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勾股定理是人类历史上光彩夺目的明珠，它是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理；它是联系数学中最基本、最原始的两个对象——数与形的第一定理；它揭示了无理数与有理数的区别，引发了第一次数学危机；它开始把数学由计算与测量的技术转变为论证与推理的科学.满足勾股定理方程a2 b2=c2的正整数组（a，b，c）就称为勾股数组，简称勾股数，也叫毕达哥拉斯数.
勾股方程a2 b2=c2中含有3个未知数，方程的解不唯一.根据勾股定理，只要是直角三角形，三边长都是它的解.本文只讨论它的正整数解的情况，即勾股数，以下全文均设勾股数中第一个数为a，第二个数为b，第三个数为c，且a 一、勾股数有公式可以计算吗？
1. a为奇数.
观察下列勾股数：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）7，24，25；（4）9，40，41……可以发现两个特点：①a为奇数，且从3开始无间断，b、c是连续自然数；② a2=b c.以上两个特点，为解决直角三角形的周长问题提供了方便.
问题1：直角三角形的两条直角边为正整数，其中一条短直角边的长为13，求这个三角形的周长.
很多同学看到只有一个条件，束手无策，其实，根据特点①，我们可以设出另一条直角边和斜边，利用勾股定理列出方程，进而求得周长.设另一条直角边为x，则斜边为x 1，列方程得132 x2=（x 1）2，解得x=84，则周长=182.或者根据特点②，我们可以先求出另一条直角边与斜边的和，进而求得周长.
在利用勾股定理解决直角三角形问题时，掌握勾股数之间的特征，往往能事半功倍.进一步研究3条边的关系，我们可以发现：
①[12]（32-1）=4，[12]（32 1）=5；
②[12]（52-1）=12，[12]（52 1）=13；
③[12]（72-1）=24，[12]（72 1）=25；
④[12]（92-1）=40，[12]（92 1）=41；
……
能不能用代数式表示这3条边呢？因为a为奇数，所以设a=2n 1（n>0），则b=[12][（2n 1） 2-1][=2n2 2n]，c=[12][（2n 1） 2 1]=
[2n2 2n 1]，且a2 b2=c2，至此，可以得出此类勾股数的公式：（2n 1，2n2 2n，2n2 2n 1）.
2. a为偶数.
观察下列勾股数：（1）6，8，10；（2）8，15，17；（3）10，24，26；（4）12，35，37……可发现两个特点：①a为偶数，且从6开始无间断，b、c是连续奇数或连续偶数；②a2=2（b c）.以上两个特点，也为求直角三角形的周长提供了方便.
问题2：直角三角形的两条直角边为正整数，其中一条短直角边的长为16，求这个三角形的周长.
根据特点①，我们可以设出另一条直角边和斜边，利用勾股定理列出方程，进而求得周长.或者根据特点②，我们可以先求出另一条直角边与斜边的和，进而求得周长.
进一步研究3条边的关系，我们可以发现：
①[12×62-1=8]，[12×62 1=10]；
②[12×82-1=15]，[12×82 1=17]；
③[12×102-1=24]，[12×102 1=26]；
④[12×122-1=35]，[12×122 1=37]；
……
同樣，能否利用代数式表示这3条边呢？因为a为偶数，所以设a=2n（n>2），则b=[12×2n2-1=n2-1]，c=[12×2n2 1=n2 1]，且a2 b2=c2.至此，可以得出此类勾股数的公式（2n，[n2-1]，[n2 1]）.
3.勾股数的通式.
下面，我们来更为深入地研究一下勾股数.
由勾股定理，一个数的平方等于另外两个数的平方和，我们很自然地想到完全平方公式： （x y）2=x2 y2 2xy①， （x-y）2=x2 y2-2xy②.但是勾股定理的左右两边一共只有三项，且都是平方项，而完全平方公式却有四项，如何消去一项呢？若将① ②，可得（x y）2 （x-y）2=2x2 2y2，仍有四项，不合适；若将①-②，可得（x y）2-（x-y）2=4xy，即（x y）2=（x-y）2 4xy，等式的左右两边成功变成了三项，但不能保证4xy一定是平方项.如何将4xy变成平方项？一个简单而有效的方法就是令x=m2，y=n2，这样，等式就变为（m2 n2）2=（m2-n2）2 （2mn）2，于是，一个满足勾股定理的等式就产生了，勾股数可以用（m2-n2，2mn，m2 n2）表示，我们称它为勾股数的通式，其中m、n为正整数且m>n.
这时，聪明的同学们就要问了，之前两个公式是不是这个通式的特例呢？其实，只要仔细观察一下，不难发现，当通式中的[m=n 1]时，勾股数（m2-n2，2mn，m2 n2）=[（n 1）2-n2，]
[2nn 1，n 12 n2]=（2n 1，2n2 2n，2n2 2n 1），这就是第一个公式；当通式中的[n=1]时，勾股数（m2-n2，2mn，m2 n2）=（m2-1，2m，m2 1），这就是第二个公式的变形.由特殊到一般，再由一般回归特殊的研究策略，是同学们在以后的学习中要重点培养的一种数学意识.
