论文部分内容阅读
在数学中,常常要根据研究对象的性质差异,分别对各种不同的情况予以分析,这种分类的方法就是分类讨论法.由于分类讨论题覆盖知识点较多、方式多样,具有较高的逻辑性和综合性,利于考查学生的知识面、分类思想和技巧.因此,在近几年的中考命题中经常用到这种数学思想方法.
用分类讨论思想解题时首先要明确研究的对象,然后进行合理分类,做到“确定对象的全体,明确分类的标准,分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”
一、与数学概念、定义有关的分类讨论题
例1 (2008年河南省)若 ab≠0,则|a|a+|b|b的取值不可能是( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) -2
分析:因为 ab≠0,
所以 ab>0或 ab<0.
若 ab>0,则可能出现两种情况:
a>0,b>0或者 a<0,b<0;
若 ab<0,则又可能出现两件情况:
a>0,b<0或者 a<0,b>0.
解:(1)若 ab>0,
①当 a>0,b>0时,
|a|a+|b|b=1+1=2;
②当 a<0,b<0时,
|a|a+|b|b=(-1)+(-1)=-2;
(2)若 ab<0,
①当a>0,b<0时,
|a|a+|b|b=1+(-1)=0;
②当 a<0,b>0时,
|a|a+|b|b=(-1)+1=0.
所以可能出现的结果有0,2,-2.故选(B).
评注:这是一道比较基础却很典型的绝对值分类讨论题,问题中求|a|a+|b|b的值不可能的数,实际上是求|a|a+|b|b的值后,运用排除法再求到|a|a+|b|b不可能的值.而要求|a|a+|b|b的值关键是要分类讨论去掉绝对值,按照绝对值的定义这个标准分类,做到不重不漏才能准确解决这类问题.
例2 (2008年湖北省)两圆半径分别为2和5,若两圆相切,则圆心距为.
分析:两圆相切可有内切和外切两种情况.所以本题要求两圆相切时的圆心距,就是分类讨论两圆内切和两圆外切时求圆心距.
解:(1)当两圆内切时,圆心距为5-2=3;
(2)当两圆外切时,圆心距为7;
所以应填3或7.
评注:本题考查两圆相切的概念:两圆相切包括内切和外切,所以分两种情况讨论,不理解概念很容易造成漏解.
二、涉及数学定理、公式适用范围的分类讨论题
例3 (2008年湖南省)当 m 是什么整数时,关于 x 的一元二次方程 mx2-4x+4=0与 x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数.
分析:本题要求两个一元二次方程的根都是整数,首先应根据一元二次方程的定义,二次项系数不为零(这也是学生解决诸如此类问题中最易忽略的错误,应引起重视);其次是有根,则 b2-4ac≥0;通过以上两点就可确定 m 的取值范围.最后再由 m 是整数,在 m 的范围内找出 m 的值,并验证两个一元二次方程的根都是整数.
解:由于给出的关于 x 的方程是一元二次方程,所以二次项系数不为零,即 m≠0.
又由于方程均有实根,由方程 mx2-4x+4=0,得 b2-4ac=(-4)2-4m×4≥0,
解得 m≤1.
由方程 x2-4mx+4m2-4m-5=0,得
b2-4ac=(-4m)2-4×1×(4m2-4m-5)≥0,
解得 m≥-54.
所以-54≤m≤1,且 m≠0.
又因为 m 是整数,所以 m=-1或1.
当 m=-1时,方程 mx2-4x+4=0可化为 x2+4x-4=0,解这个方程可得,x=-2±22,
所以方程 mx2-4x+4=0的根不是整数,故 m=-1舍去.
当 m=1时,方程 mx2-4x+4=0可化为 x2-4x+4=0,
解这个方程可得,x1=x2=2;
方程 x2-4mx+4m2-4m-5=0可化为 x2-4x-5=0,
解这个方程可得,x1=5,x2=-1.
所以由以上讨论知,m=1时,一元二次方程 mx2-4x+4=0与 x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数.
评注:本题虽然是一道分类讨论题,但问题中还涉及到求不等式(组)的取值范围,尤其是对一元二次方程二次项系数的考查,更是抓住了学生的易错点.在中考的复习过程中,有意识地训练这类问题,不仅能培养学生分类讨论的思想,更重要的是,它能培养学生细心、耐心的品质,养成全面分析问题和解决问题的能力.
