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新课程非常重视对学生数学知识的应用能力的培养,每个模块都配备了一定的应用案例,新高考也很重视对应用意识的考查,应用题的设计不断创新.因此,如何提高应用题教学的有效性就变得尤为重要.笔者以为,创设有效的问题情境,搭建生活与数学的桥梁,是提高应题
教学有效性的一个重要途径?下面结合自己一次公开课《导数在实际生活中的应用》的设计——反思——再设计的过程,谈谈自己的一点体会。
一、设计开放的问题情境,促进建模能力的提高。
例1的设计
A:(原设计)在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形,再把它的边沿虚线者起,做成一个无盖的方铁皮箱,箱底边长为多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?
并求得 V(40)=16000
由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子容积很小,因此,16000是最大值
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3
分析2:设箱高为xcm,则箱底长为(60-2x)cm,则得箱子容积
但是,第一次上完课后反思:
(1)在处理的环节上显得有点操之过急,学生怎么知道要折成方形铁皮箱必须从四个角截去四个全等的正方形呢?
(2)为什么不让学生用一块正方形的纸片去尝试裁剪一下,从中去发现:为什么必须裁掉四个全等的正方形,而不是其它形状?
(3)裁成的容器必须是方形吗?
(4)如果提供的铁皮是一块正六边形形状,从每个角截去一个什么样的多边形,才能折成一个正六棱柱形的水桶呢?
因此,原设计固化了学生的思维,剥夺了学生自主探究的机会。
在重新设计教学方案时,我对原题进行了改编:
B:(改编题)王师傅在焊接车皮时,剩下了一块边长为60cm的正方形铁皮,他想:弃之可惜,不如用这块铁皮做一个无盖的盛水的铁皮容器该多好啊!可是,王师傅遇到了一个问题:怎样裁剪,才能使容器盛水更多呢?同学们,你能帮王师傅解决这个问题吗?(可以动手操作)
比较上述题A和题B,不难发现,,题A和题B的主要区别在于问题所包含的数学量的确定性不同,题A的已知量和未知量,常量和变量都已确定,模型的选择已经清楚,是一道“标准”的应用题,所包含的建模的成分微乎其微,与其说学生在解应用题,不如说学生在解数学题,长此以往,学生的创造性被扼杀,建模的能力无法提高。
反观题B,问题的开放性明显增强,学生在解题时必然面临以下思考:
(1)设计的容器的形状的选择,是正方体?圆柱体?还是圆锥体?等等;
(2)每种形状,如何剪裁?
(3)对每一种剪裁方法,又必须建立一个函数模型,得到其最优解;
(4)不同的方案之间还要进行比较,最终确定最优方案。
反思:同一个例题,设计成开放型问题情境与封闭性情境相比,效果是完全不一样的。它不再禁锢学生的思维,而是让学生积极地参与教学的全过程,成为学习的主人翁,通过让学生自主探索,动手实践,相互交流,在讨论中争辩,在争辩中产生思维的碰撞,发现自己的方案的不足。这种情境的设计,促进了一种周密的思考,积极的探索,大胆的尝试,严密的推算,发展了学生的思维,提高了分析问题的能力,对学生的发展是一种无声的推进。正如陈向阳先生等所说的那样:数学建模作为对数学应用过程和问题解决的一种模式,更突出表现了对非数学领域的原始问题的分析、假设、抽象的数学加工的过程,数学工具、方法、模型的选择和使用过程,模型的求解、验证、再分析、修改假设,再求解的迭代过程。从这种意义上说,本题的开放问题情境的设计,促进了学生数学建模能力的提高.
二、设计开放的问题情境,提升生活的体验,激发探究的欲望。
例2的设计
C(原设计):某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高和底面半径,使所用的材料最省?
问题呈现后,学生很快得出了解题思路:
反思:这样的问题呈现方式,已近乎是一个多了几个文字的纯数学问题,模型已不需要选择,思路已不需要探究,解决此题,就是在解决一个典型的纯数学问题:求给定区间上的三次函数的最值。看似学生反应很快,但并没有起到培养学生的建模能力的作用。于是对问题进行了适当的改编:
D(改编):曹甸高中的高二某班的社会实践活动小组的同学,在捡废弃的饮料罐时,无意中发现一个奇怪的现象:大多数饮料罐的高都几乎是底面半径的2倍,大家思索:这种设计是基于什么道理呢?
