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一、教学设计思想
新课程积极提倡学生“主动参与、乐于探究、、勤于思考”,以培养学生“获取新知识”、“分析解决问题的能力”,而不再视知识为确定的、独立于于认知者的一个目标,而是视其为一种探索行动或创造的过程。依据新课程的对教学要求和教学内容的需要,设计了本节课的教学设计。本节课的设计教学思路有主要三个方面:(1)有让学生在现实的情境和已有的知识经验中体验和理解数学,(2)引导学生动手实践,主动探索与合作交流,(3)鼓励学生发现问题,解决问题,体验成功的愉悦。
二、教材分析
1、教材内容与地位
本节课是新课程实验教材人教A版数学选修2-1第二章第6节的内容。它是学好双曲线性质及利用其性质解决应用问题的关键一课。在这之前学生已经掌握了曲线与方程的联系以及椭圆及其几何性质。还有双曲线的基本概念。应该说具备了相当的知识储备,足够学生自主探索,合作探究来完成本课时的教学内容。
2、教学重点、难点
重点:双曲线的几何性质及初步运用.
解决办法:布置学生动手操作任务,通过完成任务的整个过程得到双曲线的的几何性质得出,至于渐近线引导学生证明,培养学生定性分析的数学思想。
难点:双曲线的渐近线方程的导出和论证.
解决办法:采用逐步设问,引导学生发现问题,解决问题。
疑点:双曲线的渐近线的证明.
解决办法:分三个层次。(1)通过观察几何画板动画展示给出合理猜想(2)通过公式变形定性分析(3)通过详细讲解
三、学情分析
这些学生是第一批接受新课程理念的教学模式,他们有强烈的自主探究学习的欲望,有很好的合作意思。而且刚学了曲线与方程及椭圆,已经接触了通过方程研究曲线的思想,具有一定能力自主研究曲线。而双曲线的几何性质与椭圆的几何性质完全可以类比过来,所以把这堂课设计成学生自主探索,研究发现,体验“研究者”的快感是非常合适的。
四、教学目标
(一)知识教学点
使学生理解并掌握双曲线的几何性质,并能从双曲线的标准方程出发,推导出这些性质,并能具体估计双曲线的形状特征.进一步体会到方程与曲线的联系。
(二)能力训练点
通过学生动手实践,合作学习,在发现问题和解决问题中学习新知识,从而培养学生分析、归纳、推理、合作学习等能力.
(三)学科渗透点
使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解。同时也让学生体会到数学研究的快乐,培养学生发现数学美,欣赏数学美,提高对数学学习的热情。
五、教学方法
本课程教学设计使用的教学方法有别于传统的讲授法。主要是采用学导式教学方法与讨论法、发现法相结合。当然在整个教学过程有老师适时的问题作为过程引导与衔接。
六、媒体选择
PPT辅助;几何画板辅助;实物投影仪
七、教学程序
(一)提出问题:前面我们已经学习了椭圆及其双曲线的概念,大家告诉我你们学的如何?(学生很有激情的回答学的不错)
那好,我来出考考大家
画出双曲线方程 的草图
(1)给学生5分钟的时间,以后相互同学交换成果,比较讨论下,谈谈有何体会。
(2)到学生中去观察,找几个典型错误实例。
(3)通过讨论,再通过投影将几个典型错误实例展示给大家看,让同学感受自己知识的不足
设计意图:抛出问题与学生现有知识产生碰撞,引起学生兴趣。为整节课奠定了一个动手探索,自主发现的基调。
(二)制定方案:谁有办法较准确的画出双曲线方程草图呢?接下来我们就来探索下,能不能解决这个问题。
抛出问题:我们是如何画出椭圆草图的?那么是否可以用类比方法解决双曲线 草图?