三、依据题意需要进行讨论的分类讨论题
例4 (2008年四川省)已知关于 x 的函数 y=(a2+3a+2)x2+(a+1)x+14的图象与x轴总有交点.求 a 的取值范围.
分析:函数图象与 x 轴总有交点,就是当 y=0时方程总有实根,由于题中未明确指出是一次函数还是二次函数,因此应分两种情况讨论.
解:①当 a2+3a+2=0时,a=-1或 a=-2,
当 a=-1时,则函数可化为 y=14,与 x 轴无交点,故舍去;
当 a=-2时,则函数可化为 y=-x+14,与 x 轴有一个交点.
②当 a2+3a+2≠0(即 a≠-1且 a≠-2)时,
函数 y=(a2+3a+2)x2+(a+1)x+14为二次函数.
若该函数的图象与 x 轴总有交点,则 b2-4ac≥0,
所以(a+1)2-4(a2+3a+2)×14≥0,解这个不等式,可得 x≤-1.
因为 a≠-1且 a≠-2,
所以当 a<-1且 a≠-2时,该二次函数的图象与 x 轴有两个交点.
综合①、②可知,当 a<-1时,此函数的图象与 x 轴总有交点.
评注:本题之所以要分类讨论是因为问题中并没有说明关于 x 的函数 y=(a2+3a+2)x2+(a+1)x+14是一次函数还是二次函数,所以要分一次函数和二次函数两种情况来讨论.
例5 (2008年云南省)直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于.
分析:由于题目中“直角三角形的两条边长分别为6和8”,没有指明这两条边是直角边还是斜边,故要分6和8是直角边、斜边来讨论.由于6<8,所以6为斜边不成立,故分6、8是直角三角形的两条直角边和6是这个三角形的直角边,8是斜边两种情况来讨论.
解:①当6、8是直角三角形的两条直角边时,斜边长为10,
此时这个三角形的外接圆半径等于12×10=5;
②当6是这个三角形的直角边,8是斜边时,
此时这个三角形的外接圆半径等于12×8=4.
综合①、②知,这个三角形的外接圆半径等于5或4.
评注:这是一道比较基础却很典型的分类讨论题,关键是要注意题设中的“两条边长”.
例6 (2008年黑龙江省)在△ABC中,∠B=25°,AD是BC边上的高,并且AD2=BD•DC,则∠BCA的度数为.
分析:由于问题中“AD是BC边上的高”没有说明点D是在边BC上,还是在边BC的延长线上,故要分点D在边BC上和边BC的延长线上两种情况来讨论.
解:①如图1,当点D在边BC上时,
因为AD是BC边上的高,并且AD2=BD•DC,
所以ADBD=DCAD,
∠ADC=∠ADB=90°,
所以△ADC∽△BDA,
所以∠CAD=∠B=25°,
所以∠BCA=90°-∠CAD=90°-25°=65°;
②如图2,当点D在BC的延长线上时,
因为AD是BC边上的高,并且AD2=BD•DC,
所以ADBD=DCAD,
∠ADC=∠ADB=90°,
所以△ADC∽△BDA,
所以∠CAD=∠B=25°,
∠BCA=∠D+∠CAD=90°+25°=115°.
所以由①、②可知,∠BCA的度数为65°或115°.
评注:这是一道非常容易出错的题目,很多同学由于看惯了图1所示的图形而漏解.
从以上三题可以看出:一些难度并不很大的题目频频出现错误,很多时候就是由于缺乏分类思想才导致的,这就要求学生在中考复习中注重研究性学习与探究能力的培养,通过观察、猜想、验证、推理等数学活动,形成自己对数学知识尤其是数学方法的理解,才能对这类问题迎刃而解.
四、涉及几何元素位置变化的分类讨论题
例7 (2008年山东省)如图3,已知Rt△ABC中,∠CAB=30°,BC=5.过点A作AE⊥AB,且AE=15,连接BE交AC于点P.
(1)求PA的长;
(2)以点A为圆心,AP为半径作⊙A,试判断BE与⊙A是否相切,并说明理由;
(3)如图4,过点C作CD⊥AE,垂足为D.以点A为圆心,r 为半径作⊙A;以点C为圆心,R为半径作⊙C.若 r 和R的大小是可变化的,并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切,且使D点在⊙A的内部,B点在⊙A的外部,求 r 和R的变化范围.