二、勾股数可以全是奇数吗？
我们已经初步认识了一些勾股数，例如：（3，4，5）、（5，12，13）、（6，8，10）、（7，24，25）、（8，15，17）、（9，40，41）、（10，24，26）、（15，20，25）……那么，一组勾股数中有几个奇数？几个偶数？ 如果我们对通式继续进行研究，就可以发现端倪.通式[m2-n2，2mn，m2 n2]中，[m2-n2]、[2mn]表示两条直角边，[m2 n2]表示斜边.当[m>n]时，无论m、n取何正整数，[2mn]一定是偶数，即两条直角边中至少有一条边为偶数，我们只需要对[m2-n2]、[m2 n2]的奇偶进行研究即可.
当m、n均为奇数时，则[m2]、[n2]也为奇数，进而[m2-n2]、[m2 n2]均为偶数，此时三个勾股数均为偶数；当m、n均为偶数时，则m2、n2也为偶数，进而[m2-n2]、[m2 n2]亦为偶数，此时三个勾股数均为偶数；当m、n为一奇一偶时，则m2、n2也为一奇一偶，进而[m2-n2]、[m2 n2]均为奇数，此时三个勾股数为一偶两奇.可见，不可能出现三个勾股数均为奇数的情况.
三、勾股数的分类
我们发现有些勾股数的最大公约数为1，例如（3，4，5）、（5，12，13）、（8，15，17），此類勾股数被称为本原勾股数.有些勾股数的最大公约数大于1，例如（6，8，10）、（10，24，26）、（15，20，25），此类勾股数被称为派生勾股数.派生勾股数是本原勾股数扩大若干倍得来的，即若（a，b，c）是勾股数，则（ka，kb，kc）也是勾股数，其中k为正整数.利用公式[2n 1，2n2 2n，2n2 2n 1]得到的勾股数是本原勾股数，利用公式[2n，n2-1，n2 1]得到的勾股数既有本原勾股数，也有派生勾股数.
此时，我们再来回顾一下问题2.如果3条边是本原勾股数，则解法不变，周长为144；如果3条边是派生勾股数，可以先分解16，[16=2×8=4×4]，其中，[a]不可以等于2或4，当[a=8]时，本原勾股数为（8，15，17），则扩大2倍后的派生勾股数为（16，30，34），此时周长为80.
所以，在用勾股定理解决此类问题时，要从本原勾股数与派生勾股数两个角度去考虑.
四、勾股数通式的局限性
目前，勾股数的通式还是有局限性的，它可以推导出所有的本原勾股数，但是不能推导出所有的派生勾股数，例如（9，12，15）、（15，36，39）……
同学们，加油吧，勾股数的奥秘正等待着你去发掘，神秘的数学世界正等待着你去征服！
（作者单位：江苏省常州市金坛区白塔中学）
勾股方程a2 b2=c2中含有3个未知数，方程的解不唯一.根据勾股定理，只要是直角三角形，三边长都是它的解.本文只讨论它的正整数解的情况，即勾股数，以下全文均设勾股数中第一个数为a，第二个数为b，第三个数为c，且a
1. a为奇数.
观察下列勾股数：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）7，24，25；（4）9，40，41……可以发现两个特点：①a为奇数，且从3开始无间断，b、c是连续自然数；② a2=b c.以上两个特点，为解决直角三角形的周长问题提供了方便.
问题1：直角三角形的两条直角边为正整数，其中一条短直角边的长为13，求这个三角形的周长.
很多同学看到只有一个条件，束手无策，其实，根据特点①，我们可以设出另一条直角边和斜边，利用勾股定理列出方程，进而求得周长.设另一条直角边为x，则斜边为x 1，列方程得132 x2=（x 1）2，解得x=84，则周长=182.或者根据特点②，我们可以先求出另一条直角边与斜边的和，进而求得周长.
在利用勾股定理解决直角三角形问题时，掌握勾股数之间的特征，往往能事半功倍.进一步研究3条边的关系，我们可以发现：
①[12]（32-1）=4，[12]（32 1）=5；
②[12]（52-1）=12，[12]（52 1）=13；
③[12]（72-1）=24，[12]（72 1）=25；
④[12]（92-1）=40，[12]（92 1）=41；
……
能不能用代数式表示这3条边呢？因为a为奇数，所以设a=2n 1（n>0），则b=[12][（2n 1） 2-1][=2n2 2n]，c=[12][（2n 1） 2 1]=
[2n2 2n 1]，且a2 b2=c2，至此，可以得出此类勾股数的公式：（2n 1，2n2 2n，2n2 2n 1）.
2. a为偶数.
观察下列勾股数：（1）6，8，10；（2）8，15，17；（3）10，24，26；（4）12，35，37……可发现两个特点：①a为偶数，且从6开始无间断，b、c是连续奇数或连续偶数；②a2=2（b c）.以上两个特点，也为求直角三角形的周长提供了方便.
问题2：直角三角形的两条直角边为正整数，其中一条短直角边的长为16，求这个三角形的周长.
根据特点①，我们可以设出另一条直角边和斜边，利用勾股定理列出方程，进而求得周长.或者根据特点②，我们可以先求出另一条直角边与斜边的和，进而求得周长.
