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摘要：针对其他数值方法模拟水力劈裂的局限性，基于PFC颗粒离散元法建立了细观尺度混凝土水力劈裂流固耦合模型。模拟中提取随机圆形骨料信息生成不规则多边形骨料三相细观模型，通过平行粘结体现界面相力学，流体域之间管流体现混凝土各相渗流特性，并且各相取各自的平行粘结力学及渗透参数。通过创建存储渗流管道信息的链表，确保了渗流管道孔径与颗粒间作用力的耦合关系。将改进的流固耦合模型结果与试验结果进行对比，验证了所建模型的合理性。开展不同轴压作用下的混凝土水力劈裂数值试验，得到的临界水压随轴压的增加而线性增大，且模型表现为法向张拉破坏。该细观模型为进一步研究复杂受力状态下混凝土水力劈裂的细观破坏机理提供了新途径。
关 键 词：
水力劈裂; 颗粒离散元; 混凝土; 流固耦合模型; 细观尺度
中图法分类号： TV331
文献标志码： A
DOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2021.05.030
近20 a来，我国陆续兴建了一批200～300 m级超高混凝土坝，与100 m级的高坝相比，这些坝的水力劈裂问题会更加突出[1]。由于混凝土水力劈裂问题相对复杂，现有的研究理论与模型还有待进一步完善，才能更有效地指导工程实践。
研究混凝土水力劈裂现象的方法和途径有很多，其中数值计算方法不需要设计和安装复杂精密的水密封装置，同时还能避免对混凝土材料及水力劈裂过程的过度简化，因而成为研究该问题的常用方法，如扩展有限元、无单元法、数值流行法等。现有的研究成果表明，这些数值计算方法不仅能模拟混凝土水力劈裂发展的全过程，而且得到的裂缝形态也符合实际情况。但上述数值方法在研究水力劈裂机理方面存在局限性，需采用更加有效的方法加以解决。同连续介质力学为基础的数值方法相比，Cundall和Strack [2]建立的颗粒离散元模型的突出优点是该模型能模拟其内部细观结构的变化过程，因而非常适于破坏机理方面的研究，尤其是Potyondy与Cundall[3]在该细观模型基础上提出的BPM（bonded-particle model）模型已在很多领域有所应用。基于BPM研究黏土心墙的水力劈裂问题已取得一些成果[4]，但均质黏土模型无法应用于混凝土这种多相复合材料。
目前已有不少基于BPM建立的混凝土细观力学模型，这些模型大部分是采用最简单的圆形骨料，有些虽生成了不规则的凸多边形骨料，但在建模过程、骨料侵入的判定方法等方面比较复杂，因而模拟所需的时间成本较大。本研究不仅生成了形状不规则的骨料，而且简化了骨料之间侵入的判定方法，选取了不同的参数值以考虑骨料、砂浆及界面区在力学和渗透特性方面存在的差异，改进了现有的颗粒离散元流固耦合计算模型。在此基础上，按文献[5]的混凝土水力劈裂室内试验建立了相应的数值试验，揭示其破坏的力学机理。
1 细观尺度混凝土颗粒离散元模型
1.1 混凝土颗粒离散元模型建立
已有研究者基于圆形颗粒随机生成了不规则多边形颗粒，本文在文献[6]生成多边形碎石方法的基础上做了改进，充分发挥PFC软件可快速随机生成圆形骨料的功能，消除了模型内含有针片状不规则骨料的可能性，建模过程详述如下。
（1） 按照骨料粒径由大到小的顺序，在模型区域内随机生成指定含量的圆形骨料，如图1（a）所示。模型尺寸参考混凝土标准试件，取150 mm×150 mm，沿平面法線方向取单位厚度。骨料选用两级配方案，即5～20 mm，20～40 mm，为了简化，建模时取其平均粒径为12 mm和30 mm，含量分别为28%和19%，总计47%[7]。