引导学生要画出图像必须从方程入手,然后讨论确定出研究步骤
(1)确定图像区域
(2)曲线是具有对程性
(3)曲线的大致变化趋势
(4)曲线的开口情况
设计意图:明确研究方案,为后续讨论指明了方向,使得学生的探索具有方向性,有利于问题解决。
(三)剖析问题
第一小组 第二小组 第三小组 第四小组
确定图像区域 负责 / / /
曲线是否具有对称性 / 负责 / /
曲线大致变化趋势 / / 负责 /
曲线开口情况 / / / 负责
(1) 第一小组成果:考察了方程x,y的取值范围得到图像应该在直线 确定的区域外侧(这个探索过程学生完成的很漂亮,主要是学生类比了椭圆草图的得到过程)
动手任务1:大家在白纸上画出双曲线所在的区域
(2) 第二小组成果:图像关于x,y及原点中心对称。
这个过程学生得到有点困难,所以我们实施的启发引导方程f(x,y)=0关于x,y及原点对称会有什么特征。完成这个过程后,学生很快探索出成果。完成情况不错。
思考任务2、第二小组同学的成果能给我们画草图带来何帮助?
学生回答:只要画出第一象限内的草图,然后根据对称性就可以画出全部图像了。
(3) 第三小组成果:方程图像在第一象限内的图像y随x增大无限接近 ,但达不到
这个内容是教学的重点,也是难点,要注意逐步启发教学。我在教学过程中分这么几步:
1、 回顾函数图像变化趋势是考什么来衡量?
学生答:函数单调性!
老师追问:如何判断单调性?
学生答:定义、图像、y随x增大而增大。
2、 双曲线是函数吗?有办法变形成函数不?
学生答:双曲线不是函数,但在第一象限内的图像可以理解成函数图像
老师追问:函数解析式是什么?
学生答:
3、 在第一象限内的双曲线对应函数单调性如何?
学生答:y随x增大而增大,所以函数在第一象限内单调递增。
老师追问:黑板上画出两种递增的形态是,不是可以随意递增呢?
引导学生观察函数值的变化情况!给出2分钟思考时间。学生很快发现
学生回答:无论x有多大函数值y永远比 小
老师答:非常棒!你能解释下为什么?
学生答:
老师问:非常好,大家能根据上述函数关系来回答反应在图像上他们的位置关系有何特征?
学生答:随着x的无限增大,曲线的图像越来越靠近直线 ,但永远不能达到。
老师答:GOOD,大家回一下以前我们研究的函数有没有类似的表述?
学生答:双曲线函数 有这个性质。那条线叫渐近线。
老师答:对,那直线 叫什么好呢?
学生异口同声的回答:渐近线。
4、 你能得到双曲线图像变化趋势吗?
学生答:能,根据对称性就可以完成了。
动手任务3:大家在草稿纸上继续完成我们刚才没完成的草图。(给同学动手2分钟)
老师找几个典型图像,然后用投影仪展示给学生看,初步享受成果,体会快乐。但又提出问题,他们的画图像还不那么一致,所以还有必要研究另一个问题,也就是第四组同学的工作必须完成。
(4) 第四小组成果
老师引导:椭圆中有控制形状的量e,双曲线中有没有呢?我们类似椭圆也给双曲线定义e
(e>1)
离心率是如何控制双曲线形状的呢?给学生3分钟讨论时间
老师问:大家讨论出结果了没有?
学生答: ,渐近线斜率越大,离心率越大。
老师答:非常好,简单说e越大,带过来渐近线的斜率越大(第一象限),导致双曲线开口越大
老师答:通过刚才所有同学的不懈努力我们完成了最先给出的4个问题。现在大家能告诉我你如何较准确画出双曲线草图?
动手任务4:在草稿纸上完成我们最先给出的双曲线方程,比较下你最初话的图像,修改错误之处。
设计意图:本环节是本节课的关键。所以在整个设计过程中我采用了以小组为单位进行任务分工解决,提高解决效率。同时对于较为困难的问题采用适时引导,层层设问,引导学生解决问题。同时在整个过程中始终贯穿这一个任务:正确画除双曲线草图。每每发现一点新知识就及时应用于画图。让学生边探索,边应用,体会学以致用。这个设计环节不仅培养了学生的动手与合作学习的能力同时也让学生体会成功的快乐,提高对数学研究的积极性。
(四)解决问题
展示部分学生优秀的作品,然学生充分体验成个的快乐。然后结合图像给出双曲线中几个相应的概念:顶点,焦点,实轴,短轴,渐近线等概念。
总结归纳:通过刚才学习,谁能总结下如何画出双曲线草图?能归纳下基本步骤吗?
