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摘 要：给出了一种三支链二自由度解耦球面并联机构，并对该并联机构的构型和运动自由度进行了分析，同时，基于平面四杆机构的原理提出了一种新的设计该并联机构支链尺寸的简便方法。通过对机构运动特点的分析，给出了并联机构在给定工作空间内的无干涉构型。利用ADAMS软件仿真，验证了该机构的可行性。
关键词：二自由度 球面并联机构 解耦 尺度设计
1、引言
少自由度并联机构以其结构简单、应用广泛、造价低廉、控制容易的特点而正被广泛研究和应用。但是，由于某些少自由度并联机构本身的结构特点，其运动学及动力学模型仍然较为复杂。因此，具有运动完全解耦特性的并联机构成为国内外学者极力探索与研究的对象。
在解耦并联机构研究领域，Li提出了一种完全解耦的三自由度移动并联机构。R.Clavel提出了一种4自由度Delta并联机构。在解耦球面并联机构领域，文献[3]提出了一种部分解耦的3-RRR球面转动机构，但由于位姿参数仍然存在弱耦合，控制一个姿态参数会同时导致其他姿态参数变化，使其应用场合仍受到某种程度的限制。文献[4]介绍了一种完全解耦的球面机构，分析了其运动特性并给出了其样机，但是由于动、静两个平台上的三个转动副几何轴线正交布置，使应用中的几何结构复杂且工作空间受限。文献[5]中给出了一种RR&ΠLR二自由度解耦球面并联机构，该机构动平台具有绕两个坐标轴转动的运动，由于二支链构型机构的力平衡性欠佳，使其在实际运动过程中承受较大的翻转力矩从而导致运动副的加剧磨损。为了较好的解决这一问题，本文在文献[5]原有构型的基础上，增加了第三条冗余支链。这种具有冗余支链的并联机构既保留了解耦的特性，又在一定程度上提升了整个机构的刚度与受力均衡性。本文首先对第三条支链进行了选型，然后基于给出的一种简便方法设计该并联机构的连杆尺寸，同时给出了在给定工作空间下的无干涉构型。最后，验证了该并联机构的运动可行性。这些研究为该并联机构的应用提供了一定的理论基础。
2、并联机构构型分析
文献[5]中给出了如图1所示的二自由度解耦球面并联机构，该机构由两条支链构成，由机器人机构拓扑结构学可知第一条支链的运动输出特征
矩阵为： ，第二条支链的运动输出特征矩阵为：
，则动平台运动输出特征矩阵为：
可以看出动平台的运动实质是绕固定坐标系X轴、Z轴转动的综合表现（绕固定点O转动）且运动完全解耦。但二支链的构型使该机构在运动过程中的平衡性欠佳，故本文引进第三条冗余支链。
由上述分析可知，要使并联机构保持运动的完全解耦性质则第三条支
链的运动输出特征矩阵为： （其中“/”表示或）。考虑只含转动副且轴线配置为平行或垂直的支链构型有：7R支链，5R支链，4R支链等。为使支链运动副尽可能少，本文选用4R支链。
图1 二自由度球面解耦并联机构
因此，第三条支链的运动输出特征矩阵为： ，动平
台运动特征输出矩阵为： 。由此可以看出，动平台的运动仍为绕着固定点转动的二自由度球面运动且其运动完全解耦。建立并联机构模型如图2所示。需指出的是转动副 轴线与 重合，动平台关于固定坐标系Y轴对称。
3、并联机构尺寸设计
该并联机构与文献[5]有相同的运动学方程，其正解为： ，
。并联机构的工作空间： ， 。
要想设计出能满足给定工作空间的并联机构，就必须对各构件的尺度关系进行研究。由于本并联机构具有完全控制解耦的性质，为了得到能实现预期运动的并联机构，可对单个输入角度与输出角度进行讨论：
（1）、 为定值， 为变量
由运动学[5]可知： ，动平台的俯仰输出角度 只与输入角度 有关。只要第二条支链的平行四边形机构满足条件，即可实现 的运动。
（2）、 为定值， 为变量
接下来讨论要实现动平台绕固定坐标系Z轴转动的水平输出角度 在
[ ， ]范围内运动，各杆件之间所应满足的尺寸关系。由于动平台为对称布置，确定了第二条支链的基本尺寸则第一条支链的尺寸也随之确定，所以在这里不讨论第一条支链的尺寸设计。
ⅰ、第二条支链尺寸设计
在转动副 輸入角度 确定的情况下，动平台输出角度 也是确定的，因此，在图3中坐标系原点O与转动副 连线的长度为定值。要实现并联机构的运转，我们可以将动平台看做驱动杆，则整个问题将转化为平面四杆机构的运动问题，如图4所示。
如图所示，b杆为驱动杆，由于要实现[ ， ]的水平摆动，则b杆要实现周转运动。因此，将平面四杆机构设计成曲柄摇杆机构，b杆为曲柄，c杆为连杆，d杆为摇杆，e为机架。各杆长尺寸为： ，
， ， 。由曲柄摇杆机构的杆长和条件，我们可以得到： （1）