（2） 根据圆形骨料的位置和半径，随机生成形状不规则骨料的顶点信息。先逐一判别骨料中心对应的网格号，在整数区间[3，6]随机选择不规则骨料的顶点个数，并沿圆形骨料轮廓随机建立不规则骨料的顶点。为改善混凝土的性能，应严格限制针片状骨料的含量，因此建模时要求随机多边形的面积不小于对应圆形骨料的一半，如不满足应再次随机建立顶点，直到符合要求。
（3） 存储骨料的顶点信息，按照图2流程建立混凝土的三相细观模型。在指定区间随机均匀选取颗粒半径而生成的初始模型如图1（b）所示，不规则骨料的混凝土细观模型如图1（c）所示。
BPM在接触的颗粒间设置粘结使模型成为胶结体，如模拟混凝土宜选用平行粘结[3]。骨料、砂浆及界面区的划分见图1（d），平行粘结类型如图1（e）所示。由于混凝土的非均质性，本研究参考文献[7-9]对混凝土的三相分别取不同的平行粘结参数值，如表1所列。
1.2 单轴抗压强度试验
单轴抗压强度试验是标定细观参数取值的常用方法之一，本文对图1（c）所示的混凝土三相模型进行了试验，将得到的应力-应变曲线与经验公式[10，11]的C25混凝土曲线进行比较。经多次调整和对比，选定的细观参数值如表2所列，结果如图3所示。由图3可知，本文曲线的上升段与下降段均和经验曲线较吻合，因而表2的细观参数值能较真实地反映混凝土的宏观力学性能，可用于建立混凝土水力劈裂模型。
2 细观尺度的混凝土流固耦合模型
2.1 流固耦合模型的原理与改进
颗粒离散元法在研究低孔隙率材料（如混凝土）的渗流问题时[12]，将流体的计算区域划分为若干相互连通的流体域。图4（a）实线围成的多边形区域，圆点为各区域的中心，虚线表示模型内部的渗流通道——管道。管道连接相邻的流体域，其长度L等于对应流体域的中心距离（见图4（b））。为模拟渗流与应力间的耦合关系，管道孔径a的大小取决于两颗粒（即图中颗粒A与颗粒B）接触部位的法向压力或两颗粒的表面间距。当接触颗粒的法向压力等于零时，对应的a称作残余孔径，记为a0。此外，管道沿平面法线方向的尺寸为单位宽度。 施加在颗粒上的压力会使颗粒间的法向压力发生变化，从而导致渗流管道的尺寸改变，因此式（1） ～（5） 构成了渗流-应力间的耦合关系。
基于上述流固耦合模型，本文主要从3个方面提出了改进措施。
（1） 创建独立的链表用于存储管道的信息，避免出现信息丢失的情况。现有的模型在接触链表的基础上，拓展新的空间存放与其对应的管道信息。这种数据结构的缺点是平行粘结发生破坏不仅导致接触消失，而且相应的管道信息也随接触存储空间的释放而丢失，最终导致该管道两端的流体域间不再产生渗流，这与实际情况不符。
（2） 根据1.1节的3种接触类型将管道划分为3种，并赋相应的参数值。文献[14]假定骨料不透水，研究了渗透系数的比值ki/km（界面区/砂浆）对混凝土渗透性能的影响，并最终采用ki/km=10。本文参考该研究成果，在忽略骨料透水性的基础上，取界面区的a0为砂浆内部的2.15倍，该条件等价于取ki/km=10。
（3） 计算各流体域的体积Vd，并在非稳定渗流阶段不断更新各值。而现有的模型将所有Vd均取为单位体积，忽略了实际存在的差异。
本文采用的流固耦合模型参数值如表3所列。计算流程如图6所示，步长Δt=1×10-9s。
