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【摘要】许多数学教师在讲题目的时候，考虑到课堂时间的有限性都害怕学生不按“自己”的思路思考问题，而耽误时间，完不成教学任务。于是就“拽”着学生的思路走“自己”的路，课堂学生活动少，极少暴露学生思维的过程。而美国数学家G·波利亚有一句名言：“老师讲什么不重要，学生想什么比这重要一千倍。”因而解题时教师必须了解学生真实的思考过程，也就必须“让”出时间暴露学生的思维过程。
【关键词】暴露 听听 心声 强迫 想想
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）12-0155-02
作为数学教师，都有过这样的体验，有些问题一而再、再而三地讲过，总还有一部分学生还是不会做或做错。于是就埋怨这些学生上课不注意听课，或认为这些学生实在太笨了，没法教。原因到底出在哪里？其实大多时候，并不是学生上课不注意听课或学生笨，而是老师讲的与学生想的不一致，学生感到困惑：老师为什么这么做呢？我这样想行吗？于是就沉浸在自己的想法里，中途开小差了，没有仔细揣摩老师的思路，学习只停留在最浅的层次——模仿上。这样就导致教师讲过多遍的题目，学生依然不会，或同样的题目只要稍稍变一下就不会了。
许多数学教师在讲题目的时候，考虑到课堂时间的有限性都害怕学生不按“自己”的思路思考问题，而耽误时间，完不成教学任务。于是就“拽”着学生的思路走“自己”的路，课堂学生活动少，极少暴露学生思维的过程。而美国数学家G·波利亚有一句名言：“老师讲什么不重要，学生想什么比这重要一千倍。”实际上不暴露学生思维的过程的学习，只是停留在最浅层次——模仿上。学生没有深入理解，又怎么会掌握清楚？建构主义理论认为：学生的数学学习应当是一种他们自己的思维建构活动。如果没有这种思维的建构活动，谈论数学教学是没有任何意义的。因而数学的解题教学要想提高教学的有效性应当让学生积极主动地参与学习的过程，教师必须了解学生真实的思考过程，也就必须“让”出时间暴露学生的思维过程。
1.例题讲解时， 听听学生的“心声”。
例题讲解是数学课堂的重要组成部分，教师在讲解例题时，要留给学生足够的思考时间，并把课堂“还”给学生，听听学生对例题的思考，更不可因为时间有限而忽视学生的困惑和疑问。
题：四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F。求证AE=EF（提示：取AB的中点P，连接EP）。
在教学时，因为题目后面有提示，大多数学生都做出来了。这时有个学生就说：“老师若没有提示，我就不会做了，我不会想到要这么添辅助线。”
虽然学生提出的疑问打乱了预先的教学设计，但想想添辅助线是几何证明题的一大难点，何不利用这一机会让学生领会添辅助线的一些方法呢？于是就请该生说说他是怎么想这一道题的？
学生说：我想作FM⊥BC于M，而后设法证△ABE≌△EMF。而由已知条件只能得出∠B=∠EMF=90°， ∠BAE=∠FEM（或∠AEB=∠EFM），而证不出相等的边，做不下去了。
这时教师再引导学生思考：要证AE=EF，我们需要证什么？ 生：证两个三角形全等。师：图中有全等的三角形吗？ 生：（观察图形后）没有。 师：为此，我们必须构造包含AE与EF边的全等三角形。我们可以这么想：①作FM⊥BC于M，证△EMF与图中已有的△ABE全等，刚才有同学说了条件不足，证不出来；②还可以构造包含边AE的三角形与图中已有的△EFC全等。由于点E是边BC的中点，很自然会想到取AB的中点P，连接EP，证△AEP≌△ECF。
至此，大部分学生对这一辅助线添法理解接受了，原来思考问题时，若一种方式解决不了，就要换一个角度思考。大部分学生都有一种恍然大悟的感觉。虽然学生的提问打乱了原来的教学设计，但是在锻炼学生的思维能力以及如何添辅助线进行几何证明题的证明，却收到了很好的效果。