（2）
（3）
将各杆长代入（3）式有：
（4）
曲柄摇杆机构要想具有确定的运动则在运动过程中机构不能出现死点，即在图3中， 角必须满足如下关系：
（5）
（6）
将各杆长代入上两式有：
（7）
（8）
上述式（4）、（7）、（8）为第二支链所各杆长尺寸应满足的关系。
ⅱ、第三条支链尺寸设计
同第二条支链，如图4所示， 构成平面四杆机构，其杆长尺寸分别为： ， ， ， ， ，其
中 为驱动杆，同理可得第三条支链各杆长尺寸应满足的关系：
（9）
（10）
（11）
图4 并联机构第三条支链俯视图
至此，我们给出了该并联机构尺寸设计的简便方法，只要各杆件尺寸满足式（4）、（7）、（8）、（9）、（10）、（11）并联机构便能实现动平台水平输出角度
在[ ， ]范围内的运动。
4、结论
本文设计了一种三支链二自由度球面解耦并联机构，首先在现有二支链机构的基础上对第三条支链的构型进行了研究，通过分析我们可以看到，第三条支链的引入并没有改变并联机构的自由度与运动特性，该并联机构仍具有完全解耦的性质。然后根据并联机构的特点，给出了一种设计该并联机构支链尺寸的新方法，通过ADAMS软件仿真验证了并联机构设计的正确性。这些研究为该并联机构的应用奠定了理论基础。
参考文献
[1]Li Weimin，Gao Feng，Zhang Jianjun.A 3-DOF translational manipulator with decoupled geometry[J].Robotica，2005，23（12）：1-4
[2]Clavel R.Delta，a fast robot with parallel geometry[A].In：Proc.18th In t.Symposium on Industr –ial Robots[C]，1988：91～100
[3] 杭魯滨，王彦，吴俊，等.基于拓扑解耦准则的球面并联机构解耦条件研究[J].机械工程学报，2005，41（9）：28-32.
[4] 徐正好，张帆，刘燕，等. 解耦球面转动并联机构的运动分析与验证[J].机械设计，2009，26（8）：47-49
[5] 曲云霞，范顺成.二自由度解耦球面并联机构运动学行为研究[D].河北工业大学博士学位论文.2008.
[6] 杨廷力. 机器人机构拓扑结构学[M]. 北京：机械工业出版社， 2004：1～120.
[7] 杨家军. 机械原理[M].武汉：华中科技大学出版社，2009：41～68.
关键词：二自由度 球面并联机构 解耦 尺度设计
1、引言
少自由度并联机构以其结构简单、应用广泛、造价低廉、控制容易的特点而正被广泛研究和应用。但是，由于某些少自由度并联机构本身的结构特点，其运动学及动力学模型仍然较为复杂。因此，具有运动完全解耦特性的并联机构成为国内外学者极力探索与研究的对象。
在解耦并联机构研究领域，Li提出了一种完全解耦的三自由度移动并联机构。R.Clavel提出了一种4自由度Delta并联机构。在解耦球面并联机构领域，文献[3]提出了一种部分解耦的3-RRR球面转动机构，但由于位姿参数仍然存在弱耦合，控制一个姿态参数会同时导致其他姿态参数变化，使其应用场合仍受到某种程度的限制。文献[4]介绍了一种完全解耦的球面机构，分析了其运动特性并给出了其样机，但是由于动、静两个平台上的三个转动副几何轴线正交布置，使应用中的几何结构复杂且工作空间受限。文献[5]中给出了一种RR&ΠLR二自由度解耦球面并联机构，该机构动平台具有绕两个坐标轴转动的运动，由于二支链构型机构的力平衡性欠佳，使其在实际运动过程中承受较大的翻转力矩从而导致运动副的加剧磨损。为了较好的解决这一问题，本文在文献[5]原有构型的基础上，增加了第三条冗余支链。这种具有冗余支链的并联机构既保留了解耦的特性，又在一定程度上提升了整个机构的刚度与受力均衡性。本文首先对第三条支链进行了选型，然后基于给出的一种简便方法设计该并联机构的连杆尺寸，同时给出了在给定工作空间下的无干涉构型。最后，验证了该并联机构的运动可行性。这些研究为该并联机构的应用提供了一定的理论基础。
2、并联机构构型分析
文献[5]中给出了如图1所示的二自由度解耦球面并联机构，该机构由两条支链构成，由机器人机构拓扑结构学可知第一条支链的运动输出特征
矩阵为： ，第二条支链的运动输出特征矩阵为：
，则动平台运动输出特征矩阵为：
可以看出动平台的运动实质是绕固定坐标系X轴、Z轴转动的综合表现（绕固定点O转动）且运动完全解耦。但二支链的构型使该机构在运动过程中的平衡性欠佳，故本文引进第三条冗余支链。
