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【摘 要】在小学数学教学中发展儿童的几何直观，能帮助儿童更好地理解数学本质和促进思维的发展，提升儿童分析问题和解决问题的能力。几何直观既是一种方法，又表现为儿童运用这种方法的能力。探寻数学课堂发展儿童几何直观的路径，可以借助直观模型，发展儿童形象思维；可以创设操作空间，发展儿童直观思维；可以运用数形结合，发展儿童图形语言；可以利用信息技术，发展儿童空间想象力。发展儿童几何直观，最终形成对几何的明锐洞察力和良好的数学素养。
【关键词】几何 几何直观 含义 教学实践 教学建议
随着新课程标准的颁布，数学学科无论从课程设计理念、教学目标和教材编写等方面都有了新的改变与尝试。《义务教育数学课程标准（2011年版）》首次将“几何直观”作为新增的4个核心概念之一，它不仅存在于“图形与几何”教学之中，而且对“数与代数”“统计与概率”“综合与实践”领域的学习都发挥着重要作用，可以说几何直观贯穿在整个数学学习中。因此在小学阶段发展学生的几何直观应引起广大一线教师的重视，我们既应厘清概念、明晰价值，更应不断探寻其培养的路径，并落实于课堂教学之中。
一、对“几何直观”及相关概念的解析
“几何直观”的提出并不是构建一个新的数学概念，而是化抽象为具体，帮助儿童加深对数学的理解，把抽象的数学意义转换成易于理解和运用的直观形式，引导儿童形成各种直观的概念意象，灵活地运用各种几何直观形式，帮助儿童理解数学。
（一）什么是“直观”
所谓直观，《辞海》（第六版）的解释是：“①即感性认识。其特点是生动性、具体性和直接性；②指旧唯物主义对认识的理解。”《中国大百科全书》的解释是：“通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识。”通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。这里的直观不仅仅是指直接看到的东西，更重要的是依托现在看到的东西和以前看到的东西进行思考和想象。
（二）什么是“几何直观”
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路、预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中发挥着重要作用。”正如数学家希尔伯特在其名著《直观几何》一书中所谈到的：“图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。”几何直观凭借图形的直观性特点，将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，启迪学生的思维，促进学生的数学思考。
（三）“几何直观”是否等同于“数形结合”
通过理论学习，我们发现两者既相互交融又有不同。数形结合涉及图形中的“形”与数量中“数”两个对象，其中“形”主要是指几何图形和坐标系中的图象；而几何直观中的图形不仅包括数形结合中的“形”，也包括凭借相关经验在头脑中想象出的图形、图示甚至不规则的示意图。数形结合包括“以形助数”和“以数解形”两个方面。在解决问题时，借助“形”的直观来理解抽象的“数”，同时反过来用“数”与“式”的描述来刻画“形”的特征；几何直观含有数形结合中“以形助数”的方面，但还包括由“形”到其他领域的问题。如借助长（正）方体的展开图研究其表面积、用割补等方法探究平行四边形的面积等。研究“几何直观”的最终目的是发展儿童的几何直观能力，促进其数学思考方法的发展，从而提高解决实际问题的能力。
二、发展儿童“几何直观”的教学实践
在小学数学课堂教学中发展儿童的几何直观，能帮助儿童更好地理解数学本质和促进其思维的发展，提升儿童分析问题和解决问题的能力，而且有助于创新意识和实践能力的培养。几何直观既是一种方法，又表现为儿童运用这种方法的能力。几何直观能力包括空间想象力、直观洞察力、用图形语言来思考问题的能力等。
（一）借助直观模型，发展儿童形象思维
所谓形象思维又称“直感思维”，是指以具体的形象或图像为思维内容的思维形态。它对于发展儿童的几何直观十分重要。几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学问题与直观的图形表象相结合，抽象思维与形象思维相结合，直观表述出问题的本质，帮助儿童思考。借助“直观模型”可以促进儿童积极地思考、分析问题，从而发展思维能力。如教学人教版五年级下册“打电话”时，教师抛出研讨问题：李老师要通知7名同学到校，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，怎样能够尽快通知到这些同学？至少需要几分钟？请你大胆猜测一下。教师话音刚落，“7分钟、6分钟、5分钟……”学生的答案此起彼伏。“到底谁的答案正确呢，你们能不能想办法说明一下？”教师引导学生把抽象的问题通过示意图，直观地表达出来，促进其思考。
