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科学家们相信，他们可以根据物质世界的形态，用数学的方法清晰地勾勒出世界的过去和未来。19世纪末，这种精确的宇宙观受到了质疑。巴黎索伯大学的数理教授亨利·庞加莱致力于研究简化了的太阳系(仅仅包括太阳、地球和月亮)，他试图解答所谓的“三体问题”。1903年，庞加莱指出，由于受牛顿重力和运动定律的影响，即使如此简单的动力体系也以非常复杂和不可预测的方式在不停地运转。在最初条件下的一个小小的变化会导致巨大的差异成为混沌理论的基础。
1961年，艾德瓦德·洛伦兹偶然发现了计算机大气层模型中出现异常的混乱状态。最初的条件中出现的微小变化，使得长期天气预报变得毫无用处，这种现象被称作“蝶型效应”。20世纪70年代，比纳·曼德尔布罗特将该理论运用到不规则几何学中。经典物理学中行星的椭圆形轨道被看做是吸引子，但是在混沌系统内吸引子的形状是不规则的图形，于是不规则图形同混沌运动建立起了联系。
实际上，大多数真实世界表现出混沌的行为。但这并不是说它是任意的，而是说它潜在的模式比我们事先假设的复杂得多。目前不规则和混沌理论已经成为一个更庞大体系的分支，这个体系包括人工智能、细胞自动装置、遗传规则系统。计算机模拟使人们对大气湍流、股市波动等现象有了更为清晰的认识。混沌系统既是确定的又是不可预测的——只有当我们接近它时，我们才真正了解未来。
气象预报(1920年)
维海姆·弗里曼·卡伦·皮叶克尼斯 雅格布·奥尔·波奈维·皮叶克尼斯
维海姆·弗里曼·卡伦·皮叶克尼斯对天气非常着迷，他相信有一天可以通过数学模型准确地描述它。他认为把当前的天气数据输入模型，就可以预报天气了。但是，当时的皮叶克尼斯面临着巨大的挑战，因为天气受到不断变化的温度、地点等多种因素的影响。
1904年，在综合了流体动力学和热动力学的基础上，他又提出新的理论解决压力变化问题。他依靠数学模型建立起目前仍在使用的数字天气预报规则。然而，他的方程式过于复杂，难以手工运算，后来随着计算技术的进步这一难题才得以解决。
第一次世界大战结束后，他同儿子雅格布·奥尔·波奈维·皮叶克尼斯一起指出，地球中纬度地区气旋的形成是由于冷热气团相互作用的结果。他们借用战场上的术语将气团交界处称作“冷风”和“暖风”。他们也是最早发现大多数天气活动源自这一地带的科学家。该理论被称作“极面理论”，并且成为现代气象预报的基础。
不规则碎片形(1975年)
波努瓦·曼德尔布罗特
1975年，波努瓦·曼德尔布罗特用法语发表了具有重大意义的《自然不规则碎片形几何学》，集大量各类数学上的疑问于一致的框架中，标志着20多年研究的顶点。他用“不规则碎片形”一词，描述通过计算机生成的几何风景的片段性和不规则性。
不规则碎片形的一个重要特点是，它们在可变数值范围内自我相似——结构的一小部分与整体非常相似。如果我们看一下地图上的海岸线，就会发现它看起来弯弯曲曲，起伏很大。如果我们反复将其放大，就能更详细地看清，每一部分放大的图形都保持“弯曲”的特点，构成基本的海岸线几何。在不规则碎片形中，自我相似的形成靠的是一套数学法则或“算法”。我们不用这些法则或算法绘图，而是用其形成数字序列，每一个数字在反馈回算法中产生下一个数字。20世纪的最初10年，法国数学家家斯顿·朱莉娅和皮埃尔·法图就发现了这种看似随意的数字序列。直到曼德尔布罗特研制出计算机绘图程序人们才发现这些序列绝不是随意的，而是包含详细的错综复杂的数字。
不规则碎片形的另一个特点是碎片维数。英国海岸线的长度取决于测量的准确度，从理论上讲，如果我们能够不断放大，总长度就会更靠近极限，接近无穷大，而国土的面积仍在规定限度之内。“弯曲”的水平限定了海岸线的“碎片维数”，应该是大于1而小于2。这一新几何学无处不在。不规则碎片形和自我相似存在于植物的结构、云的构成、股票市场的波动和星系群的分布中。
混沌世界的边缘(1987年)
普·巴克 唐 超 科特·威森费尔德
如果物理学定律简单，为什么世界复杂?约翰·霍顿·康威于1977年发明计算机珍品游戏“生命游戏”，布满网格的正方形依照无声、机械的规则每时每刻都在变换颜色。而出现的却是一个不断变化的令人吃惊的新奇世界。在计算机上操纵这种“网格自动机”游戏，随着屏幕开始闪烁，便会出现繁荣的生态系统。各种颜色永远不会停止变换，“动物们”甚至开始游过屏幕，一举一动好像是活的能呼吸的生命。康威设计的游戏是数学奇迹，说明一个道理——在一个水平面上枯燥无意的规则在另一个水平面上会形成引人入胜、栩栩如生的综合体。这是一个令人吃惊的寓意深刻的经验。
在其后20年，物理学家发现从一堆粮食到地壳、地球的生态系统，甚至金融市场等各种体系的运作方式都非常类似康威游戏。这些体系及许多其他体系往往“自我组织”成大家都熟知的“临界状态”——一种以不停的波动和极度不稳定为典型特点的自然状态。任何处于临界状态的事情总是在濒于突然的根本变化时达到平衡，而且几乎不可能预测其后会发生什么事情。1987年。普·巴克、唐超和科特·威森费尔德首次提出“自我组织的临界状态”概念，为我们的世界多数地方复杂喧嚣的特点提供了全面解释。想想突发森林大火会导致大量生物消亡，从而改变生物进化进程甚至人类历史本身的特点，这可能就像自然法则一样，未来必定会被完全无法预见的突变不断地打断。
