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【摘要】“平均数”是数学统计领域的一个重要内容。学生能较容易地掌握平均数的计算方法，但对于平均数的意义、特征及价值缺乏理解。为帮助学生更好地掌握平均数的统计意义，积累分析和处理数据的能力，感悟其统计价值，笔者试着通过对教材的分析、利用名师课堂资源、开展认知基础调查，从而构建有深度的课堂教学，让平均数的意义得到充分的展现。
【关键词】理解 深度 意义
“平均数”是人教版数学四年级下册的教学内容，平均数是统计学中最常用的统计量，也是统计与概率中一个重要的知识点。数学课程标准指出：统计与概率领域要让学生经历数据的收集、整理和分析过程，掌握一些简单的数据处理技能，进一步认识到数据中蕴含的信息，发展数据分析观念。这给教师教学“平均数”这一知识点提供了启示，不仅要让学生体会平均数的作用、能计算平均数，还要感悟到平均数能刻画一组数据的集中趋势，是比较不同组数据的一个指标。
一、教材内容分析
人教版数学四年级下册“平均数”这一知识点安排了两个课时（新授课 练习课），编排了两个例题。我们发现，例1通过四个小朋友收集矿泉水瓶的生活事例，解决“平均每人收集了几个矿泉水瓶？”的问题，让学生初步掌握运用移多补少和用算式方法来求平均数;例2通过两组踢毽子的数据让学生分别求出平均数并进行比较，重点让学生体会平均数可以反映一组数据的集中情况和区别不同数据组间的总体情况。
笔者认为，这样安排虽符合“平均数”概念的认知过程，即“是什么→怎么得到→有什么用”，但例1通过矿泉水数量间的“移多补少”及计算来定义平均数的概念显得单薄，它让学生感受更多的是平均分，而“13就是這4个数的平均数”让学生感受更多的是计算，没有深刻反映一组数的总体趋势。其实，平均数在生活中是有原型的，如“小红踢了5次毽子，找出最能代表小红踢毽子水平的数”，这里“不多不少”的那个数就是这5次踢毽子的平均数。学生对这样的生活场景很熟悉，他们可以用自己的表达方式来理解平均数，自然也就容易感受到平均数是什么了。
二、名师课堂赏析
“平均数”作为统计与概率中的一节典型课，许多专家和教师对其进行了多次的演绎，我们可以从他们的教学思想与理念中寻求合理的教学方法，其中吴正宪、张齐华、俞正强三位著名特级教师的课较为经典，梳理后的教学流程见表1：
仔细分析三位专家的课堂，发现有两个明显的特点：一是三节课均把平均数的意义、特点作为教学重点来开展;二是均运用了移多补少的方法来揭示平均数的产生，淡化了用计算方法来得出平均数。针对三位专家的课堂及教材分析，笔者有一些浅显的想法：
1.对众数知识点渗透的思考
先前教材分析中“踢毽子”的素材与俞正强老师的“跑步计时”素材有相似之处，一个是“不多不少”，一个是“不快不慢”，两者均容易让学生感受到平均数是什么。笔者还观察到在数据的选择上俞正强老师把众数（14）也安排其中，我们认为，这一编排存在一定争议，因为在现实生活中，众数往往反映一组数据的集中趋势，是真实存在的，这与平均数代表“一组数据的集中水平”相混淆，学生不容易把两者区分开来，而课堂上学生的表现也证实了这一观点。
2.对统计图教学策略的思考
平均数的“变化”特征有两个：一是容易受极端数据的影响;二是平均数介于最大值和最小值之间。张齐华老师在课堂上通过计算（4，6，5，5）和（4，6，5，9）这两组数据，发现平均数发生了变化，再观察两个统计图，从而得出“平均数容易受极端数据影响”的结论。
笔者认为，这一环节还可以更加精致一些，如果能在统计图中描画出“平均数的水平线”，学生更能直观感知9这个数据在这组数中的影响，同时，还可以通过课件演示“平均数的水平线”随着某一个数据的变化而变化这一动态过程，进一步让学生体会到平均数的变化区间，帮助其理解意义。
三、学生认知解析
基于对教材和名师课堂的分析，笔者觉得有必要对学生的认知水平做一个原始的调查，便于准确了解学生对平均数知识的认知情况。
1.调查对象及方法
为使调查更具有全面性和真实性，我们选取了城区与镇属小学各两个班的学生，采用无记名、闭卷、无暗示的形式进行，共发放及回收调查卷117份。
2.调查内容分层次剖析
本次调查设4个小题，根据每一问题的回答情况进行了认知水平分级统计，具体见表2～5：
