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摘 要：在两级改良品供应链中，零售商在固定计划期内允许缺货并且只能进行一次订货。时间是影响改良品供应链运行成效的一个极其重要的因素。供应商过早销售改良品的后果会产生社会资源的浪费。为此，针对改良品供应链，设计了基于时间的收益共享契约，该契约的设计利用了节约资源的思想。通过利用数值算例验证了基于时间的收益共享契约的有效性。
关键词：节约资源；缺货； 改良品； 收益共享
1 引言
对改良品的研究始于韩国学者Hwang，1997年其在需求率小于以及大于改良率情形下研究了改良品的库存问题，然后1999年Hwang根据物品在整个保管过程的改良和变质情况，研究设计了分别针对FIFO和LIFO两种策略的库存管理模型。当前，从事改良品及其供应链研究的海内外学者比较少，相关学者研究对象多为改良品库存系统，Moon等通过对影响企业库存控制策略的通货膨胀、资金时间价值等因素的分析，构建了基于需求时变的改良品EOQ模型。Mondal等通过研究考虑改良和变质的过程，构建了价格受到需求率影响的改良品EOQ模型。Law等基于制造商和销售商的观点，构建了一个整合的同时受改良率和变质率影响的生产库存模型。少数学者对改良品供应链进行了研究，孙海雷等研究了供应商大批量订货、多频次供货情形下，利用价格折扣的激励措施对改良品供应链进行协调。王勇等在基于批量对批量供应模式的假设下，利用数量折扣契约对改良品供应链进行了协调，并得到了最优订购策略。
基于时间竞争是当前的时代特色，时间已经成为影响整个供应链是否具有竞争优势的重要因素。然而在供应链的收益共享契约设计中，均未体现时间对于整个收益共享契约的影响。时间是制约改良品供应链运行成效的一个极其重要因素，在改良期内改良品随着时间的增长，其价值也会增加，如果将其卖出过早，由于改良环境的变化，改良品将无法继续改良，间接造成社会资源的浪费，同时亦会影响到整个改良品供应链，为此本文基于节约资源的思想，研究设计了针对改良品供应链协调问题的基于时间因素的收益共享契约。
2 模型
2.1 模型假设和符号说明
在市场需求恒定的二级改良品供应链中，信息是对称的，零售商允许缺货，只能在计划期内采用瞬时补货策略进行一次进货；商品的改良将会在供应商的仓库中（养殖场、池塘、农田等）进行，改良率固定，改良的商品产生相应的成本，改良品在改良过程中变质率很小，故忽略改良品的变质对改良品供应链的影响。
模型中相关的参数说明如下。
T：计划期；λ：商品的改良率；K1：零售商订货的固定成本；H1：零售商的库存成本（单位时间单位商品）；H2：供应商的库存成本（单位时间单位商品）；Ca：供应商的改良成本（单位商品）；Cb：零售商的缺货成本（单位商品）；P：零售商的销售价格（单位商品）；P1：零售商的采购价格（单位商品）；P2：供应商的采购价格（单位商品）；P3：供应商的残值（单位商品）；D：商品的市场需求率；I（t）：t时刻库存水平；π（·）：收益函数。
2.2 模型建立
根据模型假设，改良品供应商在初始时刻有数量为Q0的商品库存，其在改良的作用下进行改良，此时商品库存将会增加，改良品在t时刻库存水平I（t）满足微分方程：
dI（t）dt=λI（t），I（0）=Q0
解之得：
I（t）=Q0eλt，0≤t≤T
2.2.1 分散决策下零售商的最优决策
根据模型假设，计划期T被分成两个时间段[0，t]与[t，T]，在[0，t]时段内零售商处于缺货状态，零售商在t时刻采用瞬时补货策略，获取商品后首先满足[0，t]时段内的缺货量，剩余部分商品存放在零售商仓库中从而满足[t，T]時段内的市场需求。
在零售商允许缺货，计划期内只进行一次补货的情形下，订货成本、采购成本、库存成本、缺货成本构成了零售商在计划期T内的总成本，其中订货成本为K1；采购成为P1DT。
库存成本为12D（T-t）2H1；缺货成本为CbDt； 零售商销售收入为PDT，故零售商的收益函数为π11（t）=（P-P1）DT-K1-12D（T-t）2H1-CbDt。经推导，当t*1=T-CbH1，零售商最大收益为π11（t*1）=（P-P1 -Cb ）DT-K1 + 12DC2b H1。
在分散决策下，零售商允许缺货，其向供应商的订货时刻为t，供应商提供给零售商数量为DT商品，但是由于在[0，t]时段这些物品一直在供应商的仓库里存放发生改良，该批商品数量变为DTeλt，供应商供货之后剩余物品为DT（eλt-1），这些存放在仓库中的物品将会继续得到改良，则在计划期末供应商仓库中的物品数量为DT（eλT-eλ（T-t））。这些物品将由供应商通过其他渠道销售，得到残值销售收益为P3DT（eλT-eλ（T-t））。