1961年，艾德瓦德·洛伦兹偶然发现了计算机大气层模型中出现异常的混乱状态。最初的条件中出现的微小变化，使得长期天气预报变得毫无用处，这种现象被称作“蝶型效应”。20世纪70年代，比纳·曼德尔布罗特将该理论运用到不规则几何学中。经典物理学中行星的椭圆形轨道被看做是吸引子，但是在混沌系统内吸引子的形状是不规则的图形，于是不规则图形同混沌运动建立起了联系。
实际上，大多数真实世界表现出混沌的行为。但这并不是说它是任意的，而是说它潜在的模式比我们事先假设的复杂得多。目前不规则和混沌理论已经成为一个更庞大体系的分支，这个体系包括人工智能、细胞自动装置、遗传规则系统。计算机模拟使人们对大气湍流、股市波动等现象有了更为清晰的认识。混沌系统既是确定的又是不可预测的——只有当我们接近它时，我们才真正了解未来。
气象预报(1920年)
维海姆·弗里曼·卡伦·皮叶克尼斯 雅格布·奥尔·波奈维·皮叶克尼斯
维海姆·弗里曼·卡伦·皮叶克尼斯对天气非常着迷，他相信有一天可以通过数学模型准确地描述它。他认为把当前的天气数据输入模型，就可以预报天气了。但是，当时的皮叶克尼斯面临着巨大的挑战，因为天气受到不断变化的温度、地点等多种因素的影响。
1904年，在综合了流体动力学和热动力学的基础上，他又提出新的理论解决压力变化问题。他依靠数学模型建立起目前仍在使用的数字天气预报规则。然而，他的方程式过于复杂，难以手工运算，后来随着计算技术的进步这一难题才得以解决。
第一次世界大战结束后，他同儿子雅格布·奥尔·波奈维·皮叶克尼斯一起指出，地球中纬度地区气旋的形成是由于冷热气团相互作用的结果。他们借用战场上的术语将气团交界处称作“冷风”和“暖风”。他们也是最早发现大多数天气活动源自这一地带的科学家。该理论被称作“极面理论”，并且成为现代气象预报的基础。
不规则碎片形(1975年)
波努瓦·曼德尔布罗特
1975年，波努瓦·曼德尔布罗特用法语发表了具有重大意义的《自然不规则碎片形几何学》，集大量各类数学上的疑问于一致的框架中，标志着20多年研究的顶点。他用“不规则碎片形”一词，描述通过计算机生成的几何风景的片段性和不规则性。
不规则碎片形的一个重要特点是，它们在可变数值范围内自我相似——结构的一小部分与整体非常相似。如果我们看一下地图上的海岸线，就会发现它看起来弯弯曲曲，起伏很大。如果我们反复将其放大，就能更详细地看清，每一部分放大的图形都保持“弯曲”的特点，构成基本的海岸线几何。在不规则碎片形中，自我相似的形成靠的是一套数学法则或“算法”。我们不用这些法则或算法绘图，而是用其形成数字序列，每一个数字在反馈回算法中产生下一个数字。20世纪的最初10年，法国数学家家斯顿·朱莉娅和皮埃尔·法图就发现了这种看似随意的数字序列。直到曼德尔布罗特研制出计算机绘图程序人们才发现这些序列绝不是随意的，而是包含详细的错综复杂的数字。
不规则碎片形的另一个特点是碎片维数。英国海岸线的长度取决于测量的准确度，从理论上讲，如果我们能够不断放大，总长度就会更靠近极限，接近无穷大，而国土的面积仍在规定限度之内。“弯曲”的水平限定了海岸线的“碎片维数”，应该是大于1而小于2。这一新几何学无处不在。不规则碎片形和自我相似存在于植物的结构、云的构成、股票市场的波动和星系群的分布中。
混沌世界的边缘(1987年)
普·巴克 唐 超 科特·威森费尔德
如果物理学定律简单，为什么世界复杂?约翰·霍顿·康威于1977年发明计算机珍品游戏“生命游戏”，布满网格的正方形依照无声、机械的规则每时每刻都在变换颜色。而出现的却是一个不断变化的令人吃惊的新奇世界。在计算机上操纵这种“网格自动机”游戏，随着屏幕开始闪烁，便会出现繁荣的生态系统。各种颜色永远不会停止变换，“动物们”甚至开始游过屏幕，一举一动好像是活的能呼吸的生命。康威设计的游戏是数学奇迹，说明一个道理——在一个水平面上枯燥无意的规则在另一个水平面上会形成引人入胜、栩栩如生的综合体。这是一个令人吃惊的寓意深刻的经验。
在其后20年，物理学家发现从一堆粮食到地壳、地球的生态系统，甚至金融市场等各种体系的运作方式都非常类似康威游戏。这些体系及许多其他体系往往“自我组织”成大家都熟知的“临界状态”——一种以不停的波动和极度不稳定为典型特点的自然状态。任何处于临界状态的事情总是在濒于突然的根本变化时达到平衡，而且几乎不可能预测其后会发生什么事情。1987年。普·巴克、唐超和科特·威森费尔德首次提出“自我组织的临界状态”概念，为我们的世界多数地方复杂喧嚣的特点提供了全面解释。想想突发森林大火会导致大量生物消亡，从而改变生物进化进程甚至人类历史本身的特点，这可能就像自然法则一样，未来必定会被完全无法预见的突变不断地打断。