分析:(1)由于∠CAB=30°,BC=5,故在Rt△ABC中,可求出AC的长为10,借助AE∥BC,可求出AP与PC的比值,从而可求出PA的长;
(2)由于点P在⊙A,故要判断BE与⊙A是否相切,就是要说明AP是否与BE垂直,当AP⊥BE时,BE与⊙A是否相切;
(3)由于D点在⊙A的内部,B点在⊙A的外部,故可求 r 的变化范围为5<r<53.考虑到在变化过程中保持⊙A和⊙C相切,圆心距AC=r+R=10,故分内切和外切两种情况来求R的变化范围.
解:(1)因为在Rt△ABC中,
∠CAB=30°,BC=5,
所以AC=2BC=10.
因为AE∥BC,所以△APE∽△CPB.
所以PA∶PC=AE∶BC=3∶1.
所以PA∶AC=3∶4,PA=3×104=152.
(2)BE与⊙A相切.
因为在Rt△ABE中,AB=53,AE=15,
所以 tan∠ABE=AEAB=1553=3,
所以∠ABE=60°.
又因为∠PAB=30°,
所以∠ABE+∠PAB=90°,
所以∠APB=90°,所以BE与⊙A相切.
(3)因为AD=5,AB=53,所以 r 的变化范围为5<r<53.
当⊙A与⊙C外切时,R+r=10,所以R的变化范围为10-53<R<5;
当⊙A与⊙C内切时,R-r=10,所以R的变化范围为15 评注:问题的第(3)小题涉及圆的位置关系分类讨论,须分内切和外切两种情况加以讨论,这就要求学生在解这类问题时一定要注意认真读题、审题,本题中“相切”两字是正确解题的关键词.
例8 (2008年浙江省)如图5,平面直角坐标系中,直线AB与 x 轴,y 轴分别交于A(3,0),B(0,3)两点,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥x 轴于点D.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若S梯形OBCD=433,求点C的坐标;
(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)、(2)略;(3)本题主要考察学生的分类讨论能力.由于△OBA为直角三角形,若△POB与△OBA相似,则△POB一定是直角三角形.因为问题中没有明确说明△POB的三个顶点P、O、B哪个是直角顶点,所以要分P、O、B分别是直角顶点来进行讨论,而△POB与△OBA相似的直角对应边也可改变,因此,还要分△POB与△OBA的直角边之间的相互对应进行第二次讨论.
解:(1)直线AB解析式为:
y=-33x+3.
(2)因为S△AOB=12OA×OB=332,
S梯形OBCD=433.
所以S△ACD=36.
由OA=3OB,得∠BAO=30°,AD=3CD.
所以S△ACD=12CD×AD=32CD2=36.
可得CD=33.
所以AD=1,OD=2.所以C(2,33).
(3)当∠OBP为直角时(如图6),
①若△BOP∽△OBA,则
∠BOP=∠BAO=30°,BP=3OB=3,
所以P1(3,33).
②若△BPO∽△OBA,则
∠BPO=∠BAO=30°,OP=33OB=1.
所以P2(1,3).
当∠OPB直角时,
③如图7,过点P作OP⊥BC于点P,此时△PBO∽△OBA,∠BOP=∠BAO=30°
过点P作PM⊥OA于点M.
在Rt△PBO中,
BP=12OB=32,
OP=3BP=32.
因为在Rt△PMO中,∠OPM=30°,
所以OM=12OP=34;
PM=3OM=334.
所以P3(34,334).
④如图8,若△POB∽△OBA,则
∠OBP=∠BAO=30°,∠POM=30°.
所以PM=33OM=34.
所以P4(34,34)(注:由对称性也可得到点P4的坐标).
当∠POB为直角时,点P在 x 轴上,不符合要求.
综合以上可得,符合条件的点有四个,分别是:
P1(3,33),P2(1,3),P3(34,334),P4(34,34).
评注:本题作为中考的压轴题是一道极具典型意义的试题,表面上来看很简单,就是根据边和角的对应关系分类讨论,但仔细推敲就会发现,本题实际上有一定的难度,问题中蕴含着(二次)分类的智慧,分类的情况比较复杂.解这类问题时,要求学生要多读试题,首先确定分类的方向,理好解题思路,寻求变化的规律,然后再层层递进,一环扣一环,探究出符合问题要求的全部解.这类问题较好地考查了学生分析问题、应用数学模型解决问题的能力,充分体现出分类讨论思想在解决数学上问题的优越性.