供应商在计划期T内的成本：采购成本为P2DT；库存成本为H2λDT（eλT-eλ（T-t））；改良成本为CaDT（eλT-eλ（T-t））。供应商在计划期T内的正常销售收入为P1DT，残值销售收入为P3DT（eλT-eλ（T-t）），此时供应商的收益函数并用泰勒公式展开得：
π12（t）=（P1-P2）DT+（P3-Ca-H2λ）DT（λt+λ2Tt-12λ2t2）
在分散决策下，在t*1时刻零售商向供应商订货，则在计划期T内供应商收益函数为：
π12（t*1）=（P1-P2）DT+（P3-Ca-H2λ）DT[λ（T-CbH1）+λ2T（T-CbH1）-12λ2（T-CbH1）2]，供应链收益为π13（t*1） = （P-P2 -Cb ）DT-K1+ 12DC2b H1 +（P3-Ca-H2λ）DT[λ（T-CbH1）+λ2T（T-CbH1）-12λ2（T-CbH1）2] 2.2.2 集中決策下供应链的最优决策
在计划期T内当零售商在t时刻向供应商订货时，集中决策下供应链的总收益函数为：
π23（t）=（P-P2）DT-K1-12D（T-t）2H1-CbDt+（P3-Ca-H2λ）DT（λt+λ2Tt-12λ2t2）
经推导当d2π23（t）dt2=-DH1-λ2DT（P3-Ca-H2λ）<0时，π23（t）在t*2=
TH1-Cb+（P3-Ca-H2λ）T（λ+λ2T）H1+（P3-Ca-H2λ）Tλ2取到最大值；反之，π23（t）在端点取到最大值。
2.2.3 集中决策下的收益共享契约模型
易知在集中决策时，要保证整个供应链的收益最大化，零售商必须在t*2时刻进行订货。然而在分散决策下，零售商为保证自己收益的最大化，会选择t*1时刻进行订货。如果零售商的最优订货时刻与集中决策时供应链的最优订货时刻不相符，那么零售商如果选择t*2时刻进行订货，零售商的收益将小于其在分散决策下的最大收益。为了保证自己取得最大的收益，零售商作为此供应链的主导者，显然不会在t*2时刻进行订货，而要使得整个供应链的总收益取得最大化，需要供应商设计某种契约机制来补偿零售商，使得零售商调整其订货时刻至t*2。
本文基于节约资源的思想，研究设计了针对改良品供应链协调问题的基于时间因素的收益共享契约。在此契约下，为保证零售商的收益不小于零售商在分散决策下的收益，零售商将会获得供应商提供的一部分收益来弥补其损失，其中收益分配系数为θ。
零售商收益为π31（t*2，θ）=（P-P1）DT-K1-12D（T-t*2）2H1-CbDt*2+θ[（P1-P2）DT+（P3-Ca-H2λ）DT（λt*2+λ2Tt*2-12λ2t*22）]
供应商收益为π32（t*2，θ）=（1-θ）[（P1-P2）DT+（P3-Ca-H2λ）DT（λt*2+λ2Tt*2-12λ2t*22）]
容易验证整个供应链的总收益在利用此收益共享契约的情况下，能够保证与在集中决策下的供应链总收益相比没有发生变化。与此同时，保证供应商收益大于等于协调前的收益是供应商向零售商提供该收益共享契约的前提条件，而保证零售商协调后的收益大于等于协调前的收益是零售商接受供应商提供该收益共享契约的前提条件，因此必须满足条件π31（t*2，θ）≥π11（t*1），以及条件π32（t*2，θ）≥π12（t*1）。即
CbD（t*2-T）+12DC2bH1+12D（T-t*2）2H1（P1-P2）DT+（P3-Ca-H2λ）DT（λt*2+λ2Tt*2-12λ2t*22）≤ θ ≤1- （P1-P2）DT+（P3-Ca-H2λ）DT[λ（T-CbH1）+λ2T（T-CbH1）-12λ2（T-CbH1）2]（P1-P2）DT+（P3-Ca-H2λ）DT（λt*2+λ2Tt*2-12λ2t*22）
3 算例分析
由单一改良品供应商和零售商组成的两级改良品供应链参数如下，T=1，λ=0.3，K1=200，Cb=12，H2=1.5，Ca=1.5，D=2500，P=15，P1=10，P2=5，P3=10。
将参数带入模型，通过计算，符合要求的收益共享系数的合理范围是（0.06，0.14），同时集中决策时零售商的收益为9535.13，分散决策其收益为10500，两者相差964.87。由此可见零售商只要获得供应商收益的6.3%，其收益就能保证获得在分散决策时的收益，并且此收益共享系数是可行的。
4 结束语
