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[摘 要] 本文探讨了将GARCH模型与方差-协方差方法相结合的VaR风险计量方法，并用VaR风险替代Markiwitz组合投资模型中的方差风险，通过求解非线性规划问题，得到最小化股票投资组合VaR风险的最优投资策略。
[关键词] VaR 方差风险 Markowitz组合投资模型
一、引言
1993年G30研究小组在《衍生产品的实践和规则》的报告中首次提出VaR模型,之后在巴塞尔银行监管委员会和国际证券委员会的推动下,VaR模型逐渐成为金融风险管理的主流方法。关于VaR模型在股票组合投资决策中的应用，国外学者做了大量研究。例如,Alexander,Baptista(2002)对比研究了均值-方差模型和均值-VaR模型对于股票组合投资决策的经济意义。Campbell,Huisman,Koedijk（2001）在VaR模型框架下研究了最优证券组合投资问题。Consigli(2002)应用均值-VaR模型研究了不稳定金融市场中的证券投资组合选择问题。
关于VaR模型在金融风险计量和管理中的应用，我国学者也作了一些研究。例如，戴国强、徐龙炳、陆蓉(2000)探讨了VaR模型对我国金融风险管理的借鉴意义及其应用方法。宁云才、王红卫(2002)探讨了Markowitz投资组合有效边界的程序化解法。
本文首先探讨了基于GARCH模型的股票投资组合VaR风险计量方法，然后将VaR风险替代Markowitz投资组合模型中的方差风险，通过求解非线性数学规划问题得到股票投资组合的另一种最优投资策略。
二、模型与方法
1.VaR的定义
根据Jorion的定义VaR指给定置信区间下金融资产或资产组合在持有期内的最坏预期损失。若用V表示资产组合在持有期末的价值，E(V)表示资产组合在持有期末的期望价值，表示给定置信区间c下资产组合的最低价值,则VaR值如(1)式所示。
（1）
其中,V*满足(2)式所示的条件。
P(V|V>V*)=c 或（2）
其中,f(v)表示持有期末资产组合价值的概率密度函数。
计算VaR需先确定以下三个因素:资产组合持有期的长短、置信区间c的水平和持有期内资产组合价值的分布特征。VaR值计算通常有三种方法:历史模拟法、方差-协方差法和蒙特卡洛模拟法。本文的研究采用方差-协方差法。
2.计算VaR值的方差-协方差方法
假设投资组合由n只股票组成，记为第i只股票的价值在投资组合总价值中所占的比例,并满足(3)式所示的约束条件。
令S表示投资组合收益率的方差-协方差矩阵,表示股票投资组合的投资策略向量,则投资组合收益率的方差可由(4)式计算得到。
(4)
假定资产组合的收益率服从正态分布,由正态分布的分位数进一步计算得到投资组合的VaR值,如(5)式所示。
(5)
其中,表示投资组合的初始投资额,表示标准正态分布在置信水平c下的分位数。
由于根据历史数据计算的收益率方差不能准确反映未来持有期内收益率的波动性,为克服这一的缺点,本文应用GARCH模型对股票未来持有期内的波动率进行预测，在波动率预测值的基础上计算投资组合在未来持有期内的VaR值。
3.GARCH模型及其对股票收益波动率的预测方法
对金融时间序列收益波动率的研究一直是金融研究的重点问题之一,1982年Engle提出了ARCH模型,即自回归条件异方差模型，1986年Bollerslev在此基础上提出了GARCH模型，即广义自回归条件异方差模型,用以对金融时间序列收益波动率进行建模。对股票收益波动率的建模经常采用GARCH(1,1)模型,例如宋逢明、江婕(2003)对中国股市波动率特征的实证研究,赵留彦、王一鸣(2004)在对中国股市收益率的时变方差与周内效应的研究，本文的研究采用GARCH(1,1)模型。
GARCH(1,1)模型的具体设定如公式(6）、(7)所示。
(6)
(7)
其中,rt表示股票在第t期的收益率，u表示股票收益率的均值，εt表示第t期股票收益率偏离均值的残差,σt表示第t期股票收益的波动率。α0 、α1和β为待估参数。
GARCH(1,1)模型实际上包含了一个递推公式。根据rt和公式(6)可计算得到εt ,将εt 和σt代入公式(7),可对σt+1进行预测,依次类推。预测使用的第一期的收益波动率通常由历史波动率法计算得到。
4.基于VaR的最优股票组合投资策略
令Θ表示投资组合各成分股票收益率的相关系数矩阵,s表示由各成分股票收益率方差预测值构成的列向量,其中收益率方差的预测值由GARCH模型得到，则投资组合在预测期内收益率的方差可由(8)式计算得到。
（8）
在股票收益率服从正态分布的假定下,将代入公式(5）,可计算出投资组合的VaR值。将投资组合的VaR风险值替代Markowitz组合投资模型中的方差风险值,可得下述非线性数学规划问题。
(9)
(10)
求解上述非线性数学规划问题，可得到最小化投资组合VaR风险值的最优投资策略向量和最优投资组合的VaR值。
三、实证算例
本文选取上海证券交易所上市交易分属不同行业的6只股票构成样本股票投资组合,这6只股票的名称见表1。本文收集了上述股票2006年9月7日至2007年4月30日的日收盘数据,根据日收益率数据应用Eviews5.0软件估计各成分股票GARCH模型的参数,参数估计结果见表1。
应用GARCH模型预测各成分股票在下一个交易日里的收益波动率,预测结果列示于表2。