(初三)
用分类讨论思想解题时首先要明确研究的对象,然后进行合理分类,做到“确定对象的全体,明确分类的标准,分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”
一、与数学概念、定义有关的分类讨论题
例1 (2008年河南省)若 ab≠0,则|a|a+|b|b的取值不可能是( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) -2
分析:因为 ab≠0,
所以 ab>0或 ab<0.
若 ab>0,则可能出现两种情况:
a>0,b>0或者 a<0,b<0;
若 ab<0,则又可能出现两件情况:
a>0,b<0或者 a<0,b>0.
解:(1)若 ab>0,
①当 a>0,b>0时,
|a|a+|b|b=1+1=2;
②当 a<0,b<0时,
|a|a+|b|b=(-1)+(-1)=-2;
(2)若 ab<0,
①当a>0,b<0时,
|a|a+|b|b=1+(-1)=0;
②当 a<0,b>0时,
|a|a+|b|b=(-1)+1=0.
所以可能出现的结果有0,2,-2.故选(B).
评注:这是一道比较基础却很典型的绝对值分类讨论题,问题中求|a|a+|b|b的值不可能的数,实际上是求|a|a+|b|b的值后,运用排除法再求到|a|a+|b|b不可能的值.而要求|a|a+|b|b的值关键是要分类讨论去掉绝对值,按照绝对值的定义这个标准分类,做到不重不漏才能准确解决这类问题.
例2 (2008年湖北省)两圆半径分别为2和5,若两圆相切,则圆心距为.
分析:两圆相切可有内切和外切两种情况.所以本题要求两圆相切时的圆心距,就是分类讨论两圆内切和两圆外切时求圆心距.
解:(1)当两圆内切时,圆心距为5-2=3;
(2)当两圆外切时,圆心距为7;
所以应填3或7.
评注:本题考查两圆相切的概念:两圆相切包括内切和外切,所以分两种情况讨论,不理解概念很容易造成漏解.
二、涉及数学定理、公式适用范围的分类讨论题
例3 (2008年湖南省)当 m 是什么整数时,关于 x 的一元二次方程 mx2-4x+4=0与 x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数.
分析:本题要求两个一元二次方程的根都是整数,首先应根据一元二次方程的定义,二次项系数不为零(这也是学生解决诸如此类问题中最易忽略的错误,应引起重视);其次是有根,则 b2-4ac≥0;通过以上两点就可确定 m 的取值范围.最后再由 m 是整数,在 m 的范围内找出 m 的值,并验证两个一元二次方程的根都是整数.
解:由于给出的关于 x 的方程是一元二次方程,所以二次项系数不为零,即 m≠0.
又由于方程均有实根,由方程 mx2-4x+4=0,得 b2-4ac=(-4)2-4m×4≥0,
解得 m≤1.
由方程 x2-4mx+4m2-4m-5=0,得
b2-4ac=(-4m)2-4×1×(4m2-4m-5)≥0,
解得 m≥-54.
所以-54≤m≤1,且 m≠0.
又因为 m 是整数,所以 m=-1或1.
当 m=-1时,方程 mx2-4x+4=0可化为 x2+4x-4=0,解这个方程可得,x=-2±22,
所以方程 mx2-4x+4=0的根不是整数,故 m=-1舍去.
当 m=1时,方程 mx2-4x+4=0可化为 x2-4x+4=0,
解这个方程可得,x1=x2=2;
方程 x2-4mx+4m2-4m-5=0可化为 x2-4x-5=0,
解这个方程可得,x1=5,x2=-1.
所以由以上讨论知,m=1时,一元二次方程 mx2-4x+4=0与 x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数.
评注:本题虽然是一道分类讨论题,但问题中还涉及到求不等式(组)的取值范围,尤其是对一元二次方程二次项系数的考查,更是抓住了学生的易错点.在中考的复习过程中,有意识地训练这类问题,不仅能培养学生分类讨论的思想,更重要的是,它能培养学生细心、耐心的品质,养成全面分析问题和解决问题的能力.