(1) 确定曲线范围;
(2) 画出渐近线方程(两条);
(3) 画出第一象限草图;
(4) 根据对程性完成整个图像。
设计意图:展示成果,充分肯定学生的劳动成果。对问题进行归纳、概括、提升,获得解决双曲线方程的基本思路。同时也培养学生通过方程研究曲线的的能力。
(五)巩固问题
例、求双曲线 的半实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程
设计意图:通过这个例题让学生体会下如何研究焦点在y轴上的双曲线几何性质与焦点在x轴上双曲线的几何性质有何异同。特别指明:焦点在x和在y轴上双曲线标准方程对应的渐近线方程公式化形式是不不同的,为下节课故设悬念。
(六)深化提升
思考作业:探究方程 具有何性质?并画出草图
设计意图:通过本题更一步强化如何通过方程研究曲线的基本过程。检验学生通过方程研究曲线的能力。
八、板书设计
九、自主性教学设计评价
本课的教学设计有别于传统的教学设计。而是采用将问题抛给学生,然后通过逐步引导、启发,发现问题,解决问题,发现新知识的过程。整个教学设计其实就是一个研究性课题。解决了如何通过方程研究图象的问题,也完成了更个教学计划。更将双曲线的几个零散的几何性质串联的一起,形成一个整体。让学生从使用角度、整体大局角度去掌握双曲线的性质从但优点遗憾的是本教学设计对学生要求较高,极少部分同学在探求新知识上存在一定困难。
1、刘兼《数学新课程与数学学习》 高等教育出版社 2008
2、吴永军《新课程备课壳新思维》 教育科学出版社 2004
新课程积极提倡学生“主动参与、乐于探究、、勤于思考”,以培养学生“获取新知识”、“分析解决问题的能力”,而不再视知识为确定的、独立于于认知者的一个目标,而是视其为一种探索行动或创造的过程。依据新课程的对教学要求和教学内容的需要,设计了本节课的教学设计。本节课的设计教学思路有主要三个方面:(1)有让学生在现实的情境和已有的知识经验中体验和理解数学,(2)引导学生动手实践,主动探索与合作交流,(3)鼓励学生发现问题,解决问题,体验成功的愉悦。
二、教材分析
1、教材内容与地位
本节课是新课程实验教材人教A版数学选修2-1第二章第6节的内容。它是学好双曲线性质及利用其性质解决应用问题的关键一课。在这之前学生已经掌握了曲线与方程的联系以及椭圆及其几何性质。还有双曲线的基本概念。应该说具备了相当的知识储备,足够学生自主探索,合作探究来完成本课时的教学内容。
2、教学重点、难点
重点:双曲线的几何性质及初步运用.
解决办法:布置学生动手操作任务,通过完成任务的整个过程得到双曲线的的几何性质得出,至于渐近线引导学生证明,培养学生定性分析的数学思想。
难点:双曲线的渐近线方程的导出和论证.
解决办法:采用逐步设问,引导学生发现问题,解决问题。
疑点:双曲线的渐近线的证明.
解决办法:分三个层次。(1)通过观察几何画板动画展示给出合理猜想(2)通过公式变形定性分析(3)通过详细讲解
三、学情分析
这些学生是第一批接受新课程理念的教学模式,他们有强烈的自主探究学习的欲望,有很好的合作意思。而且刚学了曲线与方程及椭圆,已经接触了通过方程研究曲线的思想,具有一定能力自主研究曲线。而双曲线的几何性质与椭圆的几何性质完全可以类比过来,所以把这堂课设计成学生自主探索,研究发现,体验“研究者”的快感是非常合适的。
四、教学目标
(一)知识教学点
使学生理解并掌握双曲线的几何性质,并能从双曲线的标准方程出发,推导出这些性质,并能具体估计双曲线的形状特征.进一步体会到方程与曲线的联系。
(二)能力训练点
通过学生动手实践,合作学习,在发现问题和解决问题中学习新知识,从而培养学生分析、归纳、推理、合作学习等能力.
