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摘 要：最早对解析函数边值问题的稳定性讨论应追随到1937年M.V.Keldysh等人对关于调和函数的Dirichlet问题在边界曲线发生摄动时的的稳定性研究。文献[1]讨论了带根号Hilbert边值问题关于边界曲线的稳定性，本文在此基础上进一步讨论带根号Riemann边值逆问题关于边界曲线解的误差估计。
关键词：带根号Riemann边值逆问题；摄动；稳定性
中图分类号：O175.8 文献标识码：A
1 边界曲线摄动后Riemann边值逆问题的提出与求解
文献[2]提出了以下一类带根号Riemann边值逆问题：
设L为复平面中一条封闭光滑曲线，求一对函数Ψz，wt，其中Ψz是以L为跳跃曲线的全纯函数，wt为L上的H类函数，满足以下边值条件：
Ψ+t=G1tΨ-t+g1twt，t∈L，
Ψ+t=G2tΨ-t+g2twt，t∈L.
其中Gjt，gjt∈HLj=1，2，Ψz在z=
SymboleB@ 处有有限阶，要求Ψ+t，Ψ-t在L上单值、连续.
在R-1中的解的状态。
这里记
gt=1 g1t
1 g2t，G0t=G1t g1t
G2t g2t，
D1t=1gtG1t1
G2t1
且Gt=G0tgt.定义指标κ=12π[argG（t）]Γ，并记c=κ+k-m-n.
当边界曲线L发生极小的摄动时，则有以下的带根号Riemann边值逆问题：
Ψ+（ω，ε）ξ=G1ξΨ-（ω，ε）ξ+g1ξw（ω，ε）ξ，ξ∈Lω，
Ψ+（ω，ε）ξ=G2ξΨ-（ω，ε）ξ+g2ξw（ω，ε）ξξ∈Lω.
其中
gξ=1 g1ξ
1 g2ξ，G0ξ=G1ξ g1ξ
G2ξ g2ξ，
D1ξ=1gξG1ξ1
G2ξ1
且Gξ=G0ξgξ.显然D1ξ∈HLω定义指标κω=12π[argG（t）]Lω，并记cω=κω+k-m-n。
文献[2]给出了带根号Riemann边值逆问题的解，即当κω+km+n时，问题的一般解如下，这里t∈L。
Ψz，wt
=PczXz∏z，PctX-tD1t∏t（1）
那么相应的问题的解如下，这里ξ∈Lω
Ψ（ω，ε）z，w（ω，ε）ξ
=PczXωz∏εz，PξX-ωξD1ξ∏εξ。（2）
其中Xω（z）=eΓω
（z-z0）-κeΓω
2 摄动后Riemann边值逆问题解的误差估计
这里取曲线L为单位圆周，则有
定理1 当ω=0时，Xω=X，这时则有
‖X-ωξ-X-t‖L
SymbolcB@ C（ρ0，υ）Aμ（G）+1‖ω‖μ（1-υ）1
證明：由Xω（z）=eΓω（z-z0）-κeΓω可知，
X-ωξ=ξ-z0-κX+ωξ，
那么X-t=t-z0-κX+ωt。
由文献[3]的定义1的证明过程可得
‖X+ω-X+‖L
SymbolcB@ C（ρ0，υ）Aμ（G）‖ω‖μ（1-υ）1，
且t-z0∈H（L），那么由数学归纳法可得
t-z0-κ∈H（L），
即ξ-z0-κ-t-z0-κ
SymbolcB@ C·‖ω‖1.
