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1.向量知识背景下线段的定比分点问题在椭圆中的渗透
例1已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，离心率为23。（1）求椭圆方程；（2）设椭圆在y轴正半轴上的焦点为M，又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段AB所成的比为2，求线段AB所在直线的方程。
解：（1）由于椭圆焦点在y轴上，所以可设椭圆方程为y2a2+x2b2=1，则由2c=4得c=2。又ca=23，所以a=3，b2=a2-c2=5。则所求的椭圆方程为y29+x25=1。
（2）若k不存在，则AMMB≠2；若k存在，则设直线AB的方程为y=kx+2。又设A（x1，y1），B（x2，y2），由y=kx+2，x25+y29=1，得（9+5k2）x2+20kx-25=0。有x1+x2=-20k9+5k2①，x1·x2=-259+5k2②。因为点M的坐标为M0，2，所以AM=（-x1，2-y1），MB=（x2，y2-2）。由AMMB=2得AM=2MB。所以（-x1，2-y1）=2（x2，y2-2）。将x1=-2x2代入①②得x2=20k9+5k2③，2x22=259+5k2④。由③④得220k9+5k22=259+5k2，k2=13，k=±33。线段AB所在直线的方程为y=±33x+2。
2.共线向量与椭圆问题的交汇
例2设F1、F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点，上顶点为B，过B与BF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且向量F1F2与F2Q方向相反，F2Q=2F1F2，求椭圆C的离心率。
解：设Q（x0，0），因为F2（c，0），B（0，b），则F2B=（-c，b），BQ=（x0，-b）。又F2B⊥BQ，所以-cx0-b2=0，故x0=-b2c。又向量F1F2与F2Q的方向相反，故F2Q=2F1F2。向量F1F2与F2Q共线，且满足F2Q=-2F1F2，即2F1F2+F2Q=0，则F1为F2Q的中点，-2c=-b2c+c，即b2=3c2=a2-c2，椭圆C的离心率e=ca=12。
3.向量数量积在椭圆中的渗透
例3离心率为22的椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）与一条斜率为1的直线l交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且OP·OQ=-3，PR=3RQ，求直线l和椭圆C的方程。
解：因为椭圆的离心率为22，所以ca=22，a2=2b2，则椭圆方程为x22b2+y2b2=1。设l的方程为y=x+m，有P（x1，y1），Q（x2，y2）。由x22b2+y2b2=1，y=x+m，消去y得3x2+4mx+2m2-2b2=0。Δ=16m2-4×3（2m2-2b2）=8（-m2+3b2）>0，所以3b2>m2（*），x1+x2=-43m①，x1x2=23（m2-b2）②。因OP·OQ=-3，所以x1x2+y1y2=-3。而y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2，所以2x1x2+m（x1+x2）+m2=-3，43（m2-b2）-43m2+m2=-3。所以3m2-4b2=-9③。又R（0，m），PR=3RQ，（-x1，m-y1）=3（x2，y2-m），從而-x1=3x2 ④。由①②④得3m2=b2⑤，由③⑤解得b2=3，m=±1，适合（*）。所以l的方程为y=x+1或y=x-1，椭圆C的方程为x62+y23=1。
作者单位：安徽省六安市皖西中学
例1已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，离心率为23。（1）求椭圆方程；（2）设椭圆在y轴正半轴上的焦点为M，又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段AB所成的比为2，求线段AB所在直线的方程。
解：（1）由于椭圆焦点在y轴上，所以可设椭圆方程为y2a2+x2b2=1，则由2c=4得c=2。又ca=23，所以a=3，b2=a2-c2=5。则所求的椭圆方程为y29+x25=1。
（2）若k不存在，则AMMB≠2；若k存在，则设直线AB的方程为y=kx+2。又设A（x1，y1），B（x2，y2），由y=kx+2，x25+y29=1，得（9+5k2）x2+20kx-25=0。有x1+x2=-20k9+5k2①，x1·x2=-259+5k2②。因为点M的坐标为M0，2，所以AM=（-x1，2-y1），MB=（x2，y2-2）。由AMMB=2得AM=2MB。所以（-x1，2-y1）=2（x2，y2-2）。将x1=-2x2代入①②得x2=20k9+5k2③，2x22=259+5k2④。由③④得220k9+5k22=259+5k2，k2=13，k=±33。线段AB所在直线的方程为y=±33x+2。
2.共线向量与椭圆问题的交汇
例2设F1、F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点，上顶点为B，过B与BF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且向量F1F2与F2Q方向相反，F2Q=2F1F2，求椭圆C的离心率。
解：设Q（x0，0），因为F2（c，0），B（0，b），则F2B=（-c，b），BQ=（x0，-b）。又F2B⊥BQ，所以-cx0-b2=0，故x0=-b2c。又向量F1F2与F2Q的方向相反，故F2Q=2F1F2。向量F1F2与F2Q共线，且满足F2Q=-2F1F2，即2F1F2+F2Q=0，则F1为F2Q的中点，-2c=-b2c+c，即b2=3c2=a2-c2，椭圆C的离心率e=ca=12。
3.向量数量积在椭圆中的渗透
例3离心率为22的椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）与一条斜率为1的直线l交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且OP·OQ=-3，PR=3RQ，求直线l和椭圆C的方程。
解：因为椭圆的离心率为22，所以ca=22，a2=2b2，则椭圆方程为x22b2+y2b2=1。设l的方程为y=x+m，有P（x1，y1），Q（x2，y2）。由x22b2+y2b2=1，y=x+m，消去y得3x2+4mx+2m2-2b2=0。Δ=16m2-4×3（2m2-2b2）=8（-m2+3b2）>0，所以3b2>m2（*），x1+x2=-43m①，x1x2=23（m2-b2）②。因OP·OQ=-3，所以x1x2+y1y2=-3。而y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2，所以2x1x2+m（x1+x2）+m2=-3，43（m2-b2）-43m2+m2=-3。所以3m2-4b2=-9③。又R（0，m），PR=3RQ，（-x1，m-y1）=3（x2，y2-m），從而-x1=3x2 ④。由①②④得3m2=b2⑤，由③⑤解得b2=3，m=±1，适合（*）。所以l的方程为y=x+1或y=x-1，椭圆C的方程为x62+y23=1。
作者单位：安徽省六安市皖西中学