根据样本股票日收益率数据可计算成分股票间收益率相关系数矩阵。在给定各成分股票投资比重的条件下，应用公式(8)计算投资组合收益波动率的预测值， 再根据公式(5）计算投资组合在下一个交易日里的VaR风险值。利用Excel中的规划求解功能求解公式(9）、（10)所示的非线性规划问题，得到各成分股票的最优投资比重，求解结果列示于表2。
为比较上述最优投资策略降低投资组合VaR风险值的程度，本文同时计算了等比例投资策略下投资组合的VaR风险值，计算结果列示于表3。
表3显示,如果投资者的初始投资为1000000元,则在下一个交易日里,在5%的置信水平下,最优投资组合的最坏损失约为36443元,等比例投资组合的最坏损失约为39748元。在1%的置信水平下,最优投资组合的最坏损失约为51462元，等比例投资组合的最坏损失约为56130元。在两种置信水平下,等比例投资组合的最坏损失均大于最优投资组合的最坏损失。
参考文献:
[1]Alexander G. J.Baptista A. M.2002,Economic implications of using a mean-VaR model for portfolio selection:A comparison with mean-variance analysis [J],Journal of Economic Dynamics & Control 26,1159～1193
[2]Campbell R.Huisman R.Koedijk K.2001,Optimal portfolio selection in a Value-at Risk framework[J],Journal of Banking & Finance 25,1789～1804
[3]Consigli G.2002,Tail estimation and mean～VaR portfolio selection in markets subject to financial instability [J],Journal of Banking & Finance 26,1355～1382
[4]戴国强 徐龙炳 陆 蓉:2000,VaR方法对我国金融风险管理的借鉴及应用[J],金融研究,第7期
[5]宁云才 王红卫:2003，Markowitz组合投资模型的程序化求解方法[J],数量经济技术经济研究,第10期
[6]Jorion P.2000,VaR:风险价值——金融风险管理新标准[M],张海鱼译,中信出版社
[7]宋逢明 江 婕:2003，中国股票市场波动性特性的实证研究[J],金融研究,第4期
[8]赵留彦 王一鸣:2004,中国股票收益率的时变方差与周内效应[J],世界经济,第1期
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[关键词] VaR 方差风险 Markowitz组合投资模型
一、引言
1993年G30研究小组在《衍生产品的实践和规则》的报告中首次提出VaR模型,之后在巴塞尔银行监管委员会和国际证券委员会的推动下,VaR模型逐渐成为金融风险管理的主流方法。关于VaR模型在股票组合投资决策中的应用，国外学者做了大量研究。例如,Alexander,Baptista(2002)对比研究了均值-方差模型和均值-VaR模型对于股票组合投资决策的经济意义。Campbell,Huisman,Koedijk（2001）在VaR模型框架下研究了最优证券组合投资问题。Consigli(2002)应用均值-VaR模型研究了不稳定金融市场中的证券投资组合选择问题。
关于VaR模型在金融风险计量和管理中的应用，我国学者也作了一些研究。例如，戴国强、徐龙炳、陆蓉(2000)探讨了VaR模型对我国金融风险管理的借鉴意义及其应用方法。宁云才、王红卫(2002)探讨了Markowitz投资组合有效边界的程序化解法。
本文首先探讨了基于GARCH模型的股票投资组合VaR风险计量方法，然后将VaR风险替代Markowitz投资组合模型中的方差风险，通过求解非线性数学规划问题得到股票投资组合的另一种最优投资策略。
二、模型与方法
1.VaR的定义
根据Jorion的定义VaR指给定置信区间下金融资产或资产组合在持有期内的最坏预期损失。若用V表示资产组合在持有期末的价值，E(V)表示资产组合在持有期末的期望价值，表示给定置信区间c下资产组合的最低价值,则VaR值如(1)式所示。
（1）
其中,V*满足(2)式所示的条件。
P(V|V>V*)=c 或（2）
其中,f(v)表示持有期末资产组合价值的概率密度函数。
计算VaR需先确定以下三个因素:资产组合持有期的长短、置信区间c的水平和持有期内资产组合价值的分布特征。VaR值计算通常有三种方法:历史模拟法、方差-协方差法和蒙特卡洛模拟法。本文的研究采用方差-协方差法。
2.计算VaR值的方差-协方差方法
假设投资组合由n只股票组成，记为第i只股票的价值在投资组合总价值中所占的比例,并满足(3)式所示的约束条件。
令S表示投资组合收益率的方差-协方差矩阵,表示股票投资组合的投资策略向量,则投资组合收益率的方差可由(4)式计算得到。
(4)
假定资产组合的收益率服从正态分布,由正态分布的分位数进一步计算得到投资组合的VaR值,如(5)式所示。
(5)
其中,表示投资组合的初始投资额,表示标准正态分布在置信水平c下的分位数。