当模型达到指定的初始平衡状态后，在模型中部的初始缺陷区施加恒定水压P1。模型在当前水压作用下，若σ或τ使式（6） 成立，表示会产生新的裂缝，则下次试验需将水压减小ΔP（本试验取ΔP=0.05 MPa）;反之，若预制裂缝稳定未产生新裂缝，则下次试验将水压增大ΔP。在连续2次试验中，如果只有一次导致预制裂缝失稳扩展，并且这2次施加的水压差超过0.02 MPa，那么将2次水压的均值作为下次试验施加的P1。本试验判别模型达到稳定状态的依据是，所有颗粒受到的最大不平衡力和最大接触力的比值小于0.01。按图11的流程最终可得到临界劈裂水压，当预制裂缝发展成贯穿裂缝，则结束本次试验。
3.2 试验结果与分析
本文对每组试验采用3个不同的随机试样进行平行试验，得到的结果见表4和图12。由图可知，本文颗粒离散元模型试验和文献[5]室内试验的结果都表明，临界劈裂水压力随模型轴向压力增加而线性增大。但数值试验得到的Pcr较文献[5]的偏低9.7%～16.0%，且轴向压力越大偏差也越大，出现这种结果的原因可归结为两方面。一方面，文献[5]初始裂缝的宽度为2 mm（见图9），本试验采用强度很小（1 Pa）的平行粘结预设薄弱区，因而粘结破坏后该区域上下层颗粒形成的间隙远小于2 mm，可见本文的模型与室内试件在预制裂缝的尖端处存在不可忽略的差异。另一方面，本文设计了与文献[5]不同的水压加载方式。室内试验逐步增大预制裂缝内的水压，直到裂缝失稳扩展最终形成贯穿性裂缝，然而在水压递增的过程中，有压水会逐渐向四周渗透扩散，从而减小了水力梯度，提高了临界劈裂水压。
本文数值试验得到的裂缝扩展形态（见图13） 与文献[5]的基本一致，沿预制裂缝水平扩展。当裂缝扩展至骨料时，裂缝将绕过骨料从骨料和砂浆的界面处继续延伸发展，如图13所示。
3.3 混凝土水力劈裂细观机理讨论
李宗利等[13] 在研究混凝土类材料水力劈裂的缝内水压分布时指出，由于裂缝的扩展需要断裂能积聚到一定程度后才会发生，因而水力劈裂的发展过程具有跳跃性。本文得到的平行粘结破坏数目的变化曲线体现了水力劈裂的这一特征（见图14），該曲线对应轴向压力为0.5 MPa的方案。由图可知，在施加水压的瞬间，同时有25个平行粘结发生了法向破坏，从而形成了长为50 mm的预制裂缝。此后，该曲线的前半部分十分平缓，说明试验开始阶段裂缝经历了缓慢发展的过程，随着预制裂缝失稳扩展，曲线逐渐上升，并且上升曲线局部的水平段，显示了水力劈裂过程的跳跃性。此外，该图还表明在裂缝扩展延伸阶段，平行粘结虽有法向破坏和切向破坏两种类型，但以法向破坏为主，只有个别平行粘结在裂缝即将贯通阶段产生了切向破坏。由此揭示，本文所研究的带有Ⅰ型预制裂缝的混凝土模型，其水力劈裂破坏的力学机理为法向张拉破坏。
4 结 论
（1） 本文建立了考虑骨料形状不规则的混凝土颗粒离散元模型，区分了骨料、砂浆及界面区的力学及渗流特性，改进了原有的颗粒离散元流固耦合模型。在此基础上，开展了混凝土水力劈裂数值试验，结果与室内试验的规律基本一致。
（2） 水力劈裂的临界水压和垂直于初始裂缝的轴压大小有关，随轴压增大，呈线性增加趋势;水力劈裂过程中颗粒间平行粘结的破坏类型以法向破坏为主，表明带有Ⅰ型初始裂缝的混凝土发生水力劈裂破坏的细观机理是法向张拉破坏。
（3） 颗粒离散元模型的粘结断裂准则简单，无需构建复杂的本构关系，且可以方便地记录和显示水力劈裂试验过程中模型的细观变化，避免试验操作及测量仪器对结果的影响。本文仅研究了Ⅰ型初始裂缝的水力劈裂过程，但所建的细观模型为进一步研究复杂受力状态下混凝土水力劈裂破坏的细观力学机理提供了新途径。
参考文献：
[1] 贾金生，李新宇，郑璀莹.特高重力坝考虑高压水劈裂影响的初步研究[J].水利学报，2006，37（12）：1509-1515.