则由文献[4]引理3可得
‖X-ωξ-X-t‖L
SymbolcB@ C（ρ0，υ）Aμ（G）+1‖ω‖μ（1-υ）1
定理2 任给ω∈B（ρ0），G，g∈Hμ（E）.当κ+km+n时，摄动后的带根号Riemann逆边值问题在R-1中的一般解为（1）式所示，此解与带根号Riemann边值问题的解（2）式满足：
‖w（ω，ε）ξ-wt‖L
SymbolcB@ C（m，n，d）Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1‖ω‖1+εμ（1-υ）
‖Ψ（ω，ε）-Ψ‖Ω
SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1‖ω‖1+εμ（1-υ）
证明：由定理1，文献[5]推论2及文献[4]引理3和Pc-1的Hlder连续性可得
‖w（ω，ε）ξ-wt‖L
SymbolcB@ C（m，n，d）Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1‖ω‖1+εμ（1-υ）。
再则由文献[1]中定理2的证明过程可得，当t∈Ω+
Ψ（ω，ε）（t）-Ψ（t）
SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1] ‖ω‖1+εμ（1-υ）则
‖Ψ（ω，ε）（t）-Ψ（t）‖Ω+
=maxt∈Ω+Ψ（ω，ε）（t）-Ψ（t）
SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1‖ω‖1+εμ（1-υ）
由最大模原理可得
‖Ψ（ω，ε）-Ψ‖Ω+
SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1]（‖ω‖1+ε）μ（1-υ）。
再由Ψ+（ω，ε），Ψ+的有界性可得
‖Ψ+（ω，ε）（z）-Ψ+（z）‖Ω+
SymbolcB@ ‖Ψ+（ω，ε）-Ψ+‖Ω+‖Ψ+（ω，ε）+Ψ+‖Ω+
SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1）]‖ω‖1+εμ（1-υ）
同理可得
‖Ψ（ω，ε）-Ψ‖Ω-
SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1]‖ω‖1+εμ（1-υ）。
综上所述
‖Ψ（ω，ε）-Ψ‖Ω
SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1]‖ω‖1+εμ（1-υ）。
参考文献：
[1]曾乔.带根号Hilbert边值问题关于边界曲线的稳定性[J].科技经济导刊，2016（20）：107109.
[2]吴凤敏，刘豪.一类带平方根的Riemann边值逆问题[J].南阳师范学院学报，2009（6）：2022.
[3]章红梅，王传荣.Riemann边值问题关于边界曲线的稳定性[J].福州大学学报：自然科学版，2001，29（1）：14.
[4]Wang Chuanrong，Zhang Hongmei，Zhu Yuchan.The Riemann boundary value problem with respect the perturbation of boundary curve[J].complex Variables and Elliptic Equations.2006，51（8）：631645.
[5]曾乔，林峰.一类奇异积分关于曲线摄动的误差估计[J].四川师范大学学报：自然科学版，2015，38（1）.
作者简介：曾乔（1990），女，海南海口人，硕士，助教，研究方向：函数论。
关键词：带根号Riemann边值逆问题；摄动；稳定性
中图分类号：O175.8 文献标识码：A
1 边界曲线摄动后Riemann边值逆问题的提出与求解
文献[2]提出了以下一类带根号Riemann边值逆问题：
设L为复平面中一条封闭光滑曲线，求一对函数Ψz，wt，其中Ψz是以L为跳跃曲线的全纯函数，wt为L上的H类函数，满足以下边值条件：
Ψ+t=G1tΨ-t+g1twt，t∈L，
Ψ+t=G2tΨ-t+g2twt，t∈L.
其中Gjt，gjt∈HLj=1，2，Ψz在z=
SymboleB@ 处有有限阶，要求Ψ+t，Ψ-t在L上单值、连续.
在R-1中的解的状态。
这里记
gt=1 g1t
1 g2t，G0t=G1t g1t
G2t g2t，
D1t=1gtG1t1
G2t1
且Gt=G0tgt.定义指标κ=12π[argG（t）]Γ，并记c=κ+k-m-n.
当边界曲线L发生极小的摄动时，则有以下的带根号Riemann边值逆问题：
Ψ+（ω，ε）ξ=G1ξΨ-（ω，ε）ξ+g1ξw（ω，ε）ξ，ξ∈Lω，
Ψ+（ω，ε）ξ=G2ξΨ-（ω，ε）ξ+g2ξw（ω，ε）ξξ∈Lω.