这样的设计,引起了学生浓厚的兴趣,学生们觉得这个现象就是我们司空见惯的现象,深切体会到数学就在我们身边,但是却从来没有引起自己的重视,这里面究竟有什么学问呢?
于是讨论很热烈,经过探究和讨论,得出了两种不同的想法:
(1)在容积一定的情况下,是否用料最省?
(2)在材料一定的情况下,是否容量最大?
如何验证自己的想法呢?下面学生对这两种想法进行了数学化的验证。
思考1:饮料公司把饮料罐设计成容量为V的圆柱形,如果你是设计师,应该如何设计,才能使用料最省呢?
解:设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积
D设计得到了听课老师和专家的充分肯定。
比较D设计和C设计,不难发现,D设计,给学生展示了一个开放的问题情境,问题的模型选择不是唯一的,激发学生探究的冲动,给学生充分自主研究、尝试的空间,师生互动,生生互动,在思考、争论、合作、探究、尝试修改再尝试中发现方法,建立模型,最终解决问题。重要的不是问题的解决,而是解决问题的过程,让学生在问题解决中体验学习,体验生活,体会数学与生活的密不可分,体验阅读----理解----尝试-----修改----再尝试---再修改---最终确定模型的过程,在解题的过程中获得创造的乐趣和幸福,培养了学习的兴趣。
孔子说过:“知之者莫如好之者.好之者莫如乐之者。”这说明学习体验是教学有效性的灵魂.学生越来越爱学习是教学有效性的内在保证。只有开放的问题设计,才能促进学习活动伴随或生发深刻的心理体验。这是被封闭问题设计所忽视的考量有效性的一个重要因素。
三、设计开放的问题情境,不能过分地背离现实。
设计开放的问题情境,进行数学建模的教学,引导学生形成一种观察的眼光、思考的方法、敏锐的把握力,学以致用,培养举一反三的思维策略,引导学生走出课堂,但落脚点却在数学本身。这种高起点的教学策略,对于我们教师,是一种挑战、也是一种尝试。
但是,反思本堂课的设计,觉得问题情境的设计也有很多值得注意的問题。
首先,开放的问题情境,诱使学生提出解决问题的方案,具有一定的创新性,但是构造的问题不能过分地背离现实。后来我看了很多的饮料罐,他们设计的高与底面半径的比例并不是2:1的关系。
我想:还有一个原因:即饮料罐的底面与壁的单位造价不一样,于是我设计了变式:
在想法(1)中若罐底单位造价为侧壁部分单位造价的2倍,如何设计尺寸,使总造价最低?
这样经过同学们的探究,得出的高与底面半径的比值是4:1.
其次,实际饮料罐的制作,还会有很多客观因素的影响,诸如制作的材料,客户的需求等等。本设计与生活的原形还是有不同的。虽然应用题的情境来源于实际生活,但为了教学的需要,在不违背科学性的前提下,进行适当的加工是有必要的,但要始终保持问题设计的开放度,在问题解决的过程中,让学生体验建模的过程。从有效提高学生分析问题的能力,培养探究合作的态度,从发展数学建模的能力的角度看,本题的设计应该是一种有益的尝试。
总之,要提高应用题的教学的有效性,需要我们教育工作者们不断地努力尝试,为应用题教学提供更多的方式和更灵活的手段,注重设计开放的情境,创造活动的空间,讨论的氛围,体验的机会,让学生多接触一些生动活泼的原创性实际问题,在生活实际与数学课堂之间搭建有效的桥梁,培养学生用数学模型解决问题或决策的习惯,是一种可持续意义上的真正有效的教学。
参 考 文 献
[1]《高效的探究活动需要有效的引导》--《数学教学》2006年第12期周洁
[2]《引领想象,换位思考》--《高中数学教与学》2010年第1期 易丽霞
[3]《数学应用与数学建模辨析》--《中学数学教学参考》2006年第9期赵继源
[4]《课堂教学的有效性》--《数学教学通讯》 范国海■
教学有效性的一个重要途径?下面结合自己一次公开课《导数在实际生活中的应用》的设计——反思——再设计的过程,谈谈自己的一点体会。
一、设计开放的问题情境,促进建模能力的提高。
例1的设计
A:(原设计)在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形,再把它的边沿虚线者起,做成一个无盖的方铁皮箱,箱底边长为多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?
