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摘 要：数学分析授课时，学生普遍觉得概念抽象难懂，证明过程抽象难以掌握。针对这一问题，教师有必要对学生的课前学习进行加强，利用信息化技术，借助微课翻转对数学分析中定积分的概念进行教学设计，教学效果较好。
关键词：微课翻转；定积分；数学分析
中图分类号：G434 文献标识码：A 文章编号：2095-9052（2020）05-0132-02
基金项目：2019年广东省数学会教育科研项目“高职数学微课设计与实践”（GDGZSX2019004）
数学分析是数学教育专业最重要的基础课程之一。数学的许多新思想、新应用都源于这坚实的基础，也是许多后续课程如概率论与数理统计、常微分方程、数学建模等课程必备的基础。本课程旨在对学生进行系统而严格的近现代数学思想和方法的教育与训练，提高学生思维能力，完善和发展学生数学思维及素养，使其在未来的中小学数学教学中能用发展的眼光处理教学内容，深入浅出地开展教学活动。
微课翻转课堂，不是简单地将课堂教学任务都放在课前或者课外去完成，而是要根据学生特点和接受理解能力，选取适合他们的学习资源，制作课前的知识点微课，合理规划和设计课堂的教学活动。
一、 教学内容分析
（一）定积分概念的作用、地位
定积分的概念是数学分析中最主要的经典理论之一，是学生进入积分学世界必须跨过的第一道门槛。它上承导数、不定积分，下启重积分、曲面积分、曲线积分。因为定义的抽象性，初学的学生理解起来有一定的难度。
（二）定积分概念教学目标
知识目标：通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的分割、近似代替、求和、取极限实际背景及其思想方法，建构定积分的认知基础。
能力目标：通过学习，培养学生分析归纳、抽象概括以及联系与转化的思维能力，养成从具体到抽象的思维方法。
思想目标：通过这部分内容的教学，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力和辨证思维能力，并将其利用到实际生活中解决实际问题。通过学习，激发学生学习数学的兴趣，养成严谨的学习态度。
（三）定积分概念教学重点、难点
本节课的教学重点是掌握定积分的分割、近似代替、求和和取极限四个步骤。根据前面的分析，确定本节课的教学难点是“无限逼近”思想的形成过程及理解。
二、教学设计策略
本节课属于概念性教学。因为定义的抽象性，初学的学生理解起来有一定的难度[1]。在教学中，打破传统的教学模式，积极将“翻转课堂”理念融入传统教学中，提高课堂的效率，增加师生的互动。采用任务驱动式教学法为主，以研究曲边梯形的面积和汽车的行驶问题为导向，借助视频、PPT和数学软件，辅以讲授法、问题导向法、讨论法等教学方法，完成定积分概念的体验、提炼、形成、巩固和应用，促进学生对概念本质的认识和思想方法的感悟。
三、教学过程设计
教学过程按课前准备、课堂实施、课后提升三大环节来展开。
（一）课前准备
第一步教师发布课前学习资源，学生进行在線学习；第二步进行任务布置，学生完成任务；第三步教师与学生进行在线交流与讨论。教师收集学生在课前学习中遇到的疑难问题。在本节课的课前准备阶段，学生需要学习定积分的相关背景资料，观看中国古代刘徽的割圆术。用几何画板展示割圆术，学生直观感受到“以直代曲”“无限逼近”的数学思想，了解中国古代数学家的成就，进行数学史的素质教育。学生对教师提出的课前任务线上讨论。教师对讨论过程进行指导。对表现较好的同学，在蓝墨云班课中给予分值奖励。课前准备阶段的学习和师生互动，打破时空限制，既增加了课堂容量，又提高了学习效率。
（二）课堂实施
在课堂实施这一环节中，教师通过两个引例来完成定积分的概念教学，重点解决求曲边梯形的面积。按课前回顾、情景引入、分组合作、动画演示、归纳总结、展示交流、课堂小结这七个环节进行展开。
1.课前回顾