[2] CUNDALL P A，STRACK O D L.A discrete numerical model for granular assemblies[J].Geotechnique，1979，29（1）：47-65.
[3] POTYONDY D O，CUNDALL P A.A bonded-particle model for rock[J].International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences，2004，41（8）：1329-1364. [4] 杨艳，周伟，常晓林，等.高心墙堆石坝心墙水力劈裂的颗粒流模拟[J].岩土力学，2012，33（8）：2513-2520.
[5] 甘磊，沈心哲，王瑞，等.单裂缝混凝土结构水力劈裂试验[J].水利水电科技进展，2017，37（4）：30-35.
[6] 焦玉勇，王浩，马江锋.土石混合体力学特性的颗粒离散元双轴试验模拟研究[J].岩石力学与工程学报，2015，34（增1）：3564-3573.
[7] 杜修力，金浏.考虑过渡区界面影响的混凝土宏观力学性质研究[J].工程力学，2012，29（12）：72-79.
[8] 金浏，杜修力.钢筋混凝土构件细观数值模拟分析[J].水利学报，2012，43（10）：1230-1236.
[9] 宋百姓，柯国军，潘坚文.混凝土碱骨料反应及力学性能细观模拟[J].工程力学，2017，34（4）：134-139.
[10] 住房和城乡建设部.混凝土结构设计规范：GB 50010-2010[S].北京：中国建筑工业出版社，2011.
[11] TABSH S W.Elimination of the effect of strain gradient from concrete compressive strength test results[J].Computers and Concrete，2006，3（6）：375-388.
[12] Itasca Consulting Group Inc.PFC2D User’s Manual（version 3.1） [M].Minneapolis：Itasca Consulting Group Inc.，2004.
[13] 李宗利，任青文，王亚红.岩石与混凝土水力劈裂缝内水压分布的计算[J].水利学报，2005，36（6）：656-661.
[14] LI X，XU Q，CHEN S.An experimental and numerical study on water permeability of concrete[J].Construction and Building Materials，2016（105）：503-510.
（編辑：郑 毅）
关 键 词：
水力劈裂; 颗粒离散元; 混凝土; 流固耦合模型; 细观尺度
中图法分类号： TV331
文献标志码： A
DOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2021.05.030
近20 a来，我国陆续兴建了一批200～300 m级超高混凝土坝，与100 m级的高坝相比，这些坝的水力劈裂问题会更加突出[1]。由于混凝土水力劈裂问题相对复杂，现有的研究理论与模型还有待进一步完善，才能更有效地指导工程实践。