其中
gξ=1 g1ξ
1 g2ξ，G0ξ=G1ξ g1ξ
G2ξ g2ξ，
D1ξ=1gξG1ξ1
G2ξ1
且Gξ=G0ξgξ.显然D1ξ∈HLω定义指标κω=12π[argG（t）]Lω，并记cω=κω+k-m-n。
文献[2]给出了带根号Riemann边值逆问题的解，即当κω+km+n时，问题的一般解如下，这里t∈L。
Ψz，wt
=PczXz∏z，PctX-tD1t∏t（1）
那么相应的问题的解如下，这里ξ∈Lω
Ψ（ω，ε）z，w（ω，ε）ξ
=PczXωz∏εz，PξX-ωξD1ξ∏εξ。（2）
其中Xω（z）=eΓω
（z-z0）-κeΓω
2 摄动后Riemann边值逆问题解的误差估计
这里取曲线L为单位圆周，则有
定理1 当ω=0时，Xω=X，这时则有
‖X-ωξ-X-t‖L
SymbolcB@ C（ρ0，υ）Aμ（G）+1‖ω‖μ（1-υ）1
證明：由Xω（z）=eΓω（z-z0）-κeΓω可知，
X-ωξ=ξ-z0-κX+ωξ，
那么X-t=t-z0-κX+ωt。
由文献[3]的定义1的证明过程可得
‖X+ω-X+‖L
SymbolcB@ C（ρ0，υ）Aμ（G）‖ω‖μ（1-υ）1，
且t-z0∈H（L），那么由数学归纳法可得
t-z0-κ∈H（L），
即ξ-z0-κ-t-z0-κ
SymbolcB@ C·‖ω‖1.
则由文献[4]引理3可得
‖X-ωξ-X-t‖L
SymbolcB@ C（ρ0，υ）Aμ（G）+1‖ω‖μ（1-υ）1
定理2 任给ω∈B（ρ0），G，g∈Hμ（E）.当κ+km+n时，摄动后的带根号Riemann逆边值问题在R-1中的一般解为（1）式所示，此解与带根号Riemann边值问题的解（2）式满足：
‖w（ω，ε）ξ-wt‖L
SymbolcB@ C（m，n，d）Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1‖ω‖1+εμ（1-υ）
‖Ψ（ω，ε）-Ψ‖Ω
SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1‖ω‖1+εμ（1-υ）
证明：由定理1，文献[5]推论2及文献[4]引理3和Pc-1的Hlder连续性可得
‖w（ω，ε）ξ-wt‖L
SymbolcB@ C（m，n，d）Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1‖ω‖1+εμ（1-υ）。
再则由文献[1]中定理2的证明过程可得，当t∈Ω+
Ψ（ω，ε）（t）-Ψ（t）
SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1] ‖ω‖1+εμ（1-υ）则
‖Ψ（ω，ε）（t）-Ψ（t）‖Ω+
=maxt∈Ω+Ψ（ω，ε）（t）-Ψ（t）
SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1‖ω‖1+εμ（1-υ）
由最大模原理可得
‖Ψ（ω，ε）-Ψ‖Ω+
SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1]（‖ω‖1+ε）μ（1-υ）。
再由Ψ+（ω，ε），Ψ+的有界性可得
‖Ψ+（ω，ε）（z）-Ψ+（z）‖Ω+
SymbolcB@ ‖Ψ+（ω，ε）-Ψ+‖Ω+‖Ψ+（ω，ε）+Ψ+‖Ω+
SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1）]‖ω‖1+εμ（1-υ）
同理可得
‖Ψ（ω，ε）-Ψ‖Ω-
SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1]‖ω‖1+εμ（1-υ）。
综上所述
‖Ψ（ω，ε）-Ψ‖Ω
SymbolcB@ C（ρ0，υ，m，n，d）[Aμ（G）+‖Pc-1‖E+1]‖ω‖1+εμ（1-υ）。
参考文献：
[1]曾乔.带根号Hilbert边值问题关于边界曲线的稳定性[J].科技经济导刊，2016（20）：107109.
[2]吴凤敏，刘豪.一类带平方根的Riemann边值逆问题[J].南阳师范学院学报，2009（6）：2022.
[3]章红梅，王传荣.Riemann边值问题关于边界曲线的稳定性[J].福州大学学报：自然科学版，2001，29（1）：14.
[4]Wang Chuanrong，Zhang Hongmei，Zhu Yuchan.The Riemann boundary value problem with respect the perturbation of boundary curve[J].complex Variables and Elliptic Equations.2006，51（8）：631645.
[5]曾乔，林峰.一类奇异积分关于曲线摄动的误差估计[J].四川师范大学学报：自然科学版，2015，38（1）.
作者简介：曾乔（1990），女，海南海口人，硕士，助教，研究方向：函数论。