教师先进行课前回顾，在较短的时间内让学生回忆已经自学过的内容。学生代表上台介绍数学家刘徽，教师对学生的表述中不准确的部分给予纠正，并给出割圆术的准确解说。这一环节的设置，可以锻炼学生的数学语言表达和概括能力，也让学生较快地融入课堂氛围中。
2.情景引入
在以现实中圆的烟囱是由直边的砖砌成作为情景引入，让学生体会局部以直代曲的思想，也是课前观看“割圆术”方法的现实体会。教师进一步提问：“生活中，有许多不规则的图形，比如湖泊、土地等（图1）。我们使用专业的测量仪器绘测出某个湖泊的地貌图，该如何计算它的占地面积呢？”学生提出可以采用数方格的办法，问题最终归结为求曲边梯形的面积。
探究2：能否直接对整条曲边进行“以直代曲”呢？为什么？
探究3：怎样分割？分成怎样的形状？分割成多少个？
探究4：对每个小曲边梯形如何“以直代曲”？（近似代替）
探究5：如何从面积的近似值求出曲边梯形的面积？ （取极限）
在与各小组交流中发现，学生普遍能发现直接对整条曲边进行“以直代曲”，得到的曲边梯形面积误差太大。但小曲边梯形如何“以直代曲”？各小组给出不同的方案。有的用三角形替换梯形，有的用小矩形面积近似代替小曲边梯形。教师在肯定学生的方案的同时，对比方案的合理性。
4.动画演示
对比以上的方案，学生确定以小矩形替代小曲边梯形，求出曲边梯形面积的近似值。但如何求出曲边梯形面积的精确值呢？这是学生比较难理解的。针对学生这一疑点，教师现场用几何画板展示曲边梯形的分割，显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。当分割越细时，面积的误差越小，自然考虑到取极限而达到面积的准确值。学生体会局部以直代曲，由量变到质变的“极限思想”，完成教学难点的突破。 5.归纳总结
通过讨论、观看动画，师生共同归纳出求一般曲边梯形面积的步骤和方法。引导学生用数学的式子表示这几个步骤。教师在黑板给出精确的数学表达式。突出强调结果是“乘积和式，取极限”。再引导学生通过类比方法，研究变速直线运动下汽车行驶的路程问题。通过这两个案例，抛开问题的实际背景，建立数学模型，进行共性的归纳，水到渠成形成定积分概念。
6.展示交流
在学生深度理解了定积分的概念后，教师布置课堂作业，学生在课堂进行展示交流。展示交流是为了分享，也让学生通过展示、讲解使知识和技能得到进一步内化与提高。在交流中，教师也能及时了解学生对概念的掌握情况，对各小组进行指导性评价。在掌握了定积分概念的基础上，还可以用数学软件mathmatics计算复杂的定积分，这对学生今后解决专业学习中遇到复杂问题的计算很有帮助。
7.课堂小结
课堂小结是教师再一次帮助学生梳理本次课程的知识点以及重难点，引导学生积极进行课外学习。
（三）课后提升
课堂知识完成后，教师布置课后任务，引导学生再次进行概念的学习和应用，学生课后得到进一步提升。学生提交作业，教师进行评价。在蓝墨云中导出班级的汇总数据进行分析。对总分较低或者学有余力的学生进行个别辅导。
课后任务1：求直线x=0，x=2，y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。
课后任务2： 课后探究：梯形法，求曲边梯形的面积。
课后任务3： 研究性课题：利用所学知识，计算学校塑胶操场的面积。
四、教学效果
第一，教学设计中实现课堂的翻转教学。使线上和线下学习相结合，课前和课后学习相结合。
第二，微课视频、动画、数学软件的使用帮助学生直观化地摆脱了数学课堂无趣的教学模式，提高学生的学习兴趣。
在传统教学中，单纯知识讲授，学生感觉数学学习枯燥，抽象难懂，学习比较困难，难以掌握数学概念和方法，容易对数学学习失去兴趣。翻转课堂的合理融入使得数学课堂变得有趣，内容形象，学生学习兴趣提高。信息化教学已成为现代教育发展必然趋势[2]，教学效果较好。但翻转课堂需要教师具备较高的业务水平，对教师提出极大的挑战。
参考文献：
[1]刘招.翻转课堂在“数学分析”课堂教学中的研究[J].求知导刊，2017（11）：78-79.