在对上述4个题目分层次分析后，我们认为学生的认知水平主要存在两个问题：
一是平均分与平均数的意义混淆。平均数是在理解平均分及除法运算含义的基础上进行教学，从调查卷第2题发现大部分学生会算平均数，但更多的是停留在平均分上，笔者对第1题中水平2的部分学生进行了谈话了解，进一步证实了这个观点。
二是对平均数的特征缺乏认知。对比表3与表4我们可以发现，学生对平均数问题的解决要远远好于对平均数特征的理解，第2小题就是解决求平均数问题，而第3小题属于统计中的“问题解决”，并不需要学生计算，更侧重理解，对学生来说有一定困难。
四、教学实践评析
基于对认知基础的调查与分析，我们认为在教学中要着重落实两个问题：一是引出并揭示平均数的意义要用合理化的素材，可以用学生认知建构中的“不多不少”来进行;二是要积极帮助学生理解平均数的代表性、虚拟性和易变性，体会从不同的角度来建构平均数的本质特征。也就是教师在教学平均数时需要让学生经历、体验平均数的产生及应用，了解平均数特征，领悟平均数的统计意义及价值，掌握平均数的计算方法。
1.基于生活经验，初步体会平均数的意义
从学生所熟悉的现实情境和已有的知识经验出发，让学生能够积极地开展思维活动。课始，教师出示小红踢5次毽子的情况统计图（如图1）并设问：如果要用一个数来记录小红踢毽子的水平，会是怎样的数呢？让学生在讨论的过程中逐步体会到24最能代表这5次成绩的一般水平。接着质疑：你们是怎么得到这个24的？它又代表什么意思？ 生1：通过把次数多的分给次数少的，这样每一次均是24。
生2：通过把5次成绩相加得到一个总数，再平均分成5份，就是（23 28 22 26 21）÷5=24。
生3：这个24就是他们平均分了以后得到的。
生4：24是不多不少的一个数。
……
通过思考、讨论后，学生初步感受到24是个平均数，最能代表小红5次跳绳的真实水平，也懂得了平均数可以通过“移多补少”或者“总数÷总份数=平均数”来求得。笔者认为，提供一份“有生活经验的素材→进行观察比较→引向深层次分析→指向知识本质的思考”是概念教学的有效实施路径，学生在“观察表面个数→发现这些数据不能解决问题→找最合理的数作为代表”的过程中逐步明白平均数的概念。
2.基于多重辨析，深入感知平均数的特征
概念的形成是从外部的、比较具体的非本质特征到内部的、比较抽象的本质特征的不断深化的过程，更是学生心理的建构过程。因此，实现平均数从“生活化”到“数学化”，使学生学会用数学的眼光来分析问题需要一个不断强化、辨析的过程。
学生初步理解平均数之后，教师再次设问：假如小红第6次刚好踢了24个，这六次的平均数还是24个吗？为什么？学生很快知道平均数依然是24。接着追问：第6次的24与平均数的24意思一样吗？通过讨论，学生们一致认为第6次的24是实实在在踢出来的，而平均数24是一组数据平均后的一般水平，兩者意思不一样。这样让学生充分感知到平均数虚拟性的特征。
随后，继续研究第6次踢毽子数量的可能性：假如小红的状态不好，第6次踢了6个，平均数会发生怎样的变化？会比6还小吗？组织学生列式计算出具体的平均数，并质疑为什么是21个。假如小红的状态特别好，第6次踢了42个，现在的平均数又会发生怎样的变化？会比42大吗？如果第6次比42个还多，平均数又会怎样？通过这一系列的讨论，让学生感受到平均数的变化是有一定区间的：总比最大的小，比最小的大，同时也感觉平均数是一个敏感数，容易受统计数据内某个数据的变化而变化，特别是受极端数据的影响较大，会偏离“大多数”。
虽然平均数容易受极端数据的影响，但当统计量较多时，一些极端数据对整个数据的平均数影响不大，而当这些极端数据显得十分极端时，对整个数据的影响依然存在。教学时，教师应让学生充分感受到统计量个数的多少与平均数变化也存在一定的关系。教学中出示一些例子，组织学生讨论极端数据与平均数的变化情况。
笔者以为，通过上述的辨析，学生对平均数的意义和特征有了较为准确、全面的理解，知道了平均数是对一组数的直观了解，也是一组数据集中趋势的代表，懂得了平均数的虚拟性和变化区间，引入极端数据也让学生明白平均数存在的缺点，它能掩盖一组数据的真实性，有时代表不了一组数据的集中趋势，有利于引入新的统计量（中位数、众数）来分析统计数据。
