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摘要：“数学思想”正式作为《数学课程标准（2011年版）》的基本目标之一，被广大数学教育工作者所关注。但数学课程所蕴含的数学思想有哪些？哪些数学思想更适合在小学阶段学习？在课堂教学上如何向学生渗透数学思想，培养并发展学生的数学思维？这些问题都是教师必须了解、认识与解决的，并且具有一定的研究价值。文章以北师大版五年级上册《分数的再认识》的教学为例，就以上问题进行了逐一阐述。
关键词：小学数学；课堂教学；数学思想；数学思维
一、挖掘数学知识背后的数学思想
数学概念、规律、性质、法则、公式等都比较明显地出现在教材内容或教学用书中，这些都是“有形”的知识；而数学思想则是隐藏在这些知识的背后，它是“无形”的知识，需要教师将其挖掘出来，使其明朗、清晰起来，并能行之有效地渗透到数学课堂教学过程中。这就需要教师在理解课标的基础上，全面、系统地把握教材的编写意图，深刻挖掘隐藏在知识背后的数学思想。
（一）数学思想的分类
顾沛教授在《义务教育数学新课标的理念及案例解读》中明确指出数学的基本思想主要可以有以下这四大类：数学抽象的思想、数学推理的思想、数学模型的思想、数学审美的思想。由这些数学的基本思想演变、派生、发展出来的数学思想还有很多。例如，由“数学抽象的思想”派生出来的：分类的思想、集合的思想、“变中有不变”的思想等等；由“数学推理的思想”派生出来的：归纳的思想、演绎的思想、数形结合的思想等等；由“数学模型的思想”派生出来的：简化的思想、量化的思想、優化的思想等等；由“数学审美的思想”派生出来的：简洁的思想、对称的思想、统一的思想等等。
（二）小学阶段最常见的数学思想
“数学思想”众多，在小学阶段不要求一一渗透。在小学阶段最为常见的数学思想主要有数形结合思想、符号化思想、分类思想、集合思想、对应思想、归纳思想、演绎思想、类比思想、转化与化归思想、模型思想、函数思想、方程思想、代换思想等。其中，“数形结合”的数学思想和“演绎与归纳”的数学思想在小学阶段的数学学习中尤为突出。
“数”和“形”是数学中最基本的两个概念。因为小学生主要以直观的形象思维为主，所以“数形结合思想”特别适合教师在课堂教学中去呈现、去渗透，并使其贯穿于整个小学数学知识体系中。归纳的数学思想就是从个别现象出发，抽象出共性，总结出一般的结论；而演绎的数学思想就是从普遍性的理论知识出发，去认识个别的、特殊的现象。“演绎”与“归纳”这两种数学思想是相互依存，密切联系，不可分离的。教师常在课堂教学当中，利用“归纳”预测数学结果，利用“演绎”验证数学结果。
（三）分析教材，挖掘教学内容中的数学思想
由于教材是按照学生的认知特点和知识发展系统编排的，数学思想则是采用蕴涵的方式融于数学知识体系当中，因此，数学思想的教学是零散、不系统的。这就要求教师在课前要充分考虑学生的认知水平和教学内容在整个知识体系的地位、作用，分析并挖掘教学内容所隐藏的数学思想。
如：分数的认识是“数与代数”中的一个重要内容，而北师大版五年级上册的》《份数的再认识》不是初步认识整体“1”，而是对整体“1”的进一步认识，是让学生在具体的情境中，通过操作活动，体验到“整体不同，相同分数所表示的具体数量也不相同”，进而感知分数与其具体数量之间的对应关系，获得对分数的“整体”与“部分”理解，为进一步学习分数，运用分数知识解决实际问题打基础。而在这整个过程中就隐藏了演绎与归纳的思想、数形结合的思想、代换的思想、分类的思想、符号表示的思想、对应的思想、“变中有不变”的思想、特殊与一般的思想等。
