图形成平移关系.
师：一个图形？我们今天的活动中，是什么图形？
生：三角形.
师：是什么三角形？
生：任意三角形.
师：对了，那么，大家认为今天学习的发现应该如何说呢？
生13：一个任意三角形以一组平行线作为对称轴连续翻折奇数次时，所得到的图形与原图形成轴对称；连续翻折偶数次时，所得到的图形与原图形成平移关系. （PPT揭示）
设计思路：在前面活动的情况下，学生完全认同了这样一个事实——一个图形，当它连续翻折奇数次时，所得的图形与原图形成轴对称；当它连续翻折偶数次时，所得的图形与原图形成平移变换. 但是这样变换成立是有一定条件限制的. 为了让学生认识到这一点，执教者进行了本环节的设计，以期让学生认识到本节课的真正本质所在，并发展学生的观察、概括等能力.
4. 畅谈活动收获
师：经历了本节课的探索活动，大家感受了由特殊到一般的过程，每位同学都有所收获，请大家用刚才我们剪的茄子图形来说一说.
设计思路：用剪好的茄子图形来说一说，起到了前后呼应的作用.
5. 拓展
师：下面，老师还有两个题目，请有兴趣的同学课后再研究一下，并把想法写出来和老师交流一下.
小明同学认为：“1 个那样的图案不是轴对称图形，但将这个图形按图9那样作平移后形成的就是轴对称图形”. 你同意小明的看法吗？
设计思路：第1题让学生进一步探究矩形（轴对称图形）沿一组等间距的平行线依次翻折后的规律，是课堂教学中活动1和活动2的自然变式；第2题以期引导学生通过操作后思考——非轴对称图形连续平移后，所得图形之间是否存在一定的联系. 这样的设计进一步培养了学生的发散思维，能发展学生的学力.
教后反思
本节课的学生探究活动主要有4个，执教者能充分留给学生操作、思考、交流、归纳的时间和空间，问题预设有针对性，突出了层次性，培养了学生的思维能力. 在学生获得数学知识、掌握数学方法、认知数学思想等学力发展方面做出了应有的努力，教学效果达成较好.
[关键词] 翻折与平移；活动过程；探究；设计思路
活动目标
【知识与技能目标】通过探究活动能知道图形的翻折与平移之间的联系.
【能力与方法目标】经历操作—观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程，发展合情推理的能力，体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.
【情感与态度目标】通过学生的画图与思考，体验数学活动的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.
活动重点与难点
重点：通过画图探究翻折与平移之间的关系.
难点：利用数形结合的方法验证翻折与平移之间的关系.
活动准备
铅笔、橡皮、三角板、剪刀、学案等.
活动过程
1. 情境导入
师：剪纸艺术历史悠久，许多剪纸是通过不同的折叠方法使简单图形变化出各种美丽图案的，下面我们一起来试一试，先将长方形纸片连续对折3次后画上茄子图案，再剪去多余部分，观察展开后的图案，并说说你有什么发现.
（学生动手操作、观察思考）
你有何猜想？举例验证你的猜想.
设计思路：通过操作与思考，初步认识到，在本题条件下，翻折奇数次是对称、翻折偶数次是平移.
在学生交流、展示的过程中，老师作如下的板书设计：（板书1）
设计思路：在交流的基础上，有意设计这样的板书，便于学生产生猜想，为突破本节课的难点作好铺垫.
我的想法是______________.
（学生在学案上完成相应的操作和填空；教师随组巡视，适时质疑、引导；同组同学交流想法）
设计思路：在活动1的基础上创设活动2，目的是让学生进一步认识到，本题中，连续翻折奇数次成轴对称，连续翻折偶数次成平移变换，以简化画图的过程.
师：哪一组同学先来？
（根据学生的描述，老师在黑板相应的位置完善板书）（板书2）
设计思路：检验小组合作的实效性；不断通过枚举收集数据，以利于后面的归纳、概括.
师：这位男生把自己的想法说得很清楚，大家有不同意见吗？
生：没有（这时第一组有学生举手）.
师：有同学还想发言，我们让她来说一说.
生2：在这个基础上得出了这样的想法——当画的三角形是偶数个时，可以通过平移得到；当画的三角形是奇数个时，可以通过翻折得到.
师：你的这个想法是针对题目中的哪一个图形来讲的？
生2：△ABC.
师：那你能不能把你的意思说得再明了一点呢？
生2：对于△ABC，如果它连续翻折偶数次时，所得图形与原图成平移变换；如果它连续翻折奇数次，所得图形与原图形成轴对称.
师：这位女生真是好样的，她通过刚才画的这几个图形就能得到这样的结论，真是不简单，我们大家要向她学习. 她所说的，和老师的板书内容也相符合，这说明同学们还是很有思想的. 不过，这个结论是否符合事实呢？这还需要验证.
师：大家来看生2的这个图形（图5），除了老师已经板书的，你还能找出一些能说明生2观点正确的例子吗？
师：同学们表现得真好. 通过活动1和活动2的探究，我们对图形的平移和翻折已有了一个初步的认识. 下面我们来做一个抢答游戏.