3.基于实践运用，科学研判平均数的价值
概念教学中建构意义就是帮助学生形成对概念较深刻的理解，提高他们运用概念解决问题的能力。在明确了平均数的意义与特征后，出示两个关于正确研判平均数价值的题目进行分析，有利于进一步掌握“平均数”的特征。
一是“平均寿命问题”（如图2）。让学生在充分讨论的基础上，进一步明白平均数只能代表一组数据的集中趋势，不能代表每一个数据的个体情况;而且平均数还可以起到一个推断更多数据（预期）的作用。
二是“比赛成绩问题”（如图3），先组织观察两个班级的合唱成绩再进行比较，学生自然计算出原始成绩的平均分401班好于402班，然后教师质疑：401班的成绩真的好于402班吗？有不同想法的吗？
合唱比赛成绩如下，哪个班级成绩稍微好些呢？
生5：因为401班的平均分为86分，402班平均分为85分，所以401班的成绩较好。
生6：我不同意，因为402班有4个同学的成绩比401班的好。
生7：401班有个较大的极端数96，402班有个较小的极端数75，如果这两个评委分别对一个班级好一点、一个班级差一点，就不公平了。
生8：在打分比赛的时候，往往会去掉一个最高分和一个最低分，然后取平均值。
师：如果按照生8说的，现在是哪个班级的成绩好一点？
生9：401班平均分为85.2分，402班平均分为86.2分，402班成绩好点。
师（小结）：两个班级都有不一样的极端数据的存在，所以原始的平均分并不能真正代表两个班级的真实水平，不要被眼前的数据所迷惑，一定要通过观察、思考分析数据背后隐藏的信息，才能让我们科学、准确地判断。
平均数起着一组数据的描述功能或推断功能的作用，要让学生深刻领悟平均数的价值，需要教师给予一个“脚手架”，让学生在这个支架上认真分析、推理;同时把生活中运用平均数的问题通过隐含极端数据的方式呈现出来，在观察、比较、计算的基础上帮助学生积累分析、处理数据的方法和经验。
总之，一个概念的习得需要经历“感知—理解—深化”三个阶段。我们通过对“平均数”一课的教材分析、有效利用“优课”资源、正确把握认知基础，从数学本质出发来构建有深度的课堂。让学生充分感知平均数的产生、理解平均数作为一组数据集中趋势的代表量以及平均数受统计数据中每一个数的影响的特征，懂得能更多地利用所有数据信息开展统计学中的描述与推断，发展学生的统计素养和数据分析观念。
【关键词】理解 深度 意义
“平均数”是人教版数学四年级下册的教学内容，平均数是统计学中最常用的统计量，也是统计与概率中一个重要的知识点。数学课程标准指出：统计与概率领域要让学生经历数据的收集、整理和分析过程，掌握一些简单的数据处理技能，进一步认识到数据中蕴含的信息，发展数据分析观念。这给教师教学“平均数”这一知识点提供了启示，不仅要让学生体会平均数的作用、能计算平均数，还要感悟到平均数能刻画一组数据的集中趋势，是比较不同组数据的一个指标。
一、教材内容分析
人教版数学四年级下册“平均数”这一知识点安排了两个课时（新授课 练习课），编排了两个例题。我们发现，例1通过四个小朋友收集矿泉水瓶的生活事例，解决“平均每人收集了几个矿泉水瓶？”的问题，让学生初步掌握运用移多补少和用算式方法来求平均数;例2通过两组踢毽子的数据让学生分别求出平均数并进行比较，重点让学生体会平均数可以反映一组数据的集中情况和区别不同数据组间的总体情况。
笔者认为，这样安排虽符合“平均数”概念的认知过程，即“是什么→怎么得到→有什么用”，但例1通过矿泉水数量间的“移多补少”及计算来定义平均数的概念显得单薄，它让学生感受更多的是平均分，而“13就是這4个数的平均数”让学生感受更多的是计算，没有深刻反映一组数的总体趋势。其实，平均数在生活中是有原型的，如“小红踢了5次毽子，找出最能代表小红踢毽子水平的数”，这里“不多不少”的那个数就是这5次踢毽子的平均数。学生对这样的生活场景很熟悉，他们可以用自己的表达方式来理解平均数，自然也就容易感受到平均数是什么了。
二、名师课堂赏析
“平均数”作为统计与概率中的一节典型课，许多专家和教师对其进行了多次的演绎，我们可以从他们的教学思想与理念中寻求合理的教学方法，其中吴正宪、张齐华、俞正强三位著名特级教师的课较为经典，梳理后的教学流程见表1：