并求得 V(40)=16000
由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子容积很小,因此,16000是最大值
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3
分析2:设箱高为xcm,则箱底长为(60-2x)cm,则得箱子容积
但是,第一次上完课后反思:
(1)在处理的环节上显得有点操之过急,学生怎么知道要折成方形铁皮箱必须从四个角截去四个全等的正方形呢?
(2)为什么不让学生用一块正方形的纸片去尝试裁剪一下,从中去发现:为什么必须裁掉四个全等的正方形,而不是其它形状?
(3)裁成的容器必须是方形吗?
(4)如果提供的铁皮是一块正六边形形状,从每个角截去一个什么样的多边形,才能折成一个正六棱柱形的水桶呢?
因此,原设计固化了学生的思维,剥夺了学生自主探究的机会。
在重新设计教学方案时,我对原题进行了改编:
B:(改编题)王师傅在焊接车皮时,剩下了一块边长为60cm的正方形铁皮,他想:弃之可惜,不如用这块铁皮做一个无盖的盛水的铁皮容器该多好啊!可是,王师傅遇到了一个问题:怎样裁剪,才能使容器盛水更多呢?同学们,你能帮王师傅解决这个问题吗?(可以动手操作)
比较上述题A和题B,不难发现,,题A和题B的主要区别在于问题所包含的数学量的确定性不同,题A的已知量和未知量,常量和变量都已确定,模型的选择已经清楚,是一道“标准”的应用题,所包含的建模的成分微乎其微,与其说学生在解应用题,不如说学生在解数学题,长此以往,学生的创造性被扼杀,建模的能力无法提高。
反观题B,问题的开放性明显增强,学生在解题时必然面临以下思考:
(1)设计的容器的形状的选择,是正方体?圆柱体?还是圆锥体?等等;
(2)每种形状,如何剪裁?
(3)对每一种剪裁方法,又必须建立一个函数模型,得到其最优解;
(4)不同的方案之间还要进行比较,最终确定最优方案。
反思:同一个例题,设计成开放型问题情境与封闭性情境相比,效果是完全不一样的。它不再禁锢学生的思维,而是让学生积极地参与教学的全过程,成为学习的主人翁,通过让学生自主探索,动手实践,相互交流,在讨论中争辩,在争辩中产生思维的碰撞,发现自己的方案的不足。这种情境的设计,促进了一种周密的思考,积极的探索,大胆的尝试,严密的推算,发展了学生的思维,提高了分析问题的能力,对学生的发展是一种无声的推进。正如陈向阳先生等所说的那样:数学建模作为对数学应用过程和问题解决的一种模式,更突出表现了对非数学领域的原始问题的分析、假设、抽象的数学加工的过程,数学工具、方法、模型的选择和使用过程,模型的求解、验证、再分析、修改假设,再求解的迭代过程。从这种意义上说,本题的开放问题情境的设计,促进了学生数学建模能力的提高.
二、设计开放的问题情境,提升生活的体验,激发探究的欲望。
例2的设计
C(原设计):某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高和底面半径,使所用的材料最省?
问题呈现后,学生很快得出了解题思路:
反思:这样的问题呈现方式,已近乎是一个多了几个文字的纯数学问题,模型已不需要选择,思路已不需要探究,解决此题,就是在解决一个典型的纯数学问题:求给定区间上的三次函数的最值。看似学生反应很快,但并没有起到培养学生的建模能力的作用。于是对问题进行了适当的改编:
D(改编):曹甸高中的高二某班的社会实践活动小组的同学,在捡废弃的饮料罐时,无意中发现一个奇怪的现象:大多数饮料罐的高都几乎是底面半径的2倍,大家思索:这种设计是基于什么道理呢?