研究混凝土水力劈裂现象的方法和途径有很多，其中数值计算方法不需要设计和安装复杂精密的水密封装置，同时还能避免对混凝土材料及水力劈裂过程的过度简化，因而成为研究该问题的常用方法，如扩展有限元、无单元法、数值流行法等。现有的研究成果表明，这些数值计算方法不仅能模拟混凝土水力劈裂发展的全过程，而且得到的裂缝形态也符合实际情况。但上述数值方法在研究水力劈裂机理方面存在局限性，需采用更加有效的方法加以解决。同连续介质力学为基础的数值方法相比，Cundall和Strack [2]建立的颗粒离散元模型的突出优点是该模型能模拟其内部细观结构的变化过程，因而非常适于破坏机理方面的研究，尤其是Potyondy与Cundall[3]在该细观模型基础上提出的BPM（bonded-particle model）模型已在很多领域有所应用。基于BPM研究黏土心墙的水力劈裂问题已取得一些成果[4]，但均质黏土模型无法应用于混凝土这种多相复合材料。
目前已有不少基于BPM建立的混凝土细观力学模型，这些模型大部分是采用最简单的圆形骨料，有些虽生成了不规则的凸多边形骨料，但在建模过程、骨料侵入的判定方法等方面比较复杂，因而模拟所需的时间成本较大。本研究不仅生成了形状不规则的骨料，而且简化了骨料之间侵入的判定方法，选取了不同的参数值以考虑骨料、砂浆及界面区在力学和渗透特性方面存在的差异，改进了现有的颗粒离散元流固耦合计算模型。在此基础上，按文献[5]的混凝土水力劈裂室内试验建立了相应的数值试验，揭示其破坏的力学机理。
1 细观尺度混凝土颗粒离散元模型
1.1 混凝土颗粒离散元模型建立
已有研究者基于圆形颗粒随机生成了不规则多边形颗粒，本文在文献[6]生成多边形碎石方法的基础上做了改进，充分发挥PFC软件可快速随机生成圆形骨料的功能，消除了模型内含有针片状不规则骨料的可能性，建模过程详述如下。
（1） 按照骨料粒径由大到小的顺序，在模型区域内随机生成指定含量的圆形骨料，如图1（a）所示。模型尺寸参考混凝土标准试件，取150 mm×150 mm，沿平面法線方向取单位厚度。骨料选用两级配方案，即5～20 mm，20～40 mm，为了简化，建模时取其平均粒径为12 mm和30 mm，含量分别为28%和19%，总计47%[7]。
（2） 根据圆形骨料的位置和半径，随机生成形状不规则骨料的顶点信息。先逐一判别骨料中心对应的网格号，在整数区间[3，6]随机选择不规则骨料的顶点个数，并沿圆形骨料轮廓随机建立不规则骨料的顶点。为改善混凝土的性能，应严格限制针片状骨料的含量，因此建模时要求随机多边形的面积不小于对应圆形骨料的一半，如不满足应再次随机建立顶点，直到符合要求。
（3） 存储骨料的顶点信息，按照图2流程建立混凝土的三相细观模型。在指定区间随机均匀选取颗粒半径而生成的初始模型如图1（b）所示，不规则骨料的混凝土细观模型如图1（c）所示。
BPM在接触的颗粒间设置粘结使模型成为胶结体，如模拟混凝土宜选用平行粘结[3]。骨料、砂浆及界面区的划分见图1（d），平行粘结类型如图1（e）所示。由于混凝土的非均质性，本研究参考文献[7-9]对混凝土的三相分别取不同的平行粘结参数值，如表1所列。
1.2 单轴抗压强度试验
单轴抗压强度试验是标定细观参数取值的常用方法之一，本文对图1（c）所示的混凝土三相模型进行了试验，将得到的应力-应变曲线与经验公式[10，11]的C25混凝土曲线进行比较。经多次调整和对比，选定的细观参数值如表2所列，结果如图3所示。由图3可知，本文曲线的上升段与下降段均和经验曲线较吻合，因而表2的细观参数值能较真实地反映混凝土的宏观力学性能，可用于建立混凝土水力劈裂模型。
2 细观尺度的混凝土流固耦合模型
2.1 流固耦合模型的原理与改进
颗粒离散元法在研究低孔隙率材料（如混凝土）的渗流问题时[12]，将流体的计算区域划分为若干相互连通的流体域。图4（a）实线围成的多边形区域，圆点为各区域的中心，虚线表示模型内部的渗流通道——管道。管道连接相邻的流体域，其长度L等于对应流体域的中心距离（见图4（b））。为模拟渗流与应力间的耦合关系，管道孔径a的大小取决于两颗粒（即图中颗粒A与颗粒B）接触部位的法向压力或两颗粒的表面间距。当接触颗粒的法向压力等于零时，对应的a称作残余孔径，记为a0。此外，管道沿平面法线方向的尺寸为单位宽度。 施加在颗粒上的压力会使颗粒间的法向压力发生变化，从而导致渗流管道的尺寸改变，因此式（1） ～（5） 构成了渗流-应力间的耦合关系。