仔细分析三位专家的课堂，发现有两个明显的特点：一是三节课均把平均数的意义、特点作为教学重点来开展;二是均运用了移多补少的方法来揭示平均数的产生，淡化了用计算方法来得出平均数。针对三位专家的课堂及教材分析，笔者有一些浅显的想法：
1.对众数知识点渗透的思考
先前教材分析中“踢毽子”的素材与俞正强老师的“跑步计时”素材有相似之处，一个是“不多不少”，一个是“不快不慢”，两者均容易让学生感受到平均数是什么。笔者还观察到在数据的选择上俞正强老师把众数（14）也安排其中，我们认为，这一编排存在一定争议，因为在现实生活中，众数往往反映一组数据的集中趋势，是真实存在的，这与平均数代表“一组数据的集中水平”相混淆，学生不容易把两者区分开来，而课堂上学生的表现也证实了这一观点。
2.对统计图教学策略的思考
平均数的“变化”特征有两个：一是容易受极端数据的影响;二是平均数介于最大值和最小值之间。张齐华老师在课堂上通过计算（4，6，5，5）和（4，6，5，9）这两组数据，发现平均数发生了变化，再观察两个统计图，从而得出“平均数容易受极端数据影响”的结论。
笔者认为，这一环节还可以更加精致一些，如果能在统计图中描画出“平均数的水平线”，学生更能直观感知9这个数据在这组数中的影响，同时，还可以通过课件演示“平均数的水平线”随着某一个数据的变化而变化这一动态过程，进一步让学生体会到平均数的变化区间，帮助其理解意义。
三、学生认知解析
基于对教材和名师课堂的分析，笔者觉得有必要对学生的认知水平做一个原始的调查，便于准确了解学生对平均数知识的认知情况。
1.调查对象及方法
为使调查更具有全面性和真实性，我们选取了城区与镇属小学各两个班的学生，采用无记名、闭卷、无暗示的形式进行，共发放及回收调查卷117份。
2.调查内容分层次剖析
本次调查设4个小题，根据每一问题的回答情况进行了认知水平分级统计，具体见表2～5：
在对上述4个题目分层次分析后，我们认为学生的认知水平主要存在两个问题：
一是平均分与平均数的意义混淆。平均数是在理解平均分及除法运算含义的基础上进行教学，从调查卷第2题发现大部分学生会算平均数，但更多的是停留在平均分上，笔者对第1题中水平2的部分学生进行了谈话了解，进一步证实了这个观点。
二是对平均数的特征缺乏认知。对比表3与表4我们可以发现，学生对平均数问题的解决要远远好于对平均数特征的理解，第2小题就是解决求平均数问题，而第3小题属于统计中的“问题解决”，并不需要学生计算，更侧重理解，对学生来说有一定困难。
四、教学实践评析
基于对认知基础的调查与分析，我们认为在教学中要着重落实两个问题：一是引出并揭示平均数的意义要用合理化的素材，可以用学生认知建构中的“不多不少”来进行;二是要积极帮助学生理解平均数的代表性、虚拟性和易变性，体会从不同的角度来建构平均数的本质特征。也就是教师在教学平均数时需要让学生经历、体验平均数的产生及应用，了解平均数特征，领悟平均数的统计意义及价值，掌握平均数的计算方法。
1.基于生活经验，初步体会平均数的意义
从学生所熟悉的现实情境和已有的知识经验出发，让学生能够积极地开展思维活动。课始，教师出示小红踢5次毽子的情况统计图（如图1）并设问：如果要用一个数来记录小红踢毽子的水平，会是怎样的数呢？让学生在讨论的过程中逐步体会到24最能代表这5次成绩的一般水平。接着质疑：你们是怎么得到这个24的？它又代表什么意思？ 生1：通过把次数多的分给次数少的，这样每一次均是24。
生2：通过把5次成绩相加得到一个总数，再平均分成5份，就是（23 28 22 26 21）÷5=24。
生3：这个24就是他们平均分了以后得到的。
生4：24是不多不少的一个数。
……
通过思考、讨论后，学生初步感受到24是个平均数，最能代表小红5次跳绳的真实水平，也懂得了平均数可以通过“移多补少”或者“总数÷总份数=平均数”来求得。笔者认为，提供一份“有生活经验的素材→进行观察比较→引向深层次分析→指向知识本质的思考”是概念教学的有效实施路径，学生在“观察表面个数→发现这些数据不能解决问题→找最合理的数作为代表”的过程中逐步明白平均数的概念。
2.基于多重辨析，深入感知平均数的特征
