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摘要：分析了土地出让市场上的博弈问题，运用一级密封价格招标（拍卖）模型分析了投标过程中的博弈，并提出了结论与建议。让更多的人加入土地的投标，政府所获得的土地收益就越大。解决“囚徒困境”问题。
关键词：博弈;招标;模型;拍卖
中图分类号：F2
文献标识码：A
文章编号：1672-3198（2011）12-0059-02
招标或拍卖具有揭示信息和减少代理成本两个基本功能。当某物品对买方的价值比卖方更清楚时，卖方一般不愿意首先提出价格，而常常采用招标或拍卖的方式通过买方竞价来获得可能的最高价格。政府通过招标或拍卖的方式出让土地，目的在于获得尽可能高的收益的同时实现土地资源的配置效率。
1 一级密封价格招标
招标又称封闭式拍卖。在土地招标中，开发商同时将自己的出价密封交给政府，叫价最高者获得该地块。从博弈的角度观察，这一过程具有如下特点：开发商不知道对手的出价信息；开发商同时行动；整个博弈只有一个回合。可见，这是一个典型的不完全信息静态博弈（静态贝叶斯博弈）。
假定某地块只有两家开发企业参与招标竞价，两企业对该地块的价值都有自己的主观判断（即保留价格）。假设两者都不清楚对方的保留价格，只是知道对方的保留价格为一均匀分布于［0,1］上的随机值。此时，对该地块的保留价格不同就构成了企业的不同类型。尽管具体参与竞价的企业对该地块的保留价格都是确定的，但求贝叶斯均衡需要为具有各种可能保留价格的企业找到一个最佳叫价。
1.1 模型的基本假设
从博弈论的角度看，一级密封价格招标（拍卖）属于不完全信息静态博弈，模型的基本假设如下：
（1）在一级密封价格招标（拍卖）中，出价最高者是赢者，按照他的出价支付价格，获得土地。
（2）bi ≥0是投标人i的出价， vi为拍卖物品对投标人i的价值。 vi只有i自己知道（因而 vi是投标人i的类型），但所有投标人都知道vi 独立地取自定义在区间［0,1］上的均匀分布函数。
（3）投标人i的出价 bi（vi）是其价格vi 的严格递增可微函数。
1.2 博弈分析
首先考虑两个投标人的情况，i=1，2。令bi ≥0是投标人i的出价， vi为土地对投标人i的价值。 vi只有i自己知道（因而vi 是投标人i的类型），但所有投标人都知道 vi独立地取自定义在区间［0,1］上的均匀分布函数。投标人i的支付如下：
（这里，我们假定如果两个投标人出价相同，土地在两人之间随机地分配）。
假定投标人i的出价bi（vi） 是其价值vi 的严格递增可微函数。显然bi1≥vi 不可能是最优的，因为没有人愿意付出比土地价值本身更高的价格。因为博弈是对称的，我们只需考虑对称的均衡出价战略：bi=b*（v） 。给定v和b，投标人i的期望支付为：
ui-（v-b）Prob（bjb）。
这里Prob（.） 代表bb 的概率，其中bj 是投标人j的出价战略。因为出价战略是严格递增的，prod（bjb）=Prob（bj≤b） 。期望支付函数的第一项 （v-b）是给定赢的情况下投标人i的净所得，第二项Prob（.） 是赢的概率。
根据对称性，bj=b*（vj） ，所以：
Prob（bjb）=Prob{b*（vj）b} 。
Prob{vjb*-1（b）≡φ（b）}=φ（b）。
这里 φ（b）=b*-1（b）是b* 的逆函数（即当投标人选择b时他的价值是φb ）。在得出最后一个等式时，我们使用了均匀分布的特征（如果θ 在［0,1］ 是均匀分布的，那么，对于所有的k［0,1］ ,Prob（θ≤k）=k）。因此，投标人i面临的问题是：
maxb ui=（v-b）Prob（bjb）=（v-b）φ（b）。
最优化的一阶条件是：
-φ（b）+（v-b）φ′（b）=0 。