在表达思考过程时，绝大部分学生利用画树状图的形式来描述。这样，把复杂的数量关系，简明、直观地呈现出来，并且学生借助示意图发现了其中的规律：从第2分钟开始，新增接到通知的人数是前1分钟人数的2倍。教学中，教师鼓励学生借助直观模型（示意图）把打电话通知的过程简洁地描述出来，用示意图辅助学生思考，学生通过画图、读图，找到了问题的答案，同时借助直观模型，发展了学生的形象思维。
（二）创设操作空间，发展儿童直观思维
所谓直观思维，就是人们不经过逐步分析，而迅速对问题的答案做出合理的猜测、设想或顿悟的一种跃进性思维。它与几何直观都具有思维的跳跃性。直观思维是在动手操作中发展起来的。因此，在教学中，教师应为儿童提供动手操作的机会，调动儿童的多种感官，使其参与到数学活动之中，充分感知大量直观形象的事物，获得感性认识，从而发展儿童的直观思维。如教学人教版三年级下册“两位数乘两位数”时，教师出示例题：每套书有14本，王老师买了12套。一共买了多少本？教师引导学生进行估算之后，提出问题：你能计算出一共有多少本吗？然后鼓励学生用手中的点子图，在上面画一画，找到解决问题的方法，并且写出自己的思考过程。随后展示学生的多样化算法，具体如下： 在操作过程中，教师引导学生借助点子图，通过圈一圈、画一画、写一写，建立起图、口算算式与笔算算式之间的联系，学生通过在点子图上表示出计算方法，将新知转化为旧知解决了新问题，其中图6学生呈现的解决方法与竖式计算的算理相对应，为后面学生理解竖式计算的算理和算法做好铺垫。学生在操作过程中，直观思维也得到了很好的发展。
（三）运用数形结合，发展儿童图形语言
著名数学家华罗庚说过：“形缺数时难入微，数缺形时少直观。”数形结合把抽象的数与具体的形有机结合起来，由图形带来的直觉，能增进儿童对数学的理解，激发他们的创造力，而对图形的探索和推导，则有助于培养儿童借助直观进行推理的能力，发展儿童的图形语言。如教学人教版五年级上册“植树问题”时，教师出示：六年级学生在全长1000米的小路一边植树，每隔10米栽一棵。一共需要准备多少棵树苗？请学生大胆猜测树苗的棵数。“100棵、99棵、101棵”学生中出现了不同的答案。“你们有没有办法来说明自己的思考？”在教师的启发下，学生一致认为，先研究数据小的情况。学生提出：先研究在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵。一共需要准备多少棵树苗？教师鼓励学生呈现自己的思考过程，绝大部分学生采用了画线段图的方法来表示出不同的栽法。
在解决问题时，学生通过数形结合把抽象的数学语言转化成直观的图形语言，建立了抽象与直观之间的联系，学生从直观图形中提取所反映的信息，发现其中蕴含的数量关系，帮助学生提高数学思考的能力，进而解决问题。因此，发展学生的图形语言是提高解决问题能力的重要途径。
（四）利用信息技术，发展儿童空间想象力
所谓空间想象力，就是人们对客观事物的空间形式（空间几何形体）进行观察、分析、认知的抽象思维能力。随着信息技术的不断发展与成熟，为数学研究提供了很多便利条件，尤其是在研究图形的旋转与平移等各种动态的数学问题中，借助信息技术手段， 可以丰富研究和思考的形式，让一些需要想象的几何图形能直观地呈现出来。如教学人教版五年级下册“图形的旋转”时，教师设计了在方格纸上操作三角形旋转90°的活动（如图8）。首先，请学生想象三角形AOB绕点O逆时针旋转90°后到方格的位置。其次，利用三角形学具，在有方格的纸上进行操作，对刚才的想象进行验证。最后，再次展开想象，如果依次绕点O顺时针旋转90°，连续旋转3次，最终会旋转成一个什么图案？（如图9）请学生大胆想象，之后教师通过多媒体课件的动态演示，验证学生的猜测。课上，教师将想象与操作有机结合，通过动态演示，有效地激发了学生的空间想象力。
三、发展儿童“几何直观”的教学建议
小学阶段儿童的思维是以具体形象思维为主要形式，逐步过渡到抽象逻辑思维，因此在小学阶段发展儿童的几何直观可谓是最佳时期。而发展几何直观需要遵循儿童的认知规律，循序渐进。教师在发展儿童“几何直观”时需注意以下几点。
（一）注重数学实验，积累丰富表象
几何直观是一种立足于“形”却带有思维跳跃性的解决数学问题的方式，它是基于表象的、在人头脑中进行的“快捷推理”。因此，在观察、测量、画图等实验活动中，应运用多种感官参与，积累丰富表象。
（二）充分参与活动，经历探究过程
几何直观既是一种方法，又是一种运用方法的能力，因此，发展几何直观离不开有效的实践活动，只有儿童经历自主探索、发现和再创造，经历数学发现和体验的过程，才能获得能力的提升。
（三）运用几何语言，鼓励交流对话
发展儿童的几何直观，需要在教学中鼓励儿童大胆地把自己所看、所想用正确的几何语言描述出来，几何语言的运用是反映儿童几何直观水平的另一角度。
总之，发展几何直观对促进儿童学习数学具有十分重要的作用，同时它是儿童数学能力的重要组成部分。教学时，教师要依据儿童的年龄特点，以学习内容为依托，用直观架起具体与抽象的桥梁，逐步引导儿童借助“形”研究和思考问题，引导儿童穿梭于图形直观与抽象概念之间进行探索，从而提高儿童解决问题的能力。
参考文献：
[1]孔凡哲， 史宁中.关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准（2011 年版）》的一点认识[J].课程·教材·教法，2012.