（四）分析学生。选择适合在课堂教学中渗透的数学思想
小学生的思维是以具体形象思维为主要形式，逐步向以抽象逻辑思维为主要形式过渡，但他们的抽象逻辑思维在很大程度上仍是直接与感性经验相联系的，具有很大成份的具体形象性。
《份数的再认识》是北师大版五年级的教学内容，五年级的学生已初步形成了一定的学习态度，随着主体意识的觉醒，自我意识、自我主张、自我控制能力的进一步加强，观察能力、想象能力、动手操作能力、分析理解能力、求知的欲望等也在进一步增强。根据学生的这些认知特点，结合教材编排的具体教学内容，确定在教学《份数的再认识》的过程当中，教师可重点选择“演绎与归纳的思想、数形结合的思想、分类的思想”对学生进行渗透，更好地促进学生数学思维的发展。
二、制定有效的、富有数学思想的教学案
备课是教师的一项最基本又至关重要的工作。在备课时制定详实、有效的教学案为教师在课堂教学过程中的顺利前行提供了有力的保障，而教师希望能在课堂教学中向学生渗透相关的数学思想，有意识地培养并发展学生的数学思维，那就更需要在课前制定好有效的、富有数学思想的教学案了。
下面，笔者以北师大版五年级上册的《分数的再认识》一课为例，谈一些具体的做法。
（一）在教学目标中，体现数学思想
“教学目标”的制定是课堂教学的前提，是实施教学的重要环节之一。一节课的成败取决于教学目标的确定是否全面、准确、具体并符合实际，而在目标中体现数学思想，对于教师是否能在传授知识的过程中对学生进行相关的数学思想的渗透，就起了决定性的作用。因此，上课前笔者查阅相关资料了解教材的地位与作用，分析学情，从而制定了以下教学目标：
1.在具体的情境中，感知“整体”与“部分”的关系，进一步认识分数，发展数感。
2.引导学生经历观察与实验、猜想与推理、概括与抽象等一系列具体的活动过程，掌握知识，训练技能，获得归纳、演绎、数形结合、分类等数学思想的体验，积累一定的数学活动经验。
3.体会数学与生活的联系，感受数学的价值，树立学好数学的信心，培养实事求是的科学态度。
在这个教学目标中，不仅确立了知识技能、数学思考、问题解决、情感态度这四个方面的目标，也明确了本课应向学生渗透的、学生应该感悟的数学思想有哪些，为课堂教学的实施起到了导向性的作用。
（二）在教学过程中，渗透数学思想
教学过程即课堂教学活动的程序，只有重视教学过程，把教学过程设计得具体、科学，学生才能够自主学习，交流探究出一个知识结论。这样，学生在获得知识结论的同时，对数学思想的感悟才准确可靠、丰富多彩、新颖别致，对培养学生的数学思维，提高创新能力具有重要作用。例如，在解决“由部分还原整体”这一知识点时，笔者先出示一个图形的，然后让学生通过小组合作，在白板上摆图形。学生展示作品并解释。最后小结发现：一个图形的四分之一所对应的部分是一块小方块，原来的图形就是四个这样的方块，与它的形状无关。
这一环节的设计是已知部分求整体，进一步加深学生对分数中“整体”与“部分”关系的理解，对学生进行了“逆向思维”训练，渗透了合情推理、数形结合的数学思想，使学生积累了数学活动经验，提高了数学思维能力。
（三）在练习反馈中，突显数学思想
课堂练习是学生反馈、调控教学过程的实践活动，它的目的不仅仅在于帮助学生巩固所学数学知识，提高运用数学知识的能力，更应能在此过程中有效地渗透相关的数学思想，挖掘学生学习的潜力并让其成为激发学生前进的动力。