活动3：抢答游戏
生6：这可看作是△ABC连续翻折99次得到的，它们应该是成轴对称.
师：那对称轴是谁呢？
生6：……
师：第五题——在活动1的条件下，你能直接画出△AnBnCn（n≥1且n是整数）吗？说说你的想法. （小组交流）
生8：当n为奇数时，△AnBnCn可看成是△ABC连续翻折n次得到的，它们成轴对称；当n为偶数时，△AnBnCn可看成是△ABC连续翻折n次得到的，它们是平移变换.
师：当n为偶数时，△AnBnCn和△ABC是平移变换，那么△ABC如何平移得到△AnBnCn？
生8：当n为偶数时，把△ABC向右平移n个单位长度得到△AnBnCn.
师：当n为奇数时，△AnBnCn和△ABC成轴对称，对称轴是哪条直线呢？
生8：当n为奇数时，△ABC与△AnBnCn关于直线l成轴对称.
（老师完善板书）
师：好，抢答游戏结束，到目前为止，表现好的组有第1、2、4组，第3小组的同学还要加油噢.
师：下面大家来看一下黑板上的板书，再来思考一下，通过活动1和活动2的探究，我们发现了什么？大家交流一下.
设计思路：这时，通过活动1和活动2的操作，学生基本形成的这样一个认识——翻折奇数次所得图形与原图形成轴对称；翻折偶数次所得图形与原图形成平移变换. 但这个总结是不完善的，学生往往会忘记了前提条件.
（小组交流讨论）
师：哪个组能说一说？第三组有举手了，这次机会就让第三组的同学来回答吧. 来，请你说一说.
生9：对于一个图形来讲，当它连续翻折奇数次时，所得的图形与原图形成轴对称；当它连续翻折偶数次时，所得的图形与原图形成平移变换.
师：同意的同学请举手.
（通过统计了解学生的观察和思维）
师：有同学没有举手，没有举手的同学能说一说你的想法吗？
生：……
师：说不出来？老师认为这位同学说得不全面，还漏了点什么，大家再想一想. 生：……
师：老师给个提示，在抢答游戏时，老师每出一题都说了一句话，是什么呢？
生10：“在活动1的条件下.”
师：也就是说，我们刚才所发现的这些现象都是在活动1的条件下归纳出来的，是吗？是有一定条件限制的，对不对？
生齐：对！
师：我们来看一下活动1的条件.
（学生看学案）
师：谁来读一下？
……
你能由△ABC经过运动变化得到△AnBnCn 吗？说一说，与小组同学交流一下.
（各小组合作完成）
师：请各小组选派代表上黑板写出你们的结论.
（通过讨论完善结论）
师：由活动1、活动2到创新题1和2，请同学们从题目到结论再仔细想一想，你能发现什么共性的地方吗？
（小组交流）
师：哪个小组代表发言？
生12：一个图形以一组平行线作为对称轴连续翻折奇数次时所得到的图形与原图形成轴对称；连续翻折偶数次时，所得到的图形与原图形成平移关系.
师：一个图形？我们今天的活动中，是什么图形？
生：三角形.
师：是什么三角形？
生：任意三角形.
师：对了，那么，大家认为今天学习的发现应该如何说呢？
生13：一个任意三角形以一组平行线作为对称轴连续翻折奇数次时，所得到的图形与原图形成轴对称；连续翻折偶数次时，所得到的图形与原图形成平移关系. （PPT揭示）
设计思路：在前面活动的情况下，学生完全认同了这样一个事实——一个图形，当它连续翻折奇数次时，所得的图形与原图形成轴对称；当它连续翻折偶数次时，所得的图形与原图形成平移变换. 但是这样变换成立是有一定条件限制的. 为了让学生认识到这一点，执教者进行了本环节的设计，以期让学生认识到本节课的真正本质所在，并发展学生的观察、概括等能力.
4. 畅谈活动收获
师：经历了本节课的探索活动，大家感受了由特殊到一般的过程，每位同学都有所收获，请大家用刚才我们剪的茄子图形来说一说.
设计思路：用剪好的茄子图形来说一说，起到了前后呼应的作用.
5. 拓展
师：下面，老师还有两个题目，请有兴趣的同学课后再研究一下，并把想法写出来和老师交流一下.
小明同学认为：“1 个那样的图案不是轴对称图形，但将这个图形按图9那样作平移后形成的就是轴对称图形”. 你同意小明的看法吗？
设计思路：第1题让学生进一步探究矩形（轴对称图形）沿一组等间距的平行线依次翻折后的规律，是课堂教学中活动1和活动2的自然变式；第2题以期引导学生通过操作后思考——非轴对称图形连续平移后，所得图形之间是否存在一定的联系. 这样的设计进一步培养了学生的发散思维，能发展学生的学力.
教后反思
本节课的学生探究活动主要有4个，执教者能充分留给学生操作、思考、交流、归纳的时间和空间，问题预设有针对性，突出了层次性，培养了学生的思维能力. 在学生获得数学知识、掌握数学方法、认知数学思想等学力发展方面做出了应有的努力，教学效果达成较好.