如果b*（.） 是投标人i的最优战略，φ（b）=v 。因此，
φ（b）=（φ（b）-b）φ′（b）。
上述微分方程可以写成：
（vb）v=v;
解得：b*（v）=v2 。
就是说，这个博弈的贝叶斯纳斯均衡是，每个投标人的出价是其实际价值的一半：b*i=vi/2 。在均衡情况下，土地归出价最高的投标人所有，这从资源配置的角度讲是有效，但卖者只得到卖者价值的一半。对比之下，如果信息是完全的，买者之间的竞争也将使卖者得到买者价值的全部。
但是，投标人出价与实际价值之间的差距随投标人数的增加而递减。一般地，假定有n个投标人，每个投标人的价值 具有独立的，相同的定义在［0,1］ 区间上的均匀分布，如果评价为v的投标人i出价b，他的期望支付函数为：
最优化的一阶条件为：
因为在均衡情况下 φ（b）=v，一阶条件可以写成：
解上述微分方程得：
显然， b*（v）随n的增加而增加。特别的，当n∞ 时， b*v。就是说，投标人越多，卖者能得到的价格就越高；当投标人趋于无穷时，卖者几乎得到买者价值的全部。因此，让更多的人加入土地的投标，政府所获得的土地收益就越大。
2 拍卖
从博弈的角度上看，于密封拍卖（招标）不同，公开拍卖的特点是：开发商能够观察到对手的出价信息；开发商轮流行动；整个博弈可以有多个回合。因此，这是一个典型的完全信息动态博弈。
还假定某地块只有甲乙两家开发企业参与拍卖竞价（多企业参与竞拍的结果相同）。拍卖开始后，双方根据观察到的对方的叫价轮流加价，双方的叫价也逐渐地接近于各自的保留价格。当甲企业加价至其保留价格，乙企业继续加价，这时甲不再加价，叫价最高的乙企业获得该地块。该博弈的纳什均衡是甲企业的叫价等于其保留价格，乙企业的叫价大于甲企业的保留价格。在这种情况下，开发商也陷入了“囚徒困境”，而国家则几乎获得企业保留价格的全部，其结果与招标中参与竞标的企业趋于无穷多时基本一致。
3 招标、拍卖中开发商的“合作”与“串谋”
博弈的结果是开发商共同陷入“囚徒困境”，这可能是开发商没有预计到的，也是他们所不愿看到的。假定只有两家开发企业，如果他们双方事先通过“串谋”并达成协议，竞得的土地双方共同开发。在竞标中，甲方以略低于乙方的投标价，或是甲方首先起拍价叫价，接着乙方的叫价稍高于起拍价，这时甲方不再加价，结果乙方的获得该地块，整个过程结束。对甲来说，如果乙选择“合作”，甲选择合作得2，选择不合作得4，所以甲选择不合作是最优战略；如果乙选择不合作，甲选择合作得-2，选择不合作得0，甲选择不合作还是最优战略。可见，不合作是甲的占优战略。显然，都选择“合作”对双方来说最佳的结果。但“个体理性与集体理性的矛盾”使甲乙双方都希望对方合作，而自己不合作，结果双方又陷入了“囚徒困境”。
事实上，开发商间的博弈只进行一期而共同陷入“囚徒困境”的实例在现实生活中并不少见。但如果同样的博弈反复进行多次，开发商还会像单期博弈中那样行动吗？经验似乎告诉我们，如果你总是同相同的人往来，你可能会顾及以后长期的利益而暂时牺牲短期的所得。一般来说，参与土地竞拍的开发商之间并不陌生。这无疑为他们之间的的“合作”与“串谋”创造了有力条件。那么，他们不断参与该地区域不同地块得竞拍，是否能得到“合作”的结果呢？
4 结论
招标、拍卖中的“囚徒困境”，使得以利润最大化为共同目标的开发商之间存在着“串谋”以压低成交价格的强烈动机，而土地市场自身地域性较强和竞争不充分的他点，也为开发商之间的“串谋”提供了可能，现实经济中开发商之间采取共同开发、货币补偿和轮流“坐庄”等“合作”的方式，私下操纵土地的招标、拍卖价格的现象并不鲜见，这不仅扰乱了市场经济的秩序，同时也会损害资源配置的效率。
参考文献
［1］张维迎博弈论与信息经济学［M］.上海:上海人民出版社，1995.