富有灵魂的数学课堂不仅教给学生知识，而且注重数学思想的渗透，学生只有插上“数学思想”的翅膀，分析、解决问题的综合能力才能大大提高，学到的才是真正的数学，才有可能自由翱翔于“名师指路，不如自学自悟”的理想蓝天里。为此，教师在课堂教学中，既要重视学生对知识获得的过程，也要重视学生数学思维的发展，适当、及时地渗透数学思想，全面提高学生的数学素养。
关键词：小学数学；课堂教学；数学思想；数学思维
一、挖掘数学知识背后的数学思想
数学概念、规律、性质、法则、公式等都比较明显地出现在教材内容或教学用书中，这些都是“有形”的知识；而数学思想则是隐藏在这些知识的背后，它是“无形”的知识，需要教师将其挖掘出来，使其明朗、清晰起来，并能行之有效地渗透到数学课堂教学过程中。这就需要教师在理解课标的基础上，全面、系统地把握教材的编写意图，深刻挖掘隐藏在知识背后的数学思想。
（一）数学思想的分类
顾沛教授在《义务教育数学新课标的理念及案例解读》中明确指出数学的基本思想主要可以有以下这四大类：数学抽象的思想、数学推理的思想、数学模型的思想、数学审美的思想。由这些数学的基本思想演变、派生、发展出来的数学思想还有很多。例如，由“数学抽象的思想”派生出来的：分类的思想、集合的思想、“变中有不变”的思想等等；由“数学推理的思想”派生出来的：归纳的思想、演绎的思想、数形结合的思想等等；由“数学模型的思想”派生出来的：简化的思想、量化的思想、優化的思想等等；由“数学审美的思想”派生出来的：简洁的思想、对称的思想、统一的思想等等。
（二）小学阶段最常见的数学思想
“数学思想”众多，在小学阶段不要求一一渗透。在小学阶段最为常见的数学思想主要有数形结合思想、符号化思想、分类思想、集合思想、对应思想、归纳思想、演绎思想、类比思想、转化与化归思想、模型思想、函数思想、方程思想、代换思想等。其中，“数形结合”的数学思想和“演绎与归纳”的数学思想在小学阶段的数学学习中尤为突出。
“数”和“形”是数学中最基本的两个概念。因为小学生主要以直观的形象思维为主，所以“数形结合思想”特别适合教师在课堂教学中去呈现、去渗透，并使其贯穿于整个小学数学知识体系中。归纳的数学思想就是从个别现象出发，抽象出共性，总结出一般的结论；而演绎的数学思想就是从普遍性的理论知识出发，去认识个别的、特殊的现象。“演绎”与“归纳”这两种数学思想是相互依存，密切联系，不可分离的。教师常在课堂教学当中，利用“归纳”预测数学结果，利用“演绎”验证数学结果。
（三）分析教材，挖掘教学内容中的数学思想
由于教材是按照学生的认知特点和知识发展系统编排的，数学思想则是采用蕴涵的方式融于数学知识体系当中，因此，数学思想的教学是零散、不系统的。这就要求教师在课前要充分考虑学生的认知水平和教学内容在整个知识体系的地位、作用，分析并挖掘教学内容所隐藏的数学思想。
如：分数的认识是“数与代数”中的一个重要内容，而北师大版五年级上册的》《份数的再认识》不是初步认识整体“1”，而是对整体“1”的进一步认识，是让学生在具体的情境中，通过操作活动，体验到“整体不同，相同分数所表示的具体数量也不相同”，进而感知分数与其具体数量之间的对应关系，获得对分数的“整体”与“部分”理解，为进一步学习分数，运用分数知识解决实际问题打基础。而在这整个过程中就隐藏了演绎与归纳的思想、数形结合的思想、代换的思想、分类的思想、符号表示的思想、对应的思想、“变中有不变”的思想、特殊与一般的思想等。
（四）分析学生。选择适合在课堂教学中渗透的数学思想
小学生的思维是以具体形象思维为主要形式，逐步向以抽象逻辑思维为主要形式过渡，但他们的抽象逻辑思维在很大程度上仍是直接与感性经验相联系的，具有很大成份的具体形象性。