(三)学科渗透点
使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解。同时也让学生体会到数学研究的快乐,培养学生发现数学美,欣赏数学美,提高对数学学习的热情。
五、教学方法
本课程教学设计使用的教学方法有别于传统的讲授法。主要是采用学导式教学方法与讨论法、发现法相结合。当然在整个教学过程有老师适时的问题作为过程引导与衔接。
六、媒体选择
PPT辅助;几何画板辅助;实物投影仪
七、教学程序
(一)提出问题:前面我们已经学习了椭圆及其双曲线的概念,大家告诉我你们学的如何?(学生很有激情的回答学的不错)
那好,我来出考考大家
画出双曲线方程 的草图
(1)给学生5分钟的时间,以后相互同学交换成果,比较讨论下,谈谈有何体会。
(2)到学生中去观察,找几个典型错误实例。
(3)通过讨论,再通过投影将几个典型错误实例展示给大家看,让同学感受自己知识的不足
设计意图:抛出问题与学生现有知识产生碰撞,引起学生兴趣。为整节课奠定了一个动手探索,自主发现的基调。
(二)制定方案:谁有办法较准确的画出双曲线方程草图呢?接下来我们就来探索下,能不能解决这个问题。
抛出问题:我们是如何画出椭圆草图的?那么是否可以用类比方法解决双曲线 草图?
引导学生要画出图像必须从方程入手,然后讨论确定出研究步骤
(1)确定图像区域
(2)曲线是具有对程性
(3)曲线的大致变化趋势
(4)曲线的开口情况
设计意图:明确研究方案,为后续讨论指明了方向,使得学生的探索具有方向性,有利于问题解决。
(三)剖析问题
第一小组 第二小组 第三小组 第四小组
确定图像区域 负责 / / /
曲线是否具有对称性 / 负责 / /
曲线大致变化趋势 / / 负责 /
曲线开口情况 / / / 负责
(1) 第一小组成果:考察了方程x,y的取值范围得到图像应该在直线 确定的区域外侧(这个探索过程学生完成的很漂亮,主要是学生类比了椭圆草图的得到过程)
动手任务1:大家在白纸上画出双曲线所在的区域
(2) 第二小组成果:图像关于x,y及原点中心对称。
这个过程学生得到有点困难,所以我们实施的启发引导方程f(x,y)=0关于x,y及原点对称会有什么特征。完成这个过程后,学生很快探索出成果。完成情况不错。
思考任务2、第二小组同学的成果能给我们画草图带来何帮助?
学生回答:只要画出第一象限内的草图,然后根据对称性就可以画出全部图像了。
(3) 第三小组成果:方程图像在第一象限内的图像y随x增大无限接近 ,但达不到
这个内容是教学的重点,也是难点,要注意逐步启发教学。我在教学过程中分这么几步:
1、 回顾函数图像变化趋势是考什么来衡量?
学生答:函数单调性!
老师追问:如何判断单调性?
学生答:定义、图像、y随x增大而增大。
2、 双曲线是函数吗?有办法变形成函数不?
学生答:双曲线不是函数,但在第一象限内的图像可以理解成函数图像
老师追问:函数解析式是什么?
学生答:
3、 在第一象限内的双曲线对应函数单调性如何?
学生答:y随x增大而增大,所以函数在第一象限内单调递增。
老师追问:黑板上画出两种递增的形态是,不是可以随意递增呢?
引导学生观察函数值的变化情况!给出2分钟思考时间。学生很快发现
学生回答:无论x有多大函数值y永远比 小
老师答:非常棒!你能解释下为什么?