例题教学时切不可为教例题而教，而应通过例题教学使学生达到掌握知识、方法的目的，学会举一反三。在例题教学时，听听学生的想法，充分暴露学生的思维过程，有助于教师发现学生真实的思维过程、学生的困惑等，对症下药地进行点拨与引导，就能收到事半功倍的效果，有助于学生对问题的理解，也有助于提高学生的思维能力与解题能力。
2.练习出错时，听听学生的“理由”。
学生在做作业、做练习时难免会出错。许多数学教师只是一味地责备学生不够认真、粗心。其实并非所有的错误都是因为粗心与不认真造成的。如解方程去分母时，许多学生会漏乘不含分母的项。除了粗心的原因外，更主要的原因是学生只为去分母而去分母，不清楚去分母的依据是什么。这也导致在进行异分母的分式加减运算时，总有一部分学生做着做着就忘了，把分母弄没了。算理不清是许多学生计算出错的重要原因。因而当学生在作业或练习中出现这类错误时，教师不妨先让学生说说他这么做的理由是什么，而不要急着把正确的答案告诉学生，让学生在说理由的过程中反思一遍自己的解题过程，学生自己就能发现错误、纠正错误。再如，学习完全平方公式时一些学生总是想当然地认为（a+b）2=a2+b2，（a-b）2=a2-b2，当学生发生这类错误时，不妨请学生说说你这两个公式是怎么得来？依据是什么？学生通过反思就会发现“想当然”是不对的，计算必须步步有依据。
学生解题时，还很经常犯审题不认真的错误，而教师如果只是强调要认真审题，往往收效并不大。为此要抓住学生审题不认真而出错的机会，暴露学生的思维过程，促使学生发现造成审题不认真的原因与后果，自行纠正。如：
许多学生前面的化简做对了，而求值的时候x取0或1导致错了。评讲时教师不妨抓住这个机会，问学生几个问题。
师：你是如何考虑所要选择的数呢？
生：因为0（或1）比较简单，代进去好算，所以就选择0（或1）了。
师：能否因为简单，代进去好算，就选择0（或1）了？
生：不能（但不清楚为什么不能）。
师：这是一道分式运算的题目，字母的取值必须使式子有意义。想一想，这个式子要有意义，x的取值应满足什么条件？
这样学生就会反思自己审题的过程，从中悟出自己思维不足之处，同时意识到审题不认真可能造成的后果。这时教师再强调：做数学题一定要认真审题，注意题目隐含的条件，不可想当然的解题。就能使学生反思他们的思维活动，有意识地唤醒他们的解题经验，使他们养成良好的审题习惯。
学习过程中，学生根据外在信息，通过已有背景知识积极主动地建构新知识，从不懂到懂，从不会到会，学生头脑难免会出现认识上的偏差，这正暴露了学生的真实思维，反映出学生建构知识时的困难。学生作业中的错误是这一困难的具体表现，是教学的巨大资源，教师要善于利用它，牵而代之，引而发之，促使学生自我反省，内心冲突，其效果将会事半功倍。
3.学生不会时，强迫学生“想想”。
许多学生一遇到陌生的题目就不会了。实际上，学生并不是真的一点都不会，只是害怕出错，往往想一半就放弃了，不敢往下想，害怕失败。教师在遇到这种情况时，一定不要急着把正确的解答过程告诉学生，而要强迫学生自己想想解题的思路，而后再加以引导。如先让学生仔细读题，而后说说你看完题目有什么想法？想到哪里了？在哪里想不下去了？波利亚说：“老师对学生的帮助应当不多不少”，应当“不显眼地帮助”，“应当顺其自然”，也就是说，老师要因势利导地帮助学生，以实现帮助的真正意义——让他不再需要帮助。
要想弄懂陌生的问题，独立思考很重要。学生只有积极主动地去思考问题，问题才有可能得到解决。教师在学生遇到这种情况时，要鼓励学生思考，并在强迫学生思考的过程中，教会学生思考的方法。这对克服学生思维的惰性、提高学生的解题能力很有帮助。
数学课堂教学过程应当是师生双边交流与活动的过程，学生积极主动参与尤为重要。教师应经常创设条件给学生参与的机会，在解题的时候充分暴露学生的思维过程，使学生真正学会学习，只有这样才能真正提高解题教学的有效性。
参考文献：
[1]王长沛. 数学教育与素质教育[M].中华工商联合出版社，2007.