进一步研究3条边的关系，我们可以发现：
①[12×62-1=8]，[12×62 1=10]；
②[12×82-1=15]，[12×82 1=17]；
③[12×102-1=24]，[12×102 1=26]；
④[12×122-1=35]，[12×122 1=37]；
……
同樣，能否利用代数式表示这3条边呢？因为a为偶数，所以设a=2n（n>2），则b=[12×2n2-1=n2-1]，c=[12×2n2 1=n2 1]，且a2 b2=c2.至此，可以得出此类勾股数的公式（2n，[n2-1]，[n2 1]）.
3.勾股数的通式.
下面，我们来更为深入地研究一下勾股数.
由勾股定理，一个数的平方等于另外两个数的平方和，我们很自然地想到完全平方公式： （x y）2=x2 y2 2xy①， （x-y）2=x2 y2-2xy②.但是勾股定理的左右两边一共只有三项，且都是平方项，而完全平方公式却有四项，如何消去一项呢？若将① ②，可得（x y）2 （x-y）2=2x2 2y2，仍有四项，不合适；若将①-②，可得（x y）2-（x-y）2=4xy，即（x y）2=（x-y）2 4xy，等式的左右两边成功变成了三项，但不能保证4xy一定是平方项.如何将4xy变成平方项？一个简单而有效的方法就是令x=m2，y=n2，这样，等式就变为（m2 n2）2=（m2-n2）2 （2mn）2，于是，一个满足勾股定理的等式就产生了，勾股数可以用（m2-n2，2mn，m2 n2）表示，我们称它为勾股数的通式，其中m、n为正整数且m>n.
这时，聪明的同学们就要问了，之前两个公式是不是这个通式的特例呢？其实，只要仔细观察一下，不难发现，当通式中的[m=n 1]时，勾股数（m2-n2，2mn，m2 n2）=[（n 1）2-n2，]
[2nn 1，n 12 n2]=（2n 1，2n2 2n，2n2 2n 1），这就是第一个公式；当通式中的[n=1]时，勾股数（m2-n2，2mn，m2 n2）=（m2-1，2m，m2 1），这就是第二个公式的变形.由特殊到一般，再由一般回归特殊的研究策略，是同学们在以后的学习中要重点培养的一种数学意识.
二、勾股数可以全是奇数吗？
我们已经初步认识了一些勾股数，例如：（3，4，5）、（5，12，13）、（6，8，10）、（7，24，25）、（8，15，17）、（9，40，41）、（10，24，26）、（15，20，25）……那么，一组勾股数中有几个奇数？几个偶数？ 如果我们对通式继续进行研究，就可以发现端倪.通式[m2-n2，2mn，m2 n2]中，[m2-n2]、[2mn]表示两条直角边，[m2 n2]表示斜边.当[m>n]时，无论m、n取何正整数，[2mn]一定是偶数，即两条直角边中至少有一条边为偶数，我们只需要对[m2-n2]、[m2 n2]的奇偶进行研究即可.
当m、n均为奇数时，则[m2]、[n2]也为奇数，进而[m2-n2]、[m2 n2]均为偶数，此时三个勾股数均为偶数；当m、n均为偶数时，则m2、n2也为偶数，进而[m2-n2]、[m2 n2]亦为偶数，此时三个勾股数均为偶数；当m、n为一奇一偶时，则m2、n2也为一奇一偶，进而[m2-n2]、[m2 n2]均为奇数，此时三个勾股数为一偶两奇.可见，不可能出现三个勾股数均为奇数的情况.
三、勾股数的分类
我们发现有些勾股数的最大公约数为1，例如（3，4，5）、（5，12，13）、（8，15，17），此類勾股数被称为本原勾股数.有些勾股数的最大公约数大于1，例如（6，8，10）、（10，24，26）、（15，20，25），此类勾股数被称为派生勾股数.派生勾股数是本原勾股数扩大若干倍得来的，即若（a，b，c）是勾股数，则（ka，kb，kc）也是勾股数，其中k为正整数.利用公式[2n 1，2n2 2n，2n2 2n 1]得到的勾股数是本原勾股数，利用公式[2n，n2-1，n2 1]得到的勾股数既有本原勾股数，也有派生勾股数.
此时，我们再来回顾一下问题2.如果3条边是本原勾股数，则解法不变，周长为144；如果3条边是派生勾股数，可以先分解16，[16=2×8=4×4]，其中，[a]不可以等于2或4，当[a=8]时，本原勾股数为（8，15，17），则扩大2倍后的派生勾股数为（16，30，34），此时周长为80.
所以，在用勾股定理解决此类问题时，要从本原勾股数与派生勾股数两个角度去考虑.
四、勾股数通式的局限性
目前，勾股数的通式还是有局限性的，它可以推导出所有的本原勾股数，但是不能推导出所有的派生勾股数，例如（9，12，15）、（15，36，39）……
同学们，加油吧，勾股数的奥秘正等待着你去发掘，神秘的数学世界正等待着你去征服！
（作者单位：江苏省常州市金坛区白塔中学）