由于根据历史数据计算的收益率方差不能准确反映未来持有期内收益率的波动性,为克服这一的缺点,本文应用GARCH模型对股票未来持有期内的波动率进行预测，在波动率预测值的基础上计算投资组合在未来持有期内的VaR值。
3.GARCH模型及其对股票收益波动率的预测方法
对金融时间序列收益波动率的研究一直是金融研究的重点问题之一,1982年Engle提出了ARCH模型,即自回归条件异方差模型，1986年Bollerslev在此基础上提出了GARCH模型，即广义自回归条件异方差模型,用以对金融时间序列收益波动率进行建模。对股票收益波动率的建模经常采用GARCH(1,1)模型,例如宋逢明、江婕(2003)对中国股市波动率特征的实证研究,赵留彦、王一鸣(2004)在对中国股市收益率的时变方差与周内效应的研究，本文的研究采用GARCH(1,1)模型。
GARCH(1,1)模型的具体设定如公式(6）、(7)所示。
(6)
(7)
其中,rt表示股票在第t期的收益率，u表示股票收益率的均值，εt表示第t期股票收益率偏离均值的残差,σt表示第t期股票收益的波动率。α0 、α1和β为待估参数。
GARCH(1,1)模型实际上包含了一个递推公式。根据rt和公式(6)可计算得到εt ,将εt 和σt代入公式(7),可对σt+1进行预测,依次类推。预测使用的第一期的收益波动率通常由历史波动率法计算得到。
4.基于VaR的最优股票组合投资策略
令Θ表示投资组合各成分股票收益率的相关系数矩阵,s表示由各成分股票收益率方差预测值构成的列向量,其中收益率方差的预测值由GARCH模型得到，则投资组合在预测期内收益率的方差可由(8)式计算得到。
（8）
在股票收益率服从正态分布的假定下,将代入公式(5）,可计算出投资组合的VaR值。将投资组合的VaR风险值替代Markowitz组合投资模型中的方差风险值,可得下述非线性数学规划问题。
(9)
(10)
求解上述非线性数学规划问题，可得到最小化投资组合VaR风险值的最优投资策略向量和最优投资组合的VaR值。
三、实证算例
本文选取上海证券交易所上市交易分属不同行业的6只股票构成样本股票投资组合,这6只股票的名称见表1。本文收集了上述股票2006年9月7日至2007年4月30日的日收盘数据,根据日收益率数据应用Eviews5.0软件估计各成分股票GARCH模型的参数,参数估计结果见表1。
应用GARCH模型预测各成分股票在下一个交易日里的收益波动率,预测结果列示于表2。
根据样本股票日收益率数据可计算成分股票间收益率相关系数矩阵。在给定各成分股票投资比重的条件下，应用公式(8)计算投资组合收益波动率的预测值， 再根据公式(5）计算投资组合在下一个交易日里的VaR风险值。利用Excel中的规划求解功能求解公式(9）、（10)所示的非线性规划问题，得到各成分股票的最优投资比重，求解结果列示于表2。
为比较上述最优投资策略降低投资组合VaR风险值的程度，本文同时计算了等比例投资策略下投资组合的VaR风险值，计算结果列示于表3。
表3显示,如果投资者的初始投资为1000000元,则在下一个交易日里,在5%的置信水平下,最优投资组合的最坏损失约为36443元,等比例投资组合的最坏损失约为39748元。在1%的置信水平下,最优投资组合的最坏损失约为51462元，等比例投资组合的最坏损失约为56130元。在两种置信水平下,等比例投资组合的最坏损失均大于最优投资组合的最坏损失。
参考文献:
[1]Alexander G. J.Baptista A. M.2002,Economic implications of using a mean-VaR model for portfolio selection:A comparison with mean-variance analysis [J],Journal of Economic Dynamics & Control 26,1159～1193
[2]Campbell R.Huisman R.Koedijk K.2001,Optimal portfolio selection in a Value-at Risk framework[J],Journal of Banking & Finance 25,1789～1804
[3]Consigli G.2002,Tail estimation and mean～VaR portfolio selection in markets subject to financial instability [J],Journal of Banking & Finance 26,1355～1382
[4]戴国强 徐龙炳 陆 蓉:2000,VaR方法对我国金融风险管理的借鉴及应用[J],金融研究,第7期
[5]宁云才 王红卫:2003，Markowitz组合投资模型的程序化求解方法[J],数量经济技术经济研究,第10期
[6]Jorion P.2000,VaR:风险价值——金融风险管理新标准[M],张海鱼译,中信出版社
[7]宋逢明 江 婕:2003，中国股票市场波动性特性的实证研究[J],金融研究,第4期
[8]赵留彦 王一鸣:2004,中国股票收益率的时变方差与周内效应[J],世界经济,第1期
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