由上述分析可知，要使并联机构保持运动的完全解耦性质则第三条支
链的运动输出特征矩阵为： （其中“/”表示或）。考虑只含转动副且轴线配置为平行或垂直的支链构型有：7R支链，5R支链，4R支链等。为使支链运动副尽可能少，本文选用4R支链。
图1 二自由度球面解耦并联机构
因此，第三条支链的运动输出特征矩阵为： ，动平
台运动特征输出矩阵为： 。由此可以看出，动平台的运动仍为绕着固定点转动的二自由度球面运动且其运动完全解耦。建立并联机构模型如图2所示。需指出的是转动副 轴线与 重合，动平台关于固定坐标系Y轴对称。
3、并联机构尺寸设计
该并联机构与文献[5]有相同的运动学方程，其正解为： ，
。并联机构的工作空间： ， 。
要想设计出能满足给定工作空间的并联机构，就必须对各构件的尺度关系进行研究。由于本并联机构具有完全控制解耦的性质，为了得到能实现预期运动的并联机构，可对单个输入角度与输出角度进行讨论：
（1）、 为定值， 为变量
由运动学[5]可知： ，动平台的俯仰输出角度 只与输入角度 有关。只要第二条支链的平行四边形机构满足条件，即可实现 的运动。
（2）、 为定值， 为变量
接下来讨论要实现动平台绕固定坐标系Z轴转动的水平输出角度 在
[ ， ]范围内运动，各杆件之间所应满足的尺寸关系。由于动平台为对称布置，确定了第二条支链的基本尺寸则第一条支链的尺寸也随之确定，所以在这里不讨论第一条支链的尺寸设计。
ⅰ、第二条支链尺寸设计
在转动副 輸入角度 确定的情况下，动平台输出角度 也是确定的，因此，在图3中坐标系原点O与转动副 连线的长度为定值。要实现并联机构的运转，我们可以将动平台看做驱动杆，则整个问题将转化为平面四杆机构的运动问题，如图4所示。
如图所示，b杆为驱动杆，由于要实现[ ， ]的水平摆动，则b杆要实现周转运动。因此，将平面四杆机构设计成曲柄摇杆机构，b杆为曲柄，c杆为连杆，d杆为摇杆，e为机架。各杆长尺寸为： ，
， ， 。由曲柄摇杆机构的杆长和条件，我们可以得到： （1）
（2）
（3）
将各杆长代入（3）式有：
（4）
曲柄摇杆机构要想具有确定的运动则在运动过程中机构不能出现死点，即在图3中， 角必须满足如下关系：
（5）
（6）
将各杆长代入上两式有：
（7）
（8）
上述式（4）、（7）、（8）为第二支链所各杆长尺寸应满足的关系。
ⅱ、第三条支链尺寸设计
同第二条支链，如图4所示， 构成平面四杆机构，其杆长尺寸分别为： ， ， ， ， ，其
中 为驱动杆，同理可得第三条支链各杆长尺寸应满足的关系：
（9）
（10）
（11）
图4 并联机构第三条支链俯视图
至此，我们给出了该并联机构尺寸设计的简便方法，只要各杆件尺寸满足式（4）、（7）、（8）、（9）、（10）、（11）并联机构便能实现动平台水平输出角度
在[ ， ]范围内的运动。
4、结论
本文设计了一种三支链二自由度球面解耦并联机构，首先在现有二支链机构的基础上对第三条支链的构型进行了研究，通过分析我们可以看到，第三条支链的引入并没有改变并联机构的自由度与运动特性，该并联机构仍具有完全解耦的性质。然后根据并联机构的特点，给出了一种设计该并联机构支链尺寸的新方法，通过ADAMS软件仿真验证了并联机构设计的正确性。这些研究为该并联机构的应用奠定了理论基础。
参考文献
[1]Li Weimin，Gao Feng，Zhang Jianjun.A 3-DOF translational manipulator with decoupled geometry[J].Robotica，2005，23（12）：1-4
[2]Clavel R.Delta，a fast robot with parallel geometry[A].In：Proc.18th In t.Symposium on Industr –ial Robots[C]，1988：91～100
[3] 杭魯滨，王彦，吴俊，等.基于拓扑解耦准则的球面并联机构解耦条件研究[J].机械工程学报，2005，41（9）：28-32.
[4] 徐正好，张帆，刘燕，等. 解耦球面转动并联机构的运动分析与验证[J].机械设计，2009，26（8）：47-49
[5] 曲云霞，范顺成.二自由度解耦球面并联机构运动学行为研究[D].河北工业大学博士学位论文.2008.
[6] 杨廷力. 机器人机构拓扑结构学[M]. 北京：机械工业出版社， 2004：1～120.
[7] 杨家军. 机械原理[M].武汉：华中科技大学出版社，2009：41～68.