论文部分内容阅读
【摘要】探讨一元函数微积分中洛必达法则的教学方式.针对洛必达法则适用题型多，但计算烦琐、易出错的特点，举例并归类说明不同类型题目如何正确使用法则.
【关键词】微积分；洛必达法则；未定式极限
【基金项目】上海电机学院学科建设项目资助（16JCXK02）.
一元函数微积分中求极限是很重要的一部分内容.求极限的几类方法中，洛必达法则是其中很有效、适用范围较广的一类方法.该法则内容简单，但数学题目千变万化，在多年的教学实践中发现，学生在应用洛必达法则求极限中依然存在很多问题.
一、洛必達法则介绍
定理（洛必达法则）设：（1）当x→0时，函数f（x）及F（x）都趋于零；
（2）在点a的某邻域内（点a本身可以除外），f′（x）及F′（x）都存在且F′（x）≠0；
（3） limx→af（x）F（x）存在（或为无穷大）.
那么 limx→af（x）F（x）=limx→af′（x）F′（x）.
当x→∞时，以及x→a时，该法则仍然成立.
洛必达法则本身表达简洁，使用方便，适用的题型较多.然而依据多年教学经验，发现学生解题过程中依然有很多问题，比如，不知道和其他方法结合使用，导致解题困难；不知道恰当整理每次的结果，再次使用洛必达法则而导致解题失败等原因.举例如下：
例1求 limx→0arcsinxx1x2.
解limx→0arcsinxx1x2=limx→0elnarcsinx-lnxx2=elimx→0lnarcsinx-lnxx2
=elimx→011-x2arcsinx-1x2x=elimx→0x-arcsinx1-x2x2arcsinxlimx→0121-x2
=e12limx→0x-arcsinx1-x2x3=e12limx→0xarcsinx1-x23x2
=e16limx→0xarcsinxx2limx→011-x2=e16.
以上是这道题目使用洛必达法则的一般解法，步骤比较多，学生前三步基本没问题，但到了第四步，很多学生不知道分开求极限，把 limx→0121-x2这个极限及时丢掉，以致后续步骤进行困难.但这样的解法步骤多，解题烦琐，不妨结合等价无穷小或者其他求极限方法，解法会简洁很多.下面给出另外一种解法.
解法2limx→0arcsinxx1x2=limx→0e1x2lnarcsinxx=elimx→0arcsinxx-1x2
=elimx→011-x2-13x2=elimx→01-1-x23x21-x2
=elimx→012x23x21-x2=e16.
解法2先用等价无穷小代换，再用洛必达法则，相比解法1，步骤明确简洁.因此，洛必达法则需合理结合其他求极限方法使用.
例2求limx→∞1-1xx-2.
解法1limx→∞1-1xx-2=limx→∞e（x-2）ln1-1x
=elimx→∞（x-2）ln1-1x=elimx→∞ln1-1x1x-2=elimx→∞-1x1x-2
=elimx→∞-x-2x=e-1.
解法2limx→∞1-1xx-2=limx→∞1 -1x-xx-2-x
=elimx→∞-x-2x=e-1.
以上用两种基本方法求解了例2，解法1是洛必达法则结合等价无穷小代换，解法略烦琐；解法2是用两个重要极限公式求解，非常简洁明了，步骤很少，易于看懂.因此，例2就不适合用洛必达法则求解，两个重要极限才是合适的选择.
例3求limx→∞x cosxx.
解limx→∞x cosxx=limx→∞1-sinx1=limx→∞1-sinx，用洛必达法则求解后，得出结果是极限不存在，但实际上
limx→∞x cosxx=limx→∞1 cosxx=1.洛必达法则对本题失效.
通过上面的分析，学生要会熟练灵活地运用洛必达法则求解函数的极限，必须对其条件、结论全面地了解、掌握，在学习过程中多加练习.学会结合其他求极限方法，学会整理每一次求解结果，知道有些题目即使满足洛必达法则的条件，洛必达法则也不适用，甚至无法求解.
【参考文献】
[1]同济大学数学系.高等数学：第7版[M].北京：高等教育出版社，2014.
[2]袁建军，欧增奇.高等数学中用洛必达法则求极限需注意的问题[J].西南师范大学学报（自然科学版），2012（6）：241-244.