【关键词】暴露 听听 心声 强迫 想想
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）12-0155-02
作为数学教师，都有过这样的体验，有些问题一而再、再而三地讲过，总还有一部分学生还是不会做或做错。于是就埋怨这些学生上课不注意听课，或认为这些学生实在太笨了，没法教。原因到底出在哪里？其实大多时候，并不是学生上课不注意听课或学生笨，而是老师讲的与学生想的不一致，学生感到困惑：老师为什么这么做呢？我这样想行吗？于是就沉浸在自己的想法里，中途开小差了，没有仔细揣摩老师的思路，学习只停留在最浅的层次——模仿上。这样就导致教师讲过多遍的题目，学生依然不会，或同样的题目只要稍稍变一下就不会了。
许多数学教师在讲题目的时候，考虑到课堂时间的有限性都害怕学生不按“自己”的思路思考问题，而耽误时间，完不成教学任务。于是就“拽”着学生的思路走“自己”的路，课堂学生活动少，极少暴露学生思维的过程。而美国数学家G·波利亚有一句名言：“老师讲什么不重要，学生想什么比这重要一千倍。”实际上不暴露学生思维的过程的学习，只是停留在最浅层次——模仿上。学生没有深入理解，又怎么会掌握清楚？建构主义理论认为：学生的数学学习应当是一种他们自己的思维建构活动。如果没有这种思维的建构活动，谈论数学教学是没有任何意义的。因而数学的解题教学要想提高教学的有效性应当让学生积极主动地参与学习的过程，教师必须了解学生真实的思考过程，也就必须“让”出时间暴露学生的思维过程。
1.例题讲解时， 听听学生的“心声”。
例题讲解是数学课堂的重要组成部分，教师在讲解例题时，要留给学生足够的思考时间，并把课堂“还”给学生，听听学生对例题的思考，更不可因为时间有限而忽视学生的困惑和疑问。
题：四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F。求证AE=EF（提示：取AB的中点P，连接EP）。
在教学时，因为题目后面有提示，大多数学生都做出来了。这时有个学生就说：“老师若没有提示，我就不会做了，我不会想到要这么添辅助线。”
虽然学生提出的疑问打乱了预先的教学设计，但想想添辅助线是几何证明题的一大难点，何不利用这一机会让学生领会添辅助线的一些方法呢？于是就请该生说说他是怎么想这一道题的？
学生说：我想作FM⊥BC于M，而后设法证△ABE≌△EMF。而由已知条件只能得出∠B=∠EMF=90°， ∠BAE=∠FEM（或∠AEB=∠EFM），而证不出相等的边，做不下去了。
这时教师再引导学生思考：要证AE=EF，我们需要证什么？ 生：证两个三角形全等。师：图中有全等的三角形吗？ 生：（观察图形后）没有。 师：为此，我们必须构造包含AE与EF边的全等三角形。我们可以这么想：①作FM⊥BC于M，证△EMF与图中已有的△ABE全等，刚才有同学说了条件不足，证不出来；②还可以构造包含边AE的三角形与图中已有的△EFC全等。由于点E是边BC的中点，很自然会想到取AB的中点P，连接EP，证△AEP≌△ECF。
至此，大部分学生对这一辅助线添法理解接受了，原来思考问题时，若一种方式解决不了，就要换一个角度思考。大部分学生都有一种恍然大悟的感觉。虽然学生的提问打乱了原来的教学设计，但是在锻炼学生的思维能力以及如何添辅助线进行几何证明题的证明，却收到了很好的效果。
例题教学时切不可为教例题而教，而应通过例题教学使学生达到掌握知识、方法的目的，学会举一反三。在例题教学时，听听学生的想法，充分暴露学生的思维过程，有助于教师发现学生真实的思维过程、学生的困惑等，对症下药地进行点拨与引导，就能收到事半功倍的效果，有助于学生对问题的理解，也有助于提高学生的思维能力与解题能力。