本文在由单一改良品供应商和单一零售商组成的两级改良品供应链中，考虑零售商在固定计划期内允许缺货并且只能进行一次订货的情形，基于节约资源的思想，研究设计了针对改良品供应链协调问题的基于时间因素的收益共享契约，数值算例分析的结果表明了该收益共享契约的有效性。在以后的研究中，我们将考虑市场需求随机以及动态改良率的情形。
参考文献
[1] HWANG H S.A study on inventory model for items with Weibull Ameliorating [J]. Computers and Industrial Engineering，1997，33（3/4）：701-704.
[2] HWANG H S.Inventory models for both deteriorating and ameliorating items [J]. Computers and Industrial Engineering，1999，37（1/2）：257-260.
[3] MOON I，GIRI B C.Economic order quantity models for ameliorating /deteriorating items under inflation and time discounting[J]. European Journal of Operational Research，2005，162（3）：773-785.
[4] Mandal B，Bhunia A K，Maiti M.Inventory partial selling quantity model of ameliorating items with linear price dependent demand[J]. Advanced Modeling and Optimization， 2005，7（1）：145-154.
[5] Law ST，Wee HM.An integrated production-inventory model for meliorating and deteriorating items taking account of time discounting[J]. Mathematical and Computer Modelling，2006，（43）：673-685.
[6] 孙海雷，王勇，陈晓旭，王义利.基于价格折扣的改良品供应链的协调策略研究 [J]. 系统工程学报，2014，29（1）：75-84.
[7] 王勇，孙海雷，陈晓旭.基于数量折扣的改良品供应链协调策略[J]. 中国管理科学，2014，（4）：51-57.
关键词：节约资源；缺货； 改良品； 收益共享
1 引言
对改良品的研究始于韩国学者Hwang，1997年其在需求率小于以及大于改良率情形下研究了改良品的库存问题，然后1999年Hwang根据物品在整个保管过程的改良和变质情况，研究设计了分别针对FIFO和LIFO两种策略的库存管理模型。当前，从事改良品及其供应链研究的海内外学者比较少，相关学者研究对象多为改良品库存系统，Moon等通过对影响企业库存控制策略的通货膨胀、资金时间价值等因素的分析，构建了基于需求时变的改良品EOQ模型。Mondal等通过研究考虑改良和变质的过程，构建了价格受到需求率影响的改良品EOQ模型。Law等基于制造商和销售商的观点，构建了一个整合的同时受改良率和变质率影响的生产库存模型。少数学者对改良品供应链进行了研究，孙海雷等研究了供应商大批量订货、多频次供货情形下，利用价格折扣的激励措施对改良品供应链进行协调。王勇等在基于批量对批量供应模式的假设下，利用数量折扣契约对改良品供应链进行了协调，并得到了最优订购策略。
基于时间竞争是当前的时代特色，时间已经成为影响整个供应链是否具有竞争优势的重要因素。然而在供应链的收益共享契约设计中，均未体现时间对于整个收益共享契约的影响。时间是制约改良品供应链运行成效的一个极其重要因素，在改良期内改良品随着时间的增长，其价值也会增加，如果将其卖出过早，由于改良环境的变化，改良品将无法继续改良，间接造成社会资源的浪费，同时亦会影响到整个改良品供应链，为此本文基于节约资源的思想，研究设计了针对改良品供应链协调问题的基于时间因素的收益共享契约。
2 模型
2.1 模型假设和符号说明
在市场需求恒定的二级改良品供应链中，信息是对称的，零售商允许缺货，只能在计划期内采用瞬时补货策略进行一次进货；商品的改良将会在供应商的仓库中（养殖场、池塘、农田等）进行，改良率固定，改良的商品产生相应的成本，改良品在改良过程中变质率很小，故忽略改良品的变质对改良品供应链的影响。
模型中相关的参数说明如下。
