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特级教师蔡宏圣站在数学史的角度,通过研读数学史深入到学生数学学习的内部,以“怎样促进儿童数学学习”的敏锐触角,捕捉到“用字母表示数”隐藏着的丰富教育基因,对教学内容进行了重构,将代数学的发展史融于课堂的每一环节,让抽象的字母表示数变得生动形象,在浓厚的数学史观照下为学生打开神奇的数学之门,使得课堂充满了丰厚的文化底蕴,令人耳目一新。下面撷取几个片段与大家分享。
[片段一]
屏幕上出示3根小棒搭成的三角形,要求学生写算式表示摆2个、3个、4个三角形需要几根小棒。
师:下面我们来个小比赛,摆10个三角形,也用这样的算式来表示摆三角形用的小棒根数,比一比谁写得多。预备,开始。
(学生纷纷动笔计算,并在交流中总结这些算式的特点)
师:既然这些算式写不完,能不能用一道算式,把你们已经写的和还没有写的算式都包括进来吗?
生1:n×3。
生2:x×3。
生3:a×3。
师:看来大家意见比较一致,只是用不同的字母表示罢了。那行,老师就和刚才那个同学一样写成a×3。不过都用字母表示数了,为什么不把这里的“3”也用字母表示呢?
生:三角形都有3根小棒是不可能改变的。
师:很好!可见,用字母表示数不是简单地用字母替代数,而只能用字母表示一直变化的量,不变的量必须照写。
师:同学们,刚才我们写的2×3、3×3等算式,每一个算式都表示摆三角形的一种情况,那现在的a×3呢?
生1:各种各样的情况。
生2:所有的情况。
师:也就是说,这里的字母从表面上看只是一个字母,但它是个有魔力的字母,它可以代表——
生(齐):无数个数。
[赏析]用字母表示数的实质是符号化,而绝不是用字母替代某个数量。在教学时,可以通过数学发展史提炼出学生的认知发展规律,通过数学家的困难预见和解释学生的学习困难,根据历史发展的顺序作为安排学习层次顺序的参考,利用历史背景知识激发学生的兴趣。同时,要让学生深刻认识到摆多少个三角形这个量是已知的,之所以要用字母来表示,是因为这样的数太多了,写不完,而用字母却能把这些数都包含进去。整个教学,教师引导学生逐步深入,对字母表示数的认识从缩写到符号、从特定到变化、从未知到已知,学生对用字母表示数的认识不断提升。
[片段二]
(课件演示魔盒活动:输入19,变出44;输入58,变出83;输入87,变出112)
师:经魔盒加工后数据是怎样发生变化的?
生:19+25=44,58+25=83, 87+25=112,都是加了25。
师:你报数,请其他同学说结果。
生:……
师:把我们每个人心里想的都包括进来应该怎么说?进去的数和出来的数有什么关系?可以用什么式子表示呢?
生:进去a,出来a+25。
[赏析]考察数学史可以知道,代数学发展经历了文辞代数、缩写代数、符号代数三个历史阶段,而对于符号意义上用字母表示数的价值,也只有在比照中才能体会得更加真切。蔡老师仔细分析了学生已有的字母运用的各种经验,发现他们以往的经验主要是用字母来表示特定的意义,例如S表示面积,而且还认为不知道一个数量到底是多少才用字母替代。因此在探究魔盒中输出的数与输入的数有什么关系时,主要让学生通过观察两数间的关系,体会用字母表示它们之间的关系这种思维方式的价值,并精心组织了反思总结活动,引导学生在探究的基础上深化认识:字母不仅可以表示特定的意义,而且还可以表示变化的数量,使学生的认识实现由单一向多元、由表象到本质的飞跃。
[片段三]
师:下面一个练习是“编故事”。故事的主角是a×4。老师先作个示范。(掂掂学生的数学书)如果a表示一本数学书的重量,那么a×4就是?
生:(异口同声)4本数学书的重量。
师:而且是4本同样的数学书的重量。很容易吧?下面,哪个同学来编?
(学生用a代表各种数量,说了a×4的意思)
师:既然大家把a×4讲得这样丰富多彩,老师就讲个这方面的历史故事。
(学生鼓掌)
师:在历史上,对于数量和数量之间的关系,我们人类最初是用文字表示的(课件出示:每个重量×4,每个价钱×4,每班人数×4,其中“重”“价”“人”用红色标出),显然比较烦琐。因而,古希腊数学家丢番图想到了用缩写的方法来表示。仿照丢番图的方法,这里的“每个重量×4”,取“重”发音的第一个字母,表示成“z×4”。那么“每个价钱×4”和“每班人数×4”怎样用缩写的方法表示?