［2］黄涛.博弈论教程——理论•应用［J］.首都经济贸易大学，2004.
注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
关键词：博弈;招标;模型;拍卖
中图分类号：F2
文献标识码：A
文章编号：1672-3198（2011）12-0059-02
招标或拍卖具有揭示信息和减少代理成本两个基本功能。当某物品对买方的价值比卖方更清楚时，卖方一般不愿意首先提出价格，而常常采用招标或拍卖的方式通过买方竞价来获得可能的最高价格。政府通过招标或拍卖的方式出让土地，目的在于获得尽可能高的收益的同时实现土地资源的配置效率。
1 一级密封价格招标
招标又称封闭式拍卖。在土地招标中，开发商同时将自己的出价密封交给政府，叫价最高者获得该地块。从博弈的角度观察，这一过程具有如下特点：开发商不知道对手的出价信息；开发商同时行动；整个博弈只有一个回合。可见，这是一个典型的不完全信息静态博弈（静态贝叶斯博弈）。
假定某地块只有两家开发企业参与招标竞价，两企业对该地块的价值都有自己的主观判断（即保留价格）。假设两者都不清楚对方的保留价格，只是知道对方的保留价格为一均匀分布于［0,1］上的随机值。此时，对该地块的保留价格不同就构成了企业的不同类型。尽管具体参与竞价的企业对该地块的保留价格都是确定的，但求贝叶斯均衡需要为具有各种可能保留价格的企业找到一个最佳叫价。
1.1 模型的基本假设
从博弈论的角度看，一级密封价格招标（拍卖）属于不完全信息静态博弈，模型的基本假设如下：
（1）在一级密封价格招标（拍卖）中，出价最高者是赢者，按照他的出价支付价格，获得土地。
（2）bi ≥0是投标人i的出价， vi为拍卖物品对投标人i的价值。 vi只有i自己知道（因而 vi是投标人i的类型），但所有投标人都知道vi 独立地取自定义在区间［0,1］上的均匀分布函数。
（3）投标人i的出价 bi（vi）是其价格vi 的严格递增可微函数。
1.2 博弈分析
首先考虑两个投标人的情况，i=1，2。令bi ≥0是投标人i的出价， vi为土地对投标人i的价值。 vi只有i自己知道（因而vi 是投标人i的类型），但所有投标人都知道 vi独立地取自定义在区间［0,1］上的均匀分布函数。投标人i的支付如下：
（这里，我们假定如果两个投标人出价相同，土地在两人之间随机地分配）。
假定投标人i的出价bi（vi） 是其价值vi 的严格递增可微函数。显然bi1≥vi 不可能是最优的，因为没有人愿意付出比土地价值本身更高的价格。因为博弈是对称的，我们只需考虑对称的均衡出价战略：bi=b*（v） 。给定v和b，投标人i的期望支付为：
ui-（v-b）Prob（bjb）。
这里Prob（.） 代表bb 的概率，其中bj 是投标人j的出价战略。因为出价战略是严格递增的，prod（bjb）=Prob（bj≤b） 。期望支付函数的第一项 （v-b）是给定赢的情况下投标人i的净所得，第二项Prob（.） 是赢的概率。
根据对称性，bj=b*（vj） ，所以：
Prob（bjb）=Prob{b*（vj）b} 。
Prob{vjb*-1（b）≡φ（b）}=φ（b）。
这里 φ（b）=b*-1（b）是b* 的逆函数（即当投标人选择b时他的价值是φb ）。在得出最后一个等式时，我们使用了均匀分布的特征（如果θ 在［0,1］ 是均匀分布的，那么，对于所有的k［0,1］ ,Prob（θ≤k）=k）。因此，投标人i面临的问题是：
maxb ui=（v-b）Prob（bjb）=（v-b）φ（b）。
最优化的一阶条件是：
-φ（b）+（v-b）φ′（b）=0 。
如果b*（.） 是投标人i的最优战略，φ（b）=v 。因此，
φ（b）=（φ（b）-b）φ′（b）。
上述微分方程可以写成：
（vb）v=v;