基于上述流固耦合模型，本文主要从3个方面提出了改进措施。
（1） 创建独立的链表用于存储管道的信息，避免出现信息丢失的情况。现有的模型在接触链表的基础上，拓展新的空间存放与其对应的管道信息。这种数据结构的缺点是平行粘结发生破坏不仅导致接触消失，而且相应的管道信息也随接触存储空间的释放而丢失，最终导致该管道两端的流体域间不再产生渗流，这与实际情况不符。
（2） 根据1.1节的3种接触类型将管道划分为3种，并赋相应的参数值。文献[14]假定骨料不透水，研究了渗透系数的比值ki/km（界面区/砂浆）对混凝土渗透性能的影响，并最终采用ki/km=10。本文参考该研究成果，在忽略骨料透水性的基础上，取界面区的a0为砂浆内部的2.15倍，该条件等价于取ki/km=10。
（3） 计算各流体域的体积Vd，并在非稳定渗流阶段不断更新各值。而现有的模型将所有Vd均取为单位体积，忽略了实际存在的差异。
本文采用的流固耦合模型参数值如表3所列。计算流程如图6所示，步长Δt=1×10-9s。
当模型达到指定的初始平衡状态后，在模型中部的初始缺陷区施加恒定水压P1。模型在当前水压作用下，若σ或τ使式（6） 成立，表示会产生新的裂缝，则下次试验需将水压减小ΔP（本试验取ΔP=0.05 MPa）;反之，若预制裂缝稳定未产生新裂缝，则下次试验将水压增大ΔP。在连续2次试验中，如果只有一次导致预制裂缝失稳扩展，并且这2次施加的水压差超过0.02 MPa，那么将2次水压的均值作为下次试验施加的P1。本试验判别模型达到稳定状态的依据是，所有颗粒受到的最大不平衡力和最大接触力的比值小于0.01。按图11的流程最终可得到临界劈裂水压，当预制裂缝发展成贯穿裂缝，则结束本次试验。
3.2 试验结果与分析
本文对每组试验采用3个不同的随机试样进行平行试验，得到的结果见表4和图12。由图可知，本文颗粒离散元模型试验和文献[5]室内试验的结果都表明，临界劈裂水压力随模型轴向压力增加而线性增大。但数值试验得到的Pcr较文献[5]的偏低9.7%～16.0%，且轴向压力越大偏差也越大，出现这种结果的原因可归结为两方面。一方面，文献[5]初始裂缝的宽度为2 mm（见图9），本试验采用强度很小（1 Pa）的平行粘结预设薄弱区，因而粘结破坏后该区域上下层颗粒形成的间隙远小于2 mm，可见本文的模型与室内试件在预制裂缝的尖端处存在不可忽略的差异。另一方面，本文设计了与文献[5]不同的水压加载方式。室内试验逐步增大预制裂缝内的水压，直到裂缝失稳扩展最终形成贯穿性裂缝，然而在水压递增的过程中，有压水会逐渐向四周渗透扩散，从而减小了水力梯度，提高了临界劈裂水压。
本文数值试验得到的裂缝扩展形态（见图13） 与文献[5]的基本一致，沿预制裂缝水平扩展。当裂缝扩展至骨料时，裂缝将绕过骨料从骨料和砂浆的界面处继续延伸发展，如图13所示。
3.3 混凝土水力劈裂细观机理讨论
李宗利等[13] 在研究混凝土类材料水力劈裂的缝内水压分布时指出，由于裂缝的扩展需要断裂能积聚到一定程度后才会发生，因而水力劈裂的发展过程具有跳跃性。本文得到的平行粘结破坏数目的变化曲线体现了水力劈裂的这一特征（见图14），該曲线对应轴向压力为0.5 MPa的方案。由图可知，在施加水压的瞬间，同时有25个平行粘结发生了法向破坏，从而形成了长为50 mm的预制裂缝。此后，该曲线的前半部分十分平缓，说明试验开始阶段裂缝经历了缓慢发展的过程，随着预制裂缝失稳扩展，曲线逐渐上升，并且上升曲线局部的水平段，显示了水力劈裂过程的跳跃性。此外，该图还表明在裂缝扩展延伸阶段，平行粘结虽有法向破坏和切向破坏两种类型，但以法向破坏为主，只有个别平行粘结在裂缝即将贯通阶段产生了切向破坏。由此揭示，本文所研究的带有Ⅰ型预制裂缝的混凝土模型，其水力劈裂破坏的力学机理为法向张拉破坏。
