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摘 要:本文主要通过列举一些中考试题来说明数学思想在中考中的应用。
关键词:例谈数学思想应用
中图分类号:G623 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)05(c)-0109-01
数学思想是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓,是数学知识、数学技能、数学方法的本质体现,是形成数学能力、数学意识的桥梁,是灵活运用数学知识、技能、方法的灵魂。近几年来各地的数学中考命题越来越注重对数学思想的考查,特别是对运用数学思想分析、解决问题的能力的考查。就初中数学而言,在新课程背景下常用的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等。
1 函数与方程思想
函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型,然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。
例1:(广州市)二次函数与轴的交点个数是()
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:当＝0时,＝0
∵＝＝0
∴一元二次方程＝0有两个相等的实数根
根据二次函数与一元二次方程的转化关系,得二次函数与轴只有一个交点,选B。
2 转化与化归思想
转化与化归就是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。数学的解题过程,就是从未知向已知、从复杂到简单的转化与化归转换过程。
例2:(嘉峪关)如图1,反比例函数y=－与一次函数y=－x+2的图象交于A、B两点。
(1)求A、B两点的坐标;(2)求△AOB的面积。
解:(1)解方程组得;
所以A、B两点的坐标分别为A(－2,4)B(4,－2)。(2)因为直线y=－x+2与y轴交点D坐标是(0,2),
所以
所以
3 分类讨论思想
在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法。分类讨论体现了化整为零、积零为整的思想。
例3：(上海市)直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于?
解:（1）当6、8是直角三角形的两条直角边时,斜边长为10,此时这个三角形的外接圆半径等于×10=5;（2）当6是这个三角形的直角边,8是斜边时,此时这个三角形的外接圆半径等于×8=4。
4 数形结合思想
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决。
4.1 从“形”到“数”
例4：(宿迁)小明从家骑车上学,先上坡到达A地后再下坡到达学校,所用的时间与路程如图2所示。如果返回时,上、下坡速度仍然保持不变,那么他从学校回到家需要的时间是()
A．8.6分钟 B．9分钟 C．12分钟 D．16分钟
解析:本题以图象的形式反映了“小明从家骑车上学”途中,所用的时间与路程间的关系,根据图象知,前5分钟,所走的路程是1千米,速度为0.2千米/分;后4分钟,所走的路程是2千米,速度为0.5千米/分,因此,我们也知道了小明去学校途中是先上坡1千米、后下坡2千米。由此可知,他从学校回到家时是先上坡2千米、后下坡1千米,根据去时上下坡速度,可得他从学校回到家需要的时间是2÷0.2＋1÷0.5＝10＋2＝12分,故答案为C。
4.2 从“数”到“形”
例5:(长沙)某游泳池分为深水区和浅水区,每次消毒后要重新将水注满泳池,假定进水管的水速是均匀的,那么泳池内水的高度随时间变化的图象是()如图3。
解析:本题以同学们熟悉的游泳池中消毒换水为背景,确定符合题意的“泳池内水的高度随时间变化的图象”。解题的关键是同学们对游泳池有深水区和浅水区之分的了解,还有注水时,水先注满深水区,再注浅水区,浅水区的面积比深水区的面积大,因此同样速度注水的话,到浅水区高度增加的速度变慢,反映在图象上到浅水区后,图象远离纵轴。因此,符合题意的图象是B。
近年来对数学思想方法的考查常常会出现几种思想方法的综合运用,不是单纯的考一种数学思想方法,而考查几种思想方法的综合运用其最典型的是压轴题。因此,在今后的数学教育教学中,数学思想方法:如化归思想、方程与函数思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想的教学要重视要加强,而不是削弱。
关键词:例谈数学思想应用
中图分类号:G623 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)05(c)-0109-01
数学思想是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓,是数学知识、数学技能、数学方法的本质体现,是形成数学能力、数学意识的桥梁,是灵活运用数学知识、技能、方法的灵魂。近几年来各地的数学中考命题越来越注重对数学思想的考查,特别是对运用数学思想分析、解决问题的能力的考查。就初中数学而言,在新课程背景下常用的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等。
1 函数与方程思想
函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型,然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。
例1:(广州市)二次函数与轴的交点个数是()
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:当＝0时,＝0
∵＝＝0
∴一元二次方程＝0有两个相等的实数根
根据二次函数与一元二次方程的转化关系,得二次函数与轴只有一个交点,选B。
2 转化与化归思想
转化与化归就是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。数学的解题过程,就是从未知向已知、从复杂到简单的转化与化归转换过程。
例2:(嘉峪关)如图1,反比例函数y=－与一次函数y=－x+2的图象交于A、B两点。
(1)求A、B两点的坐标;(2)求△AOB的面积。
解:(1)解方程组得;
所以A、B两点的坐标分别为A(－2,4)B(4,－2)。(2)因为直线y=－x+2与y轴交点D坐标是(0,2),
所以
所以
3 分类讨论思想
在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法。分类讨论体现了化整为零、积零为整的思想。
例3：(上海市)直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于?
解:（1）当6、8是直角三角形的两条直角边时,斜边长为10,此时这个三角形的外接圆半径等于×10=5;（2）当6是这个三角形的直角边,8是斜边时,此时这个三角形的外接圆半径等于×8=4。
4 数形结合思想
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决。
4.1 从“形”到“数”
例4：(宿迁)小明从家骑车上学,先上坡到达A地后再下坡到达学校,所用的时间与路程如图2所示。如果返回时,上、下坡速度仍然保持不变,那么他从学校回到家需要的时间是()
A．8.6分钟 B．9分钟 C．12分钟 D．16分钟
解析:本题以图象的形式反映了“小明从家骑车上学”途中,所用的时间与路程间的关系,根据图象知,前5分钟,所走的路程是1千米,速度为0.2千米/分;后4分钟,所走的路程是2千米,速度为0.5千米/分,因此,我们也知道了小明去学校途中是先上坡1千米、后下坡2千米。由此可知,他从学校回到家时是先上坡2千米、后下坡1千米,根据去时上下坡速度,可得他从学校回到家需要的时间是2÷0.2＋1÷0.5＝10＋2＝12分,故答案为C。
4.2 从“数”到“形”
例5:(长沙)某游泳池分为深水区和浅水区,每次消毒后要重新将水注满泳池,假定进水管的水速是均匀的,那么泳池内水的高度随时间变化的图象是()如图3。
解析:本题以同学们熟悉的游泳池中消毒换水为背景,确定符合题意的“泳池内水的高度随时间变化的图象”。解题的关键是同学们对游泳池有深水区和浅水区之分的了解,还有注水时,水先注满深水区,再注浅水区,浅水区的面积比深水区的面积大,因此同样速度注水的话,到浅水区高度增加的速度变慢,反映在图象上到浅水区后,图象远离纵轴。因此,符合题意的图象是B。
近年来对数学思想方法的考查常常会出现几种思想方法的综合运用,不是单纯的考一种数学思想方法,而考查几种思想方法的综合运用其最典型的是压轴题。因此,在今后的数学教育教学中,数学思想方法:如化归思想、方程与函数思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想的教学要重视要加强,而不是削弱。