三、依据题意需要进行讨论的分类讨论题
例4 (2008年四川省)已知关于 x 的函数 y=(a2+3a+2)x2+(a+1)x+14的图象与x轴总有交点.求 a 的取值范围.
分析:函数图象与 x 轴总有交点,就是当 y=0时方程总有实根,由于题中未明确指出是一次函数还是二次函数,因此应分两种情况讨论.
解:①当 a2+3a+2=0时,a=-1或 a=-2,
当 a=-1时,则函数可化为 y=14,与 x 轴无交点,故舍去;
当 a=-2时,则函数可化为 y=-x+14,与 x 轴有一个交点.
②当 a2+3a+2≠0(即 a≠-1且 a≠-2)时,
函数 y=(a2+3a+2)x2+(a+1)x+14为二次函数.
若该函数的图象与 x 轴总有交点,则 b2-4ac≥0,
所以(a+1)2-4(a2+3a+2)×14≥0,解这个不等式,可得 x≤-1.
因为 a≠-1且 a≠-2,
所以当 a<-1且 a≠-2时,该二次函数的图象与 x 轴有两个交点.
综合①、②可知,当 a<-1时,此函数的图象与 x 轴总有交点.
评注:本题之所以要分类讨论是因为问题中并没有说明关于 x 的函数 y=(a2+3a+2)x2+(a+1)x+14是一次函数还是二次函数,所以要分一次函数和二次函数两种情况来讨论.
例5 (2008年云南省)直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于.
分析:由于题目中“直角三角形的两条边长分别为6和8”,没有指明这两条边是直角边还是斜边,故要分6和8是直角边、斜边来讨论.由于6<8,所以6为斜边不成立,故分6、8是直角三角形的两条直角边和6是这个三角形的直角边,8是斜边两种情况来讨论.
解:①当6、8是直角三角形的两条直角边时,斜边长为10,
此时这个三角形的外接圆半径等于12×10=5;
②当6是这个三角形的直角边,8是斜边时,
此时这个三角形的外接圆半径等于12×8=4.
综合①、②知,这个三角形的外接圆半径等于5或4.
评注:这是一道比较基础却很典型的分类讨论题,关键是要注意题设中的“两条边长”.
例6 (2008年黑龙江省)在△ABC中,∠B=25°,AD是BC边上的高,并且AD2=BD•DC,则∠BCA的度数为.
分析:由于问题中“AD是BC边上的高”没有说明点D是在边BC上,还是在边BC的延长线上,故要分点D在边BC上和边BC的延长线上两种情况来讨论.
解:①如图1,当点D在边BC上时,
因为AD是BC边上的高,并且AD2=BD•DC,
所以ADBD=DCAD,
∠ADC=∠ADB=90°,
所以△ADC∽△BDA,
所以∠CAD=∠B=25°,
所以∠BCA=90°-∠CAD=90°-25°=65°;
②如图2,当点D在BC的延长线上时,
因为AD是BC边上的高,并且AD2=BD•DC,
所以ADBD=DCAD,
∠ADC=∠ADB=90°,
所以△ADC∽△BDA,
所以∠CAD=∠B=25°,
∠BCA=∠D+∠CAD=90°+25°=115°.
所以由①、②可知,∠BCA的度数为65°或115°.
评注:这是一道非常容易出错的题目,很多同学由于看惯了图1所示的图形而漏解.
从以上三题可以看出:一些难度并不很大的题目频频出现错误,很多时候就是由于缺乏分类思想才导致的,这就要求学生在中考复习中注重研究性学习与探究能力的培养,通过观察、猜想、验证、推理等数学活动,形成自己对数学知识尤其是数学方法的理解,才能对这类问题迎刃而解.
四、涉及几何元素位置变化的分类讨论题
例7 (2008年山东省)如图3,已知Rt△ABC中,∠CAB=30°,BC=5.过点A作AE⊥AB,且AE=15,连接BE交AC于点P.
(1)求PA的长;
(2)以点A为圆心,AP为半径作⊙A,试判断BE与⊙A是否相切,并说明理由;
(3)如图4,过点C作CD⊥AE,垂足为D.以点A为圆心,r 为半径作⊙A;以点C为圆心,R为半径作⊙C.若 r 和R的大小是可变化的,并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切,且使D点在⊙A的内部,B点在⊙A的外部,求 r 和R的变化范围.