4 结 论
（1） 本文建立了考虑骨料形状不规则的混凝土颗粒离散元模型，区分了骨料、砂浆及界面区的力学及渗流特性，改进了原有的颗粒离散元流固耦合模型。在此基础上，开展了混凝土水力劈裂数值试验，结果与室内试验的规律基本一致。
（2） 水力劈裂的临界水压和垂直于初始裂缝的轴压大小有关，随轴压增大，呈线性增加趋势;水力劈裂过程中颗粒间平行粘结的破坏类型以法向破坏为主，表明带有Ⅰ型初始裂缝的混凝土发生水力劈裂破坏的细观机理是法向张拉破坏。
（3） 颗粒离散元模型的粘结断裂准则简单，无需构建复杂的本构关系，且可以方便地记录和显示水力劈裂试验过程中模型的细观变化，避免试验操作及测量仪器对结果的影响。本文仅研究了Ⅰ型初始裂缝的水力劈裂过程，但所建的细观模型为进一步研究复杂受力状态下混凝土水力劈裂破坏的细观力学机理提供了新途径。
参考文献：
[1] 贾金生，李新宇，郑璀莹.特高重力坝考虑高压水劈裂影响的初步研究[J].水利学报，2006，37（12）：1509-1515.
[2] CUNDALL P A，STRACK O D L.A discrete numerical model for granular assemblies[J].Geotechnique，1979，29（1）：47-65.
[3] POTYONDY D O，CUNDALL P A.A bonded-particle model for rock[J].International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences，2004，41（8）：1329-1364. [4] 杨艳，周伟，常晓林，等.高心墙堆石坝心墙水力劈裂的颗粒流模拟[J].岩土力学，2012，33（8）：2513-2520.
[5] 甘磊，沈心哲，王瑞，等.单裂缝混凝土结构水力劈裂试验[J].水利水电科技进展，2017，37（4）：30-35.
[6] 焦玉勇，王浩，马江锋.土石混合体力学特性的颗粒离散元双轴试验模拟研究[J].岩石力学与工程学报，2015，34（增1）：3564-3573.
[7] 杜修力，金浏.考虑过渡区界面影响的混凝土宏观力学性质研究[J].工程力学，2012，29（12）：72-79.
[8] 金浏，杜修力.钢筋混凝土构件细观数值模拟分析[J].水利学报，2012，43（10）：1230-1236.
[9] 宋百姓，柯国军，潘坚文.混凝土碱骨料反应及力学性能细观模拟[J].工程力学，2017，34（4）：134-139.
[10] 住房和城乡建设部.混凝土结构设计规范：GB 50010-2010[S].北京：中国建筑工业出版社，2011.
[11] TABSH S W.Elimination of the effect of strain gradient from concrete compressive strength test results[J].Computers and Concrete，2006，3（6）：375-388.
[12] Itasca Consulting Group Inc.PFC2D User’s Manual（version 3.1） [M].Minneapolis：Itasca Consulting Group Inc.，2004.
[13] 李宗利，任青文，王亚红.岩石与混凝土水力劈裂缝内水压分布的计算[J].水利学报，2005，36（6）：656-661.
[14] LI X，XU Q，CHEN S.An experimental and numerical study on water permeability of concrete[J].Construction and Building Materials，2016（105）：503-510.
（編辑：郑 毅）