[2]王雅萍.高職数学信息化教学探索——以定积分的概念为例[J].安徽电子信息职业技术学院学报，2017（5）：41-43.
（责任编辑：林丽华）
关键词：微课翻转；定积分；数学分析
中图分类号：G434 文献标识码：A 文章编号：2095-9052（2020）05-0132-02
基金项目：2019年广东省数学会教育科研项目“高职数学微课设计与实践”（GDGZSX2019004）
数学分析是数学教育专业最重要的基础课程之一。数学的许多新思想、新应用都源于这坚实的基础，也是许多后续课程如概率论与数理统计、常微分方程、数学建模等课程必备的基础。本课程旨在对学生进行系统而严格的近现代数学思想和方法的教育与训练，提高学生思维能力，完善和发展学生数学思维及素养，使其在未来的中小学数学教学中能用发展的眼光处理教学内容，深入浅出地开展教学活动。
微课翻转课堂，不是简单地将课堂教学任务都放在课前或者课外去完成，而是要根据学生特点和接受理解能力，选取适合他们的学习资源，制作课前的知识点微课，合理规划和设计课堂的教学活动。
一、 教学内容分析
（一）定积分概念的作用、地位
定积分的概念是数学分析中最主要的经典理论之一，是学生进入积分学世界必须跨过的第一道门槛。它上承导数、不定积分，下启重积分、曲面积分、曲线积分。因为定义的抽象性，初学的学生理解起来有一定的难度。
（二）定积分概念教学目标
知识目标：通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的分割、近似代替、求和、取极限实际背景及其思想方法，建构定积分的认知基础。
能力目标：通过学习，培养学生分析归纳、抽象概括以及联系与转化的思维能力，养成从具体到抽象的思维方法。
思想目标：通过这部分内容的教学，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力和辨证思维能力，并将其利用到实际生活中解决实际问题。通过学习，激发学生学习数学的兴趣，养成严谨的学习态度。
（三）定积分概念教学重点、难点
本节课的教学重点是掌握定积分的分割、近似代替、求和和取极限四个步骤。根据前面的分析，确定本节课的教学难点是“无限逼近”思想的形成过程及理解。
二、教学设计策略
本节课属于概念性教学。因为定义的抽象性，初学的学生理解起来有一定的难度[1]。在教学中，打破传统的教学模式，积极将“翻转课堂”理念融入传统教学中，提高课堂的效率，增加师生的互动。采用任务驱动式教学法为主，以研究曲边梯形的面积和汽车的行驶问题为导向，借助视频、PPT和数学软件，辅以讲授法、问题导向法、讨论法等教学方法，完成定积分概念的体验、提炼、形成、巩固和应用，促进学生对概念本质的认识和思想方法的感悟。
三、教学过程设计
教学过程按课前准备、课堂实施、课后提升三大环节来展开。
（一）课前准备
第一步教师发布课前学习资源，学生进行在線学习；第二步进行任务布置，学生完成任务；第三步教师与学生进行在线交流与讨论。教师收集学生在课前学习中遇到的疑难问题。在本节课的课前准备阶段，学生需要学习定积分的相关背景资料，观看中国古代刘徽的割圆术。用几何画板展示割圆术，学生直观感受到“以直代曲”“无限逼近”的数学思想，了解中国古代数学家的成就，进行数学史的素质教育。学生对教师提出的课前任务线上讨论。教师对讨论过程进行指导。对表现较好的同学，在蓝墨云班课中给予分值奖励。课前准备阶段的学习和师生互动，打破时空限制，既增加了课堂容量，又提高了学习效率。
（二）课堂实施
在课堂实施这一环节中，教师通过两个引例来完成定积分的概念教学，重点解决求曲边梯形的面积。按课前回顾、情景引入、分组合作、动画演示、归纳总结、展示交流、课堂小结这七个环节进行展开。
1.课前回顾
教师先进行课前回顾，在较短的时间内让学生回忆已经自学过的内容。学生代表上台介绍数学家刘徽，教师对学生的表述中不准确的部分给予纠正，并给出割圆术的准确解说。这一环节的设置，可以锻炼学生的数学语言表达和概括能力，也让学生较快地融入课堂氛围中。