《份数的再认识》是北师大版五年级的教学内容，五年级的学生已初步形成了一定的学习态度，随着主体意识的觉醒，自我意识、自我主张、自我控制能力的进一步加强，观察能力、想象能力、动手操作能力、分析理解能力、求知的欲望等也在进一步增强。根据学生的这些认知特点，结合教材编排的具体教学内容，确定在教学《份数的再认识》的过程当中，教师可重点选择“演绎与归纳的思想、数形结合的思想、分类的思想”对学生进行渗透，更好地促进学生数学思维的发展。
二、制定有效的、富有数学思想的教学案
备课是教师的一项最基本又至关重要的工作。在备课时制定详实、有效的教学案为教师在课堂教学过程中的顺利前行提供了有力的保障，而教师希望能在课堂教学中向学生渗透相关的数学思想，有意识地培养并发展学生的数学思维，那就更需要在课前制定好有效的、富有数学思想的教学案了。
下面，笔者以北师大版五年级上册的《分数的再认识》一课为例，谈一些具体的做法。
（一）在教学目标中，体现数学思想
“教学目标”的制定是课堂教学的前提，是实施教学的重要环节之一。一节课的成败取决于教学目标的确定是否全面、准确、具体并符合实际，而在目标中体现数学思想，对于教师是否能在传授知识的过程中对学生进行相关的数学思想的渗透，就起了决定性的作用。因此，上课前笔者查阅相关资料了解教材的地位与作用，分析学情，从而制定了以下教学目标：
1.在具体的情境中，感知“整体”与“部分”的关系，进一步认识分数，发展数感。
2.引导学生经历观察与实验、猜想与推理、概括与抽象等一系列具体的活动过程，掌握知识，训练技能，获得归纳、演绎、数形结合、分类等数学思想的体验，积累一定的数学活动经验。
3.体会数学与生活的联系，感受数学的价值，树立学好数学的信心，培养实事求是的科学态度。
在这个教学目标中，不仅确立了知识技能、数学思考、问题解决、情感态度这四个方面的目标，也明确了本课应向学生渗透的、学生应该感悟的数学思想有哪些，为课堂教学的实施起到了导向性的作用。
（二）在教学过程中，渗透数学思想
教学过程即课堂教学活动的程序，只有重视教学过程，把教学过程设计得具体、科学，学生才能够自主学习，交流探究出一个知识结论。这样，学生在获得知识结论的同时，对数学思想的感悟才准确可靠、丰富多彩、新颖别致，对培养学生的数学思维，提高创新能力具有重要作用。例如，在解决“由部分还原整体”这一知识点时，笔者先出示一个图形的，然后让学生通过小组合作，在白板上摆图形。学生展示作品并解释。最后小结发现：一个图形的四分之一所对应的部分是一块小方块，原来的图形就是四个这样的方块，与它的形状无关。
这一环节的设计是已知部分求整体，进一步加深学生对分数中“整体”与“部分”关系的理解，对学生进行了“逆向思维”训练，渗透了合情推理、数形结合的数学思想，使学生积累了数学活动经验，提高了数学思维能力。
（三）在练习反馈中，突显数学思想
课堂练习是学生反馈、调控教学过程的实践活动，它的目的不仅仅在于帮助学生巩固所学数学知识，提高运用数学知识的能力，更应能在此过程中有效地渗透相关的数学思想，挖掘学生学习的潜力并让其成为激发学生前进的动力。
富有灵魂的数学课堂不仅教给学生知识，而且注重数学思想的渗透，学生只有插上“数学思想”的翅膀，分析、解决问题的综合能力才能大大提高，学到的才是真正的数学，才有可能自由翱翔于“名师指路，不如自学自悟”的理想蓝天里。为此，教师在课堂教学中，既要重视学生对知识获得的过程，也要重视学生数学思维的发展，适当、及时地渗透数学思想，全面提高学生的数学素养。