T：计划期；λ：商品的改良率；K1：零售商订货的固定成本；H1：零售商的库存成本（单位时间单位商品）；H2：供应商的库存成本（单位时间单位商品）；Ca：供应商的改良成本（单位商品）；Cb：零售商的缺货成本（单位商品）；P：零售商的销售价格（单位商品）；P1：零售商的采购价格（单位商品）；P2：供应商的采购价格（单位商品）；P3：供应商的残值（单位商品）；D：商品的市场需求率；I（t）：t时刻库存水平；π（·）：收益函数。
2.2 模型建立
根据模型假设，改良品供应商在初始时刻有数量为Q0的商品库存，其在改良的作用下进行改良，此时商品库存将会增加，改良品在t时刻库存水平I（t）满足微分方程：
dI（t）dt=λI（t），I（0）=Q0
解之得：
I（t）=Q0eλt，0≤t≤T
2.2.1 分散决策下零售商的最优决策
根据模型假设，计划期T被分成两个时间段[0，t]与[t，T]，在[0，t]时段内零售商处于缺货状态，零售商在t时刻采用瞬时补货策略，获取商品后首先满足[0，t]时段内的缺货量，剩余部分商品存放在零售商仓库中从而满足[t，T]時段内的市场需求。
在零售商允许缺货，计划期内只进行一次补货的情形下，订货成本、采购成本、库存成本、缺货成本构成了零售商在计划期T内的总成本，其中订货成本为K1；采购成为P1DT。
库存成本为12D（T-t）2H1；缺货成本为CbDt； 零售商销售收入为PDT，故零售商的收益函数为π11（t）=（P-P1）DT-K1-12D（T-t）2H1-CbDt。经推导，当t*1=T-CbH1，零售商最大收益为π11（t*1）=（P-P1 -Cb ）DT-K1 + 12DC2b H1。
在分散决策下，零售商允许缺货，其向供应商的订货时刻为t，供应商提供给零售商数量为DT商品，但是由于在[0，t]时段这些物品一直在供应商的仓库里存放发生改良，该批商品数量变为DTeλt，供应商供货之后剩余物品为DT（eλt-1），这些存放在仓库中的物品将会继续得到改良，则在计划期末供应商仓库中的物品数量为DT（eλT-eλ（T-t））。这些物品将由供应商通过其他渠道销售，得到残值销售收益为P3DT（eλT-eλ（T-t））。
供应商在计划期T内的成本：采购成本为P2DT；库存成本为H2λDT（eλT-eλ（T-t））；改良成本为CaDT（eλT-eλ（T-t））。供应商在计划期T内的正常销售收入为P1DT，残值销售收入为P3DT（eλT-eλ（T-t）），此时供应商的收益函数并用泰勒公式展开得：
π12（t）=（P1-P2）DT+（P3-Ca-H2λ）DT（λt+λ2Tt-12λ2t2）
在分散决策下，在t*1时刻零售商向供应商订货，则在计划期T内供应商收益函数为：
π12（t*1）=（P1-P2）DT+（P3-Ca-H2λ）DT[λ（T-CbH1）+λ2T（T-CbH1）-12λ2（T-CbH1）2]，供应链收益为π13（t*1） = （P-P2 -Cb ）DT-K1+ 12DC2b H1 +（P3-Ca-H2λ）DT[λ（T-CbH1）+λ2T（T-CbH1）-12λ2（T-CbH1）2] 2.2.2 集中決策下供应链的最优决策
在计划期T内当零售商在t时刻向供应商订货时，集中决策下供应链的总收益函数为：
π23（t）=（P-P2）DT-K1-12D（T-t）2H1-CbDt+（P3-Ca-H2λ）DT（λt+λ2Tt-12λ2t2）
经推导当d2π23（t）dt2=-DH1-λ2DT（P3-Ca-H2λ）<0时，π23（t）在t*2=
TH1-Cb+（P3-Ca-H2λ）T（λ+λ2T）H1+（P3-Ca-H2λ）Tλ2取到最大值；反之，π23（t）在端点取到最大值。
2.2.3 集中决策下的收益共享契约模型
易知在集中决策时，要保证整个供应链的收益最大化，零售商必须在t*2时刻进行订货。然而在分散决策下，零售商为保证自己收益的最大化，会选择t*1时刻进行订货。如果零售商的最优订货时刻与集中决策时供应链的最优订货时刻不相符，那么零售商如果选择t*2时刻进行订货，零售商的收益将小于其在分散决策下的最大收益。为了保证自己取得最大的收益，零售商作为此供应链的主导者，显然不会在t*2时刻进行订货，而要使得整个供应链的总收益取得最大化，需要供应商设计某种契约机制来补偿零售商，使得零售商调整其订货时刻至t*2。
本文基于节约资源的思想，研究设计了针对改良品供应链协调问题的基于时间因素的收益共享契约。在此契约下，为保证零售商的收益不小于零售商在分散决策下的收益，零售商将会获得供应商提供的一部分收益来弥补其损失，其中收益分配系数为θ。