[3]雒志江.应用洛必达法则中常见问题分析[J].山西大同大学学报（自然科学版），2008（5）：11-13.
【关键词】微积分；洛必达法则；未定式极限
【基金项目】上海电机学院学科建设项目资助（16JCXK02）.
一元函数微积分中求极限是很重要的一部分内容.求极限的几类方法中，洛必达法则是其中很有效、适用范围较广的一类方法.该法则内容简单，但数学题目千变万化，在多年的教学实践中发现，学生在应用洛必达法则求极限中依然存在很多问题.
一、洛必達法则介绍
定理（洛必达法则）设：（1）当x→0时，函数f（x）及F（x）都趋于零；
（2）在点a的某邻域内（点a本身可以除外），f′（x）及F′（x）都存在且F′（x）≠0；
（3） limx→af（x）F（x）存在（或为无穷大）.
那么 limx→af（x）F（x）=limx→af′（x）F′（x）.
当x→∞时，以及x→a时，该法则仍然成立.
洛必达法则本身表达简洁，使用方便，适用的题型较多.然而依据多年教学经验，发现学生解题过程中依然有很多问题，比如，不知道和其他方法结合使用，导致解题困难；不知道恰当整理每次的结果，再次使用洛必达法则而导致解题失败等原因.举例如下：
例1求 limx→0arcsinxx1x2.
解limx→0arcsinxx1x2=limx→0elnarcsinx-lnxx2=elimx→0lnarcsinx-lnxx2
=elimx→011-x2arcsinx-1x2x=elimx→0x-arcsinx1-x2x2arcsinxlimx→0121-x2
=e12limx→0x-arcsinx1-x2x3=e12limx→0xarcsinx1-x23x2
=e16limx→0xarcsinxx2limx→011-x2=e16.
以上是这道题目使用洛必达法则的一般解法，步骤比较多，学生前三步基本没问题，但到了第四步，很多学生不知道分开求极限，把 limx→0121-x2这个极限及时丢掉，以致后续步骤进行困难.但这样的解法步骤多，解题烦琐，不妨结合等价无穷小或者其他求极限方法，解法会简洁很多.下面给出另外一种解法.
解法2limx→0arcsinxx1x2=limx→0e1x2lnarcsinxx=elimx→0arcsinxx-1x2
=elimx→011-x2-13x2=elimx→01-1-x23x21-x2
=elimx→012x23x21-x2=e16.
解法2先用等价无穷小代换，再用洛必达法则，相比解法1，步骤明确简洁.因此，洛必达法则需合理结合其他求极限方法使用.
例2求limx→∞1-1xx-2.
解法1limx→∞1-1xx-2=limx→∞e（x-2）ln1-1x
=elimx→∞（x-2）ln1-1x=elimx→∞ln1-1x1x-2=elimx→∞-1x1x-2
=elimx→∞-x-2x=e-1.
解法2limx→∞1-1xx-2=limx→∞1 -1x-xx-2-x
=elimx→∞-x-2x=e-1.
以上用两种基本方法求解了例2，解法1是洛必达法则结合等价无穷小代换，解法略烦琐；解法2是用两个重要极限公式求解，非常简洁明了，步骤很少，易于看懂.因此，例2就不适合用洛必达法则求解，两个重要极限才是合适的选择.
例3求limx→∞x cosxx.
解limx→∞x cosxx=limx→∞1-sinx1=limx→∞1-sinx，用洛必达法则求解后，得出结果是极限不存在，但实际上
limx→∞x cosxx=limx→∞1 cosxx=1.洛必达法则对本题失效.
通过上面的分析，学生要会熟练灵活地运用洛必达法则求解函数的极限，必须对其条件、结论全面地了解、掌握，在学习过程中多加练习.学会结合其他求极限方法，学会整理每一次求解结果，知道有些题目即使满足洛必达法则的条件，洛必达法则也不适用，甚至无法求解.
【参考文献】
[1]同济大学数学系.高等数学：第7版[M].北京：高等教育出版社，2014.
[2]袁建军，欧增奇.高等数学中用洛必达法则求极限需注意的问题[J].西南师范大学学报（自然科学版），2012（6）：241-244.
[3]雒志江.应用洛必达法则中常见问题分析[J].山西大同大学学报（自然科学版），2008（5）：11-13.