学生答:
老师问:非常好,大家能根据上述函数关系来回答反应在图像上他们的位置关系有何特征?
学生答:随着x的无限增大,曲线的图像越来越靠近直线 ,但永远不能达到。
老师答:GOOD,大家回一下以前我们研究的函数有没有类似的表述?
学生答:双曲线函数 有这个性质。那条线叫渐近线。
老师答:对,那直线 叫什么好呢?
学生异口同声的回答:渐近线。
4、 你能得到双曲线图像变化趋势吗?
学生答:能,根据对称性就可以完成了。
动手任务3:大家在草稿纸上继续完成我们刚才没完成的草图。(给同学动手2分钟)
老师找几个典型图像,然后用投影仪展示给学生看,初步享受成果,体会快乐。但又提出问题,他们的画图像还不那么一致,所以还有必要研究另一个问题,也就是第四组同学的工作必须完成。
(4) 第四小组成果
老师引导:椭圆中有控制形状的量e,双曲线中有没有呢?我们类似椭圆也给双曲线定义e
(e>1)
离心率是如何控制双曲线形状的呢?给学生3分钟讨论时间
老师问:大家讨论出结果了没有?
学生答: ,渐近线斜率越大,离心率越大。
老师答:非常好,简单说e越大,带过来渐近线的斜率越大(第一象限),导致双曲线开口越大
老师答:通过刚才所有同学的不懈努力我们完成了最先给出的4个问题。现在大家能告诉我你如何较准确画出双曲线草图?
动手任务4:在草稿纸上完成我们最先给出的双曲线方程,比较下你最初话的图像,修改错误之处。
设计意图:本环节是本节课的关键。所以在整个设计过程中我采用了以小组为单位进行任务分工解决,提高解决效率。同时对于较为困难的问题采用适时引导,层层设问,引导学生解决问题。同时在整个过程中始终贯穿这一个任务:正确画除双曲线草图。每每发现一点新知识就及时应用于画图。让学生边探索,边应用,体会学以致用。这个设计环节不仅培养了学生的动手与合作学习的能力同时也让学生体会成功的快乐,提高对数学研究的积极性。
(四)解决问题
展示部分学生优秀的作品,然学生充分体验成个的快乐。然后结合图像给出双曲线中几个相应的概念:顶点,焦点,实轴,短轴,渐近线等概念。
总结归纳:通过刚才学习,谁能总结下如何画出双曲线草图?能归纳下基本步骤吗?
(1) 确定曲线范围;
(2) 画出渐近线方程(两条);
(3) 画出第一象限草图;
(4) 根据对程性完成整个图像。
设计意图:展示成果,充分肯定学生的劳动成果。对问题进行归纳、概括、提升,获得解决双曲线方程的基本思路。同时也培养学生通过方程研究曲线的的能力。
(五)巩固问题
例、求双曲线 的半实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程
设计意图:通过这个例题让学生体会下如何研究焦点在y轴上的双曲线几何性质与焦点在x轴上双曲线的几何性质有何异同。特别指明:焦点在x和在y轴上双曲线标准方程对应的渐近线方程公式化形式是不不同的,为下节课故设悬念。
(六)深化提升
思考作业:探究方程 具有何性质?并画出草图
设计意图:通过本题更一步强化如何通过方程研究曲线的基本过程。检验学生通过方程研究曲线的能力。
八、板书设计
九、自主性教学设计评价
本课的教学设计有别于传统的教学设计。而是采用将问题抛给学生,然后通过逐步引导、启发,发现问题,解决问题,发现新知识的过程。整个教学设计其实就是一个研究性课题。解决了如何通过方程研究图象的问题,也完成了更个教学计划。更将双曲线的几个零散的几何性质串联的一起,形成一个整体。让学生从使用角度、整体大局角度去掌握双曲线的性质从但优点遗憾的是本教学设计对学生要求较高,极少部分同学在探求新知识上存在一定困难。
1、刘兼《数学新课程与数学学习》 高等教育出版社 2008
2、吴永军《新课程备课壳新思维》 教育科学出版社 2004