2.练习出错时，听听学生的“理由”。
学生在做作业、做练习时难免会出错。许多数学教师只是一味地责备学生不够认真、粗心。其实并非所有的错误都是因为粗心与不认真造成的。如解方程去分母时，许多学生会漏乘不含分母的项。除了粗心的原因外，更主要的原因是学生只为去分母而去分母，不清楚去分母的依据是什么。这也导致在进行异分母的分式加减运算时，总有一部分学生做着做着就忘了，把分母弄没了。算理不清是许多学生计算出错的重要原因。因而当学生在作业或练习中出现这类错误时，教师不妨先让学生说说他这么做的理由是什么，而不要急着把正确的答案告诉学生，让学生在说理由的过程中反思一遍自己的解题过程，学生自己就能发现错误、纠正错误。再如，学习完全平方公式时一些学生总是想当然地认为（a+b）2=a2+b2，（a-b）2=a2-b2，当学生发生这类错误时，不妨请学生说说你这两个公式是怎么得来？依据是什么？学生通过反思就会发现“想当然”是不对的，计算必须步步有依据。
学生解题时，还很经常犯审题不认真的错误，而教师如果只是强调要认真审题，往往收效并不大。为此要抓住学生审题不认真而出错的机会，暴露学生的思维过程，促使学生发现造成审题不认真的原因与后果，自行纠正。如：
许多学生前面的化简做对了，而求值的时候x取0或1导致错了。评讲时教师不妨抓住这个机会，问学生几个问题。
师：你是如何考虑所要选择的数呢？
生：因为0（或1）比较简单，代进去好算，所以就选择0（或1）了。
师：能否因为简单，代进去好算，就选择0（或1）了？
生：不能（但不清楚为什么不能）。
师：这是一道分式运算的题目，字母的取值必须使式子有意义。想一想，这个式子要有意义，x的取值应满足什么条件？
这样学生就会反思自己审题的过程，从中悟出自己思维不足之处，同时意识到审题不认真可能造成的后果。这时教师再强调：做数学题一定要认真审题，注意题目隐含的条件，不可想当然的解题。就能使学生反思他们的思维活动，有意识地唤醒他们的解题经验，使他们养成良好的审题习惯。
学习过程中，学生根据外在信息，通过已有背景知识积极主动地建构新知识，从不懂到懂，从不会到会，学生头脑难免会出现认识上的偏差，这正暴露了学生的真实思维，反映出学生建构知识时的困难。学生作业中的错误是这一困难的具体表现，是教学的巨大资源，教师要善于利用它，牵而代之，引而发之，促使学生自我反省，内心冲突，其效果将会事半功倍。
3.学生不会时，强迫学生“想想”。
许多学生一遇到陌生的题目就不会了。实际上，学生并不是真的一点都不会，只是害怕出错，往往想一半就放弃了，不敢往下想，害怕失败。教师在遇到这种情况时，一定不要急着把正确的解答过程告诉学生，而要强迫学生自己想想解题的思路，而后再加以引导。如先让学生仔细读题，而后说说你看完题目有什么想法？想到哪里了？在哪里想不下去了？波利亚说：“老师对学生的帮助应当不多不少”，应当“不显眼地帮助”，“应当顺其自然”，也就是说，老师要因势利导地帮助学生，以实现帮助的真正意义——让他不再需要帮助。
要想弄懂陌生的问题，独立思考很重要。学生只有积极主动地去思考问题，问题才有可能得到解决。教师在学生遇到这种情况时，要鼓励学生思考，并在强迫学生思考的过程中，教会学生思考的方法。这对克服学生思维的惰性、提高学生的解题能力很有帮助。
数学课堂教学过程应当是师生双边交流与活动的过程，学生积极主动参与尤为重要。教师应经常创设条件给学生参与的机会，在解题的时候充分暴露学生的思维过程，使学生真正学会学习，只有这样才能真正提高解题教学的有效性。
参考文献：
[1]王长沛. 数学教育与素质教育[M].中华工商联合出版社，2007.