零售商收益为π31（t*2，θ）=（P-P1）DT-K1-12D（T-t*2）2H1-CbDt*2+θ[（P1-P2）DT+（P3-Ca-H2λ）DT（λt*2+λ2Tt*2-12λ2t*22）]
供应商收益为π32（t*2，θ）=（1-θ）[（P1-P2）DT+（P3-Ca-H2λ）DT（λt*2+λ2Tt*2-12λ2t*22）]
容易验证整个供应链的总收益在利用此收益共享契约的情况下，能够保证与在集中决策下的供应链总收益相比没有发生变化。与此同时，保证供应商收益大于等于协调前的收益是供应商向零售商提供该收益共享契约的前提条件，而保证零售商协调后的收益大于等于协调前的收益是零售商接受供应商提供该收益共享契约的前提条件，因此必须满足条件π31（t*2，θ）≥π11（t*1），以及条件π32（t*2，θ）≥π12（t*1）。即
CbD（t*2-T）+12DC2bH1+12D（T-t*2）2H1（P1-P2）DT+（P3-Ca-H2λ）DT（λt*2+λ2Tt*2-12λ2t*22）≤ θ ≤1- （P1-P2）DT+（P3-Ca-H2λ）DT[λ（T-CbH1）+λ2T（T-CbH1）-12λ2（T-CbH1）2]（P1-P2）DT+（P3-Ca-H2λ）DT（λt*2+λ2Tt*2-12λ2t*22）
3 算例分析
由单一改良品供应商和零售商组成的两级改良品供应链参数如下，T=1，λ=0.3，K1=200，Cb=12，H2=1.5，Ca=1.5，D=2500，P=15，P1=10，P2=5，P3=10。
将参数带入模型，通过计算，符合要求的收益共享系数的合理范围是（0.06，0.14），同时集中决策时零售商的收益为9535.13，分散决策其收益为10500，两者相差964.87。由此可见零售商只要获得供应商收益的6.3%，其收益就能保证获得在分散决策时的收益，并且此收益共享系数是可行的。
4 结束语
本文在由单一改良品供应商和单一零售商组成的两级改良品供应链中，考虑零售商在固定计划期内允许缺货并且只能进行一次订货的情形，基于节约资源的思想，研究设计了针对改良品供应链协调问题的基于时间因素的收益共享契约，数值算例分析的结果表明了该收益共享契约的有效性。在以后的研究中，我们将考虑市场需求随机以及动态改良率的情形。
参考文献
[1] HWANG H S.A study on inventory model for items with Weibull Ameliorating [J]. Computers and Industrial Engineering，1997，33（3/4）：701-704.
[2] HWANG H S.Inventory models for both deteriorating and ameliorating items [J]. Computers and Industrial Engineering，1999，37（1/2）：257-260.
[3] MOON I，GIRI B C.Economic order quantity models for ameliorating /deteriorating items under inflation and time discounting[J]. European Journal of Operational Research，2005，162（3）：773-785.
[4] Mandal B，Bhunia A K，Maiti M.Inventory partial selling quantity model of ameliorating items with linear price dependent demand[J]. Advanced Modeling and Optimization， 2005，7（1）：145-154.
[5] Law ST，Wee HM.An integrated production-inventory model for meliorating and deteriorating items taking account of time discounting[J]. Mathematical and Computer Modelling，2006，（43）：673-685.
[6] 孙海雷，王勇，陈晓旭，王义利.基于价格折扣的改良品供应链的协调策略研究 [J]. 系统工程学报，2014，29（1）：75-84.
[7] 王勇，孙海雷，陈晓旭.基于数量折扣的改良品供应链协调策略[J]. 中国管理科学，2014，（4）：51-57.