这样的设计,引起了学生浓厚的兴趣,学生们觉得这个现象就是我们司空见惯的现象,深切体会到数学就在我们身边,但是却从来没有引起自己的重视,这里面究竟有什么学问呢?
于是讨论很热烈,经过探究和讨论,得出了两种不同的想法:
(1)在容积一定的情况下,是否用料最省?
(2)在材料一定的情况下,是否容量最大?
如何验证自己的想法呢?下面学生对这两种想法进行了数学化的验证。
思考1:饮料公司把饮料罐设计成容量为V的圆柱形,如果你是设计师,应该如何设计,才能使用料最省呢?
解:设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积
D设计得到了听课老师和专家的充分肯定。
比较D设计和C设计,不难发现,D设计,给学生展示了一个开放的问题情境,问题的模型选择不是唯一的,激发学生探究的冲动,给学生充分自主研究、尝试的空间,师生互动,生生互动,在思考、争论、合作、探究、尝试修改再尝试中发现方法,建立模型,最终解决问题。重要的不是问题的解决,而是解决问题的过程,让学生在问题解决中体验学习,体验生活,体会数学与生活的密不可分,体验阅读----理解----尝试-----修改----再尝试---再修改---最终确定模型的过程,在解题的过程中获得创造的乐趣和幸福,培养了学习的兴趣。
孔子说过:“知之者莫如好之者.好之者莫如乐之者。”这说明学习体验是教学有效性的灵魂.学生越来越爱学习是教学有效性的内在保证。只有开放的问题设计,才能促进学习活动伴随或生发深刻的心理体验。这是被封闭问题设计所忽视的考量有效性的一个重要因素。
三、设计开放的问题情境,不能过分地背离现实。
设计开放的问题情境,进行数学建模的教学,引导学生形成一种观察的眼光、思考的方法、敏锐的把握力,学以致用,培养举一反三的思维策略,引导学生走出课堂,但落脚点却在数学本身。这种高起点的教学策略,对于我们教师,是一种挑战、也是一种尝试。
但是,反思本堂课的设计,觉得问题情境的设计也有很多值得注意的問题。
首先,开放的问题情境,诱使学生提出解决问题的方案,具有一定的创新性,但是构造的问题不能过分地背离现实。后来我看了很多的饮料罐,他们设计的高与底面半径的比例并不是2:1的关系。
我想:还有一个原因:即饮料罐的底面与壁的单位造价不一样,于是我设计了变式:
在想法(1)中若罐底单位造价为侧壁部分单位造价的2倍,如何设计尺寸,使总造价最低?
这样经过同学们的探究,得出的高与底面半径的比值是4:1.
其次,实际饮料罐的制作,还会有很多客观因素的影响,诸如制作的材料,客户的需求等等。本设计与生活的原形还是有不同的。虽然应用题的情境来源于实际生活,但为了教学的需要,在不违背科学性的前提下,进行适当的加工是有必要的,但要始终保持问题设计的开放度,在问题解决的过程中,让学生体验建模的过程。从有效提高学生分析问题的能力,培养探究合作的态度,从发展数学建模的能力的角度看,本题的设计应该是一种有益的尝试。
总之,要提高应用题的教学的有效性,需要我们教育工作者们不断地努力尝试,为应用题教学提供更多的方式和更灵活的手段,注重设计开放的情境,创造活动的空间,讨论的氛围,体验的机会,让学生多接触一些生动活泼的原创性实际问题,在生活实际与数学课堂之间搭建有效的桥梁,培养学生用数学模型解决问题或决策的习惯,是一种可持续意义上的真正有效的教学。
参 考 文 献
[1]《高效的探究活动需要有效的引导》--《数学教学》2006年第12期周洁
[2]《引领想象,换位思考》--《高中数学教与学》2010年第1期 易丽霞
[3]《数学应用与数学建模辨析》--《中学数学教学参考》2006年第9期赵继源
[4]《课堂教学的有效性》--《数学教学通讯》 范国海■