概念的形成是从外部的、比较具体的非本质特征到内部的、比较抽象的本质特征的不断深化的过程，更是学生心理的建构过程。因此，实现平均数从“生活化”到“数学化”，使学生学会用数学的眼光来分析问题需要一个不断强化、辨析的过程。
学生初步理解平均数之后，教师再次设问：假如小红第6次刚好踢了24个，这六次的平均数还是24个吗？为什么？学生很快知道平均数依然是24。接着追问：第6次的24与平均数的24意思一样吗？通过讨论，学生们一致认为第6次的24是实实在在踢出来的，而平均数24是一组数据平均后的一般水平，兩者意思不一样。这样让学生充分感知到平均数虚拟性的特征。
随后，继续研究第6次踢毽子数量的可能性：假如小红的状态不好，第6次踢了6个，平均数会发生怎样的变化？会比6还小吗？组织学生列式计算出具体的平均数，并质疑为什么是21个。假如小红的状态特别好，第6次踢了42个，现在的平均数又会发生怎样的变化？会比42大吗？如果第6次比42个还多，平均数又会怎样？通过这一系列的讨论，让学生感受到平均数的变化是有一定区间的：总比最大的小，比最小的大，同时也感觉平均数是一个敏感数，容易受统计数据内某个数据的变化而变化，特别是受极端数据的影响较大，会偏离“大多数”。
虽然平均数容易受极端数据的影响，但当统计量较多时，一些极端数据对整个数据的平均数影响不大，而当这些极端数据显得十分极端时，对整个数据的影响依然存在。教学时，教师应让学生充分感受到统计量个数的多少与平均数变化也存在一定的关系。教学中出示一些例子，组织学生讨论极端数据与平均数的变化情况。
笔者以为，通过上述的辨析，学生对平均数的意义和特征有了较为准确、全面的理解，知道了平均数是对一组数的直观了解，也是一组数据集中趋势的代表，懂得了平均数的虚拟性和变化区间，引入极端数据也让学生明白平均数存在的缺点，它能掩盖一组数据的真实性，有时代表不了一组数据的集中趋势，有利于引入新的统计量（中位数、众数）来分析统计数据。
3.基于实践运用，科学研判平均数的价值
概念教学中建构意义就是帮助学生形成对概念较深刻的理解，提高他们运用概念解决问题的能力。在明确了平均数的意义与特征后，出示两个关于正确研判平均数价值的题目进行分析，有利于进一步掌握“平均数”的特征。
一是“平均寿命问题”（如图2）。让学生在充分讨论的基础上，进一步明白平均数只能代表一组数据的集中趋势，不能代表每一个数据的个体情况;而且平均数还可以起到一个推断更多数据（预期）的作用。
二是“比赛成绩问题”（如图3），先组织观察两个班级的合唱成绩再进行比较，学生自然计算出原始成绩的平均分401班好于402班，然后教师质疑：401班的成绩真的好于402班吗？有不同想法的吗？
合唱比赛成绩如下，哪个班级成绩稍微好些呢？
生5：因为401班的平均分为86分，402班平均分为85分，所以401班的成绩较好。
生6：我不同意，因为402班有4个同学的成绩比401班的好。
生7：401班有个较大的极端数96，402班有个较小的极端数75，如果这两个评委分别对一个班级好一点、一个班级差一点，就不公平了。
生8：在打分比赛的时候，往往会去掉一个最高分和一个最低分，然后取平均值。
师：如果按照生8说的，现在是哪个班级的成绩好一点？
生9：401班平均分为85.2分，402班平均分为86.2分，402班成绩好点。
师（小结）：两个班级都有不一样的极端数据的存在，所以原始的平均分并不能真正代表两个班级的真实水平，不要被眼前的数据所迷惑，一定要通过观察、思考分析数据背后隐藏的信息，才能让我们科学、准确地判断。
平均数起着一组数据的描述功能或推断功能的作用，要让学生深刻领悟平均数的价值，需要教师给予一个“脚手架”，让学生在这个支架上认真分析、推理;同时把生活中运用平均数的问题通过隐含极端数据的方式呈现出来，在观察、比较、计算的基础上帮助学生积累分析、处理数据的方法和经验。
总之，一个概念的习得需要经历“感知—理解—深化”三个阶段。我们通过对“平均数”一课的教材分析、有效利用“优课”资源、正确把握认知基础，从数学本质出发来构建有深度的课堂。让学生充分感知平均数的产生、理解平均数作为一组数据集中趋势的代表量以及平均数受统计数据中每一个数的影响的特征，懂得能更多地利用所有数据信息开展统计学中的描述与推断，发展学生的统计素养和数据分析观念。