2.情景引入
在以现实中圆的烟囱是由直边的砖砌成作为情景引入，让学生体会局部以直代曲的思想，也是课前观看“割圆术”方法的现实体会。教师进一步提问：“生活中，有许多不规则的图形，比如湖泊、土地等（图1）。我们使用专业的测量仪器绘测出某个湖泊的地貌图，该如何计算它的占地面积呢？”学生提出可以采用数方格的办法，问题最终归结为求曲边梯形的面积。
探究2：能否直接对整条曲边进行“以直代曲”呢？为什么？
探究3：怎样分割？分成怎样的形状？分割成多少个？
探究4：对每个小曲边梯形如何“以直代曲”？（近似代替）
探究5：如何从面积的近似值求出曲边梯形的面积？ （取极限）
在与各小组交流中发现，学生普遍能发现直接对整条曲边进行“以直代曲”，得到的曲边梯形面积误差太大。但小曲边梯形如何“以直代曲”？各小组给出不同的方案。有的用三角形替换梯形，有的用小矩形面积近似代替小曲边梯形。教师在肯定学生的方案的同时，对比方案的合理性。
4.动画演示
对比以上的方案，学生确定以小矩形替代小曲边梯形，求出曲边梯形面积的近似值。但如何求出曲边梯形面积的精确值呢？这是学生比较难理解的。针对学生这一疑点，教师现场用几何画板展示曲边梯形的分割，显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。当分割越细时，面积的误差越小，自然考虑到取极限而达到面积的准确值。学生体会局部以直代曲，由量变到质变的“极限思想”，完成教学难点的突破。 5.归纳总结
通过讨论、观看动画，师生共同归纳出求一般曲边梯形面积的步骤和方法。引导学生用数学的式子表示这几个步骤。教师在黑板给出精确的数学表达式。突出强调结果是“乘积和式，取极限”。再引导学生通过类比方法，研究变速直线运动下汽车行驶的路程问题。通过这两个案例，抛开问题的实际背景，建立数学模型，进行共性的归纳，水到渠成形成定积分概念。
6.展示交流
在学生深度理解了定积分的概念后，教师布置课堂作业，学生在课堂进行展示交流。展示交流是为了分享，也让学生通过展示、讲解使知识和技能得到进一步内化与提高。在交流中，教师也能及时了解学生对概念的掌握情况，对各小组进行指导性评价。在掌握了定积分概念的基础上，还可以用数学软件mathmatics计算复杂的定积分，这对学生今后解决专业学习中遇到复杂问题的计算很有帮助。
7.课堂小结
课堂小结是教师再一次帮助学生梳理本次课程的知识点以及重难点，引导学生积极进行课外学习。
（三）课后提升
课堂知识完成后，教师布置课后任务，引导学生再次进行概念的学习和应用，学生课后得到进一步提升。学生提交作业，教师进行评价。在蓝墨云中导出班级的汇总数据进行分析。对总分较低或者学有余力的学生进行个别辅导。
课后任务1：求直线x=0，x=2，y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。
课后任务2： 课后探究：梯形法，求曲边梯形的面积。
课后任务3： 研究性课题：利用所学知识，计算学校塑胶操场的面积。
四、教学效果
第一，教学设计中实现课堂的翻转教学。使线上和线下学习相结合，课前和课后学习相结合。
第二，微课视频、动画、数学软件的使用帮助学生直观化地摆脱了数学课堂无趣的教学模式，提高学生的学习兴趣。
在传统教学中，单纯知识讲授，学生感觉数学学习枯燥，抽象难懂，学习比较困难，难以掌握数学概念和方法，容易对数学学习失去兴趣。翻转课堂的合理融入使得数学课堂变得有趣，内容形象，学生学习兴趣提高。信息化教学已成为现代教育发展必然趋势[2]，教学效果较好。但翻转课堂需要教师具备较高的业务水平，对教师提出极大的挑战。
参考文献：
[1]刘招.翻转课堂在“数学分析”课堂教学中的研究[J].求知导刊，2017（11）：78-79.
[2]王雅萍.高職数学信息化教学探索——以定积分的概念为例[J].安徽电子信息职业技术学院学报，2017（5）：41-43.
（责任编辑：林丽华）