生:j×4和r×4。
师:丢番图用字母的缩写来表示数量间的关系,虽然简洁了,但每个字母都表示特定的意思,不能把z×4和j×4混同起来,所以,并没有给数学家研究数学带来更多的简便。到16世纪,法国数学家韦达想,如果把各种情境中字母表示的特定意思都去掉的话,不都是一个数和4相乘吗?(课件中的“z×4”“j×4”“r×4”依次变为“□×4”)所以,韦达就表示成了a×4,这里的a还是特定的意思吗?
生:(异口同声)不是!
师:对,字母a已经不表示任何具体的意义,和这里的小方块一样,只是一个符号而已(在“缩写”后面板书:→符号)。自从韦达把字母当做符号来表示数之后,许多数学难题得到了解决,数学获得了飞速发展,韦达被称为现代代数学之父。(教师稍作停顿)从丢番图用缩写的方法表示数到韦达把字母当做符号来表示数,用了整整1 200年!
(学生情不自禁地发出了惊呼)
师:孩子们,我们只用了40分钟就跨过了人类认识提升的1 200年历史,你们的表现是最棒的。
(学生感到非常骄傲,眼睛里闪烁着自信的光芒)
师:当然,通过今天的学习,有些同学对“用字母表示数”可能还有些模糊,不要紧。你想想,在历史上数学家们都用了1 200年,你才学了一节课,你急什么呢?相信自己,通过后面的学习一定能融会贯通的。
[赏析]蔡老师设计“编故事”的练习,让学生进一步体会“用字母表示数”的概括性,着力引导学生经历由具体到抽象的过程,在体验的基础上,引领学生作为一个旁观者反思刚才所经历的抽象过程,提升认识。蔡老师还顺势讲述从丢番图到韦达的抽象历程,这样,数学历史不仅仅是一种事实的告诉,而是充溢着人类智慧递进的历程,为学生完善数学理解提供了支撑。特别是“我们只用了40分钟就跨过了人类认识提升的1 200年历史”激发了学生的学习热情,让他们体验到数学的神奇魅力。的确,数学史就其本质而言是人类数学思想的发展史,而数学教育的最高境界是数学思想的感悟和熏陶。我们的数学教育无疑要从数学史中汲取更丰富的养分,让数学史促使数学教育变得更厚重和深刻,唯有如此,数学教育才能走向深入和厚实。(作者单位:江苏省金坛市常胜小学)■
□责任编辑 邓园生
E-mail: jxjydys@126.com
[片段一]
屏幕上出示3根小棒搭成的三角形,要求学生写算式表示摆2个、3个、4个三角形需要几根小棒。
师:下面我们来个小比赛,摆10个三角形,也用这样的算式来表示摆三角形用的小棒根数,比一比谁写得多。预备,开始。
(学生纷纷动笔计算,并在交流中总结这些算式的特点)
师:既然这些算式写不完,能不能用一道算式,把你们已经写的和还没有写的算式都包括进来吗?
生1:n×3。
生2:x×3。
生3:a×3。
师:看来大家意见比较一致,只是用不同的字母表示罢了。那行,老师就和刚才那个同学一样写成a×3。不过都用字母表示数了,为什么不把这里的“3”也用字母表示呢?
生:三角形都有3根小棒是不可能改变的。
师:很好!可见,用字母表示数不是简单地用字母替代数,而只能用字母表示一直变化的量,不变的量必须照写。
师:同学们,刚才我们写的2×3、3×3等算式,每一个算式都表示摆三角形的一种情况,那现在的a×3呢?
生1:各种各样的情况。
生2:所有的情况。
师:也就是说,这里的字母从表面上看只是一个字母,但它是个有魔力的字母,它可以代表——
生(齐):无数个数。
[赏析]用字母表示数的实质是符号化,而绝不是用字母替代某个数量。在教学时,可以通过数学发展史提炼出学生的认知发展规律,通过数学家的困难预见和解释学生的学习困难,根据历史发展的顺序作为安排学习层次顺序的参考,利用历史背景知识激发学生的兴趣。同时,要让学生深刻认识到摆多少个三角形这个量是已知的,之所以要用字母来表示,是因为这样的数太多了,写不完,而用字母却能把这些数都包含进去。整个教学,教师引导学生逐步深入,对字母表示数的认识从缩写到符号、从特定到变化、从未知到已知,学生对用字母表示数的认识不断提升。
[片段二]
(课件演示魔盒活动:输入19,变出44;输入58,变出83;输入87,变出112)
师:经魔盒加工后数据是怎样发生变化的?