解得：b*（v）=v2 。
就是说，这个博弈的贝叶斯纳斯均衡是，每个投标人的出价是其实际价值的一半：b*i=vi/2 。在均衡情况下，土地归出价最高的投标人所有，这从资源配置的角度讲是有效，但卖者只得到卖者价值的一半。对比之下，如果信息是完全的，买者之间的竞争也将使卖者得到买者价值的全部。
但是，投标人出价与实际价值之间的差距随投标人数的增加而递减。一般地，假定有n个投标人，每个投标人的价值 具有独立的，相同的定义在［0,1］ 区间上的均匀分布，如果评价为v的投标人i出价b，他的期望支付函数为：
最优化的一阶条件为：
因为在均衡情况下 φ（b）=v，一阶条件可以写成：
解上述微分方程得：
显然， b*（v）随n的增加而增加。特别的，当n∞ 时， b*v。就是说，投标人越多，卖者能得到的价格就越高；当投标人趋于无穷时，卖者几乎得到买者价值的全部。因此，让更多的人加入土地的投标，政府所获得的土地收益就越大。
2 拍卖
从博弈的角度上看，于密封拍卖（招标）不同，公开拍卖的特点是：开发商能够观察到对手的出价信息；开发商轮流行动；整个博弈可以有多个回合。因此，这是一个典型的完全信息动态博弈。
还假定某地块只有甲乙两家开发企业参与拍卖竞价（多企业参与竞拍的结果相同）。拍卖开始后，双方根据观察到的对方的叫价轮流加价，双方的叫价也逐渐地接近于各自的保留价格。当甲企业加价至其保留价格，乙企业继续加价，这时甲不再加价，叫价最高的乙企业获得该地块。该博弈的纳什均衡是甲企业的叫价等于其保留价格，乙企业的叫价大于甲企业的保留价格。在这种情况下，开发商也陷入了“囚徒困境”，而国家则几乎获得企业保留价格的全部，其结果与招标中参与竞标的企业趋于无穷多时基本一致。
3 招标、拍卖中开发商的“合作”与“串谋”
博弈的结果是开发商共同陷入“囚徒困境”，这可能是开发商没有预计到的，也是他们所不愿看到的。假定只有两家开发企业，如果他们双方事先通过“串谋”并达成协议，竞得的土地双方共同开发。在竞标中，甲方以略低于乙方的投标价，或是甲方首先起拍价叫价，接着乙方的叫价稍高于起拍价，这时甲方不再加价，结果乙方的获得该地块，整个过程结束。对甲来说，如果乙选择“合作”，甲选择合作得2，选择不合作得4，所以甲选择不合作是最优战略；如果乙选择不合作，甲选择合作得-2，选择不合作得0，甲选择不合作还是最优战略。可见，不合作是甲的占优战略。显然，都选择“合作”对双方来说最佳的结果。但“个体理性与集体理性的矛盾”使甲乙双方都希望对方合作，而自己不合作，结果双方又陷入了“囚徒困境”。
事实上，开发商间的博弈只进行一期而共同陷入“囚徒困境”的实例在现实生活中并不少见。但如果同样的博弈反复进行多次，开发商还会像单期博弈中那样行动吗？经验似乎告诉我们，如果你总是同相同的人往来，你可能会顾及以后长期的利益而暂时牺牲短期的所得。一般来说，参与土地竞拍的开发商之间并不陌生。这无疑为他们之间的的“合作”与“串谋”创造了有力条件。那么，他们不断参与该地区域不同地块得竞拍，是否能得到“合作”的结果呢？
4 结论
招标、拍卖中的“囚徒困境”，使得以利润最大化为共同目标的开发商之间存在着“串谋”以压低成交价格的强烈动机，而土地市场自身地域性较强和竞争不充分的他点，也为开发商之间的“串谋”提供了可能，现实经济中开发商之间采取共同开发、货币补偿和轮流“坐庄”等“合作”的方式，私下操纵土地的招标、拍卖价格的现象并不鲜见，这不仅扰乱了市场经济的秩序，同时也会损害资源配置的效率。
参考文献
［1］张维迎博弈论与信息经济学［M］.上海:上海人民出版社，1995.
［2］黄涛.博弈论教程——理论•应用［J］.首都经济贸易大学，2004.
注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”