分析:(1)由于∠CAB=30°,BC=5,故在Rt△ABC中,可求出AC的长为10,借助AE∥BC,可求出AP与PC的比值,从而可求出PA的长;
(2)由于点P在⊙A,故要判断BE与⊙A是否相切,就是要说明AP是否与BE垂直,当AP⊥BE时,BE与⊙A是否相切;
(3)由于D点在⊙A的内部,B点在⊙A的外部,故可求 r 的变化范围为5<r<53.考虑到在变化过程中保持⊙A和⊙C相切,圆心距AC=r+R=10,故分内切和外切两种情况来求R的变化范围.
解:(1)因为在Rt△ABC中,
∠CAB=30°,BC=5,
所以AC=2BC=10.
因为AE∥BC,所以△APE∽△CPB.
所以PA∶PC=AE∶BC=3∶1.
所以PA∶AC=3∶4,PA=3×104=152.
(2)BE与⊙A相切.
因为在Rt△ABE中,AB=53,AE=15,
所以 tan∠ABE=AEAB=1553=3,
所以∠ABE=60°.
又因为∠PAB=30°,
所以∠ABE+∠PAB=90°,
所以∠APB=90°,所以BE与⊙A相切.
(3)因为AD=5,AB=53,所以 r 的变化范围为5<r<53.
当⊙A与⊙C外切时,R+r=10,所以R的变化范围为10-53<R<5;
当⊙A与⊙C内切时,R-r=10,所以R的变化范围为15
例8 (2008年浙江省)如图5,平面直角坐标系中,直线AB与 x 轴,y 轴分别交于A(3,0),B(0,3)两点,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥x 轴于点D.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若S梯形OBCD=433,求点C的坐标;
(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)、(2)略;(3)本题主要考察学生的分类讨论能力.由于△OBA为直角三角形,若△POB与△OBA相似,则△POB一定是直角三角形.因为问题中没有明确说明△POB的三个顶点P、O、B哪个是直角顶点,所以要分P、O、B分别是直角顶点来进行讨论,而△POB与△OBA相似的直角对应边也可改变,因此,还要分△POB与△OBA的直角边之间的相互对应进行第二次讨论.
解:(1)直线AB解析式为:
y=-33x+3.
(2)因为S△AOB=12OA×OB=332,
S梯形OBCD=433.
所以S△ACD=36.
由OA=3OB,得∠BAO=30°,AD=3CD.
所以S△ACD=12CD×AD=32CD2=36.
可得CD=33.
所以AD=1,OD=2.所以C(2,33).
(3)当∠OBP为直角时(如图6),
①若△BOP∽△OBA,则
∠BOP=∠BAO=30°,BP=3OB=3,
所以P1(3,33).
②若△BPO∽△OBA,则
∠BPO=∠BAO=30°,OP=33OB=1.
所以P2(1,3).
当∠OPB直角时,
③如图7,过点P作OP⊥BC于点P,此时△PBO∽△OBA,∠BOP=∠BAO=30°
过点P作PM⊥OA于点M.
在Rt△PBO中,
BP=12OB=32,
OP=3BP=32.
因为在Rt△PMO中,∠OPM=30°,
所以OM=12OP=34;
PM=3OM=334.
所以P3(34,334).
④如图8,若△POB∽△OBA,则
∠OBP=∠BAO=30°,∠POM=30°.
所以PM=33OM=34.
所以P4(34,34)(注:由对称性也可得到点P4的坐标).
当∠POB为直角时,点P在 x 轴上,不符合要求.
综合以上可得,符合条件的点有四个,分别是:
P1(3,33),P2(1,3),P3(34,334),P4(34,34).
评注:本题作为中考的压轴题是一道极具典型意义的试题,表面上来看很简单,就是根据边和角的对应关系分类讨论,但仔细推敲就会发现,本题实际上有一定的难度,问题中蕴含着(二次)分类的智慧,分类的情况比较复杂.解这类问题时,要求学生要多读试题,首先确定分类的方向,理好解题思路,寻求变化的规律,然后再层层递进,一环扣一环,探究出符合问题要求的全部解.这类问题较好地考查了学生分析问题、应用数学模型解决问题的能力,充分体现出分类讨论思想在解决数学上问题的优越性.
(初三)