生:19+25=44,58+25=83, 87+25=112,都是加了25。
师:你报数,请其他同学说结果。
生:……
师:把我们每个人心里想的都包括进来应该怎么说?进去的数和出来的数有什么关系?可以用什么式子表示呢?
生:进去a,出来a+25。
[赏析]考察数学史可以知道,代数学发展经历了文辞代数、缩写代数、符号代数三个历史阶段,而对于符号意义上用字母表示数的价值,也只有在比照中才能体会得更加真切。蔡老师仔细分析了学生已有的字母运用的各种经验,发现他们以往的经验主要是用字母来表示特定的意义,例如S表示面积,而且还认为不知道一个数量到底是多少才用字母替代。因此在探究魔盒中输出的数与输入的数有什么关系时,主要让学生通过观察两数间的关系,体会用字母表示它们之间的关系这种思维方式的价值,并精心组织了反思总结活动,引导学生在探究的基础上深化认识:字母不仅可以表示特定的意义,而且还可以表示变化的数量,使学生的认识实现由单一向多元、由表象到本质的飞跃。
[片段三]
师:下面一个练习是“编故事”。故事的主角是a×4。老师先作个示范。(掂掂学生的数学书)如果a表示一本数学书的重量,那么a×4就是?
生:(异口同声)4本数学书的重量。
师:而且是4本同样的数学书的重量。很容易吧?下面,哪个同学来编?
(学生用a代表各种数量,说了a×4的意思)
师:既然大家把a×4讲得这样丰富多彩,老师就讲个这方面的历史故事。
(学生鼓掌)
师:在历史上,对于数量和数量之间的关系,我们人类最初是用文字表示的(课件出示:每个重量×4,每个价钱×4,每班人数×4,其中“重”“价”“人”用红色标出),显然比较烦琐。因而,古希腊数学家丢番图想到了用缩写的方法来表示。仿照丢番图的方法,这里的“每个重量×4”,取“重”发音的第一个字母,表示成“z×4”。那么“每个价钱×4”和“每班人数×4”怎样用缩写的方法表示?
生:j×4和r×4。
师:丢番图用字母的缩写来表示数量间的关系,虽然简洁了,但每个字母都表示特定的意思,不能把z×4和j×4混同起来,所以,并没有给数学家研究数学带来更多的简便。到16世纪,法国数学家韦达想,如果把各种情境中字母表示的特定意思都去掉的话,不都是一个数和4相乘吗?(课件中的“z×4”“j×4”“r×4”依次变为“□×4”)所以,韦达就表示成了a×4,这里的a还是特定的意思吗?
生:(异口同声)不是!
师:对,字母a已经不表示任何具体的意义,和这里的小方块一样,只是一个符号而已(在“缩写”后面板书:→符号)。自从韦达把字母当做符号来表示数之后,许多数学难题得到了解决,数学获得了飞速发展,韦达被称为现代代数学之父。(教师稍作停顿)从丢番图用缩写的方法表示数到韦达把字母当做符号来表示数,用了整整1 200年!
(学生情不自禁地发出了惊呼)
师:孩子们,我们只用了40分钟就跨过了人类认识提升的1 200年历史,你们的表现是最棒的。
(学生感到非常骄傲,眼睛里闪烁着自信的光芒)
师:当然,通过今天的学习,有些同学对“用字母表示数”可能还有些模糊,不要紧。你想想,在历史上数学家们都用了1 200年,你才学了一节课,你急什么呢?相信自己,通过后面的学习一定能融会贯通的。
[赏析]蔡老师设计“编故事”的练习,让学生进一步体会“用字母表示数”的概括性,着力引导学生经历由具体到抽象的过程,在体验的基础上,引领学生作为一个旁观者反思刚才所经历的抽象过程,提升认识。蔡老师还顺势讲述从丢番图到韦达的抽象历程,这样,数学历史不仅仅是一种事实的告诉,而是充溢着人类智慧递进的历程,为学生完善数学理解提供了支撑。特别是“我们只用了40分钟就跨过了人类认识提升的1 200年历史”激发了学生的学习热情,让他们体验到数学的神奇魅力。的确,数学史就其本质而言是人类数学思想的发展史,而数学教育的最高境界是数学思想的感悟和熏陶。我们的数学教育无疑要从数学史中汲取更丰富的养分,让数学史促使数学教育变得更厚重和深刻,唯有如此,数学教育才能走向深入和厚实。(作者单位:江苏省金坛市常胜小学)■
□责任编辑 邓园生
E-mail: jxjydys@126.com