[2]刘晓玫.对“几何直观”及其培养的认识与分析[J].中国数学教育，2012.
（北京市朝阳区芳草地国际学校双花园校区 100125）
【关键词】几何 几何直观 含义 教学实践 教学建议
随着新课程标准的颁布，数学学科无论从课程设计理念、教学目标和教材编写等方面都有了新的改变与尝试。《义务教育数学课程标准（2011年版）》首次将“几何直观”作为新增的4个核心概念之一，它不仅存在于“图形与几何”教学之中，而且对“数与代数”“统计与概率”“综合与实践”领域的学习都发挥着重要作用，可以说几何直观贯穿在整个数学学习中。因此在小学阶段发展学生的几何直观应引起广大一线教师的重视，我们既应厘清概念、明晰价值，更应不断探寻其培养的路径，并落实于课堂教学之中。
一、对“几何直观”及相关概念的解析
“几何直观”的提出并不是构建一个新的数学概念，而是化抽象为具体，帮助儿童加深对数学的理解，把抽象的数学意义转换成易于理解和运用的直观形式，引导儿童形成各种直观的概念意象，灵活地运用各种几何直观形式，帮助儿童理解数学。
（一）什么是“直观”
所谓直观，《辞海》（第六版）的解释是：“①即感性认识。其特点是生动性、具体性和直接性；②指旧唯物主义对认识的理解。”《中国大百科全书》的解释是：“通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识。”通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。这里的直观不仅仅是指直接看到的东西，更重要的是依托现在看到的东西和以前看到的东西进行思考和想象。
（二）什么是“几何直观”
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路、预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中发挥着重要作用。”正如数学家希尔伯特在其名著《直观几何》一书中所谈到的：“图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。”几何直观凭借图形的直观性特点，将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，启迪学生的思维，促进学生的数学思考。
（三）“几何直观”是否等同于“数形结合”
通过理论学习，我们发现两者既相互交融又有不同。数形结合涉及图形中的“形”与数量中“数”两个对象，其中“形”主要是指几何图形和坐标系中的图象；而几何直观中的图形不仅包括数形结合中的“形”，也包括凭借相关经验在头脑中想象出的图形、图示甚至不规则的示意图。数形结合包括“以形助数”和“以数解形”两个方面。在解决问题时，借助“形”的直观来理解抽象的“数”，同时反过来用“数”与“式”的描述来刻画“形”的特征；几何直观含有数形结合中“以形助数”的方面，但还包括由“形”到其他领域的问题。如借助长（正）方体的展开图研究其表面积、用割补等方法探究平行四边形的面积等。研究“几何直观”的最终目的是发展儿童的几何直观能力，促进其数学思考方法的发展，从而提高解决实际问题的能力。
二、发展儿童“几何直观”的教学实践
在小学数学课堂教学中发展儿童的几何直观，能帮助儿童更好地理解数学本质和促进其思维的发展，提升儿童分析问题和解决问题的能力，而且有助于创新意识和实践能力的培养。几何直观既是一种方法，又表现为儿童运用这种方法的能力。几何直观能力包括空间想象力、直观洞察力、用图形语言来思考问题的能力等。
（一）借助直观模型，发展儿童形象思维
所谓形象思维又称“直感思维”，是指以具体的形象或图像为思维内容的思维形态。它对于发展儿童的几何直观十分重要。几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学问题与直观的图形表象相结合，抽象思维与形象思维相结合，直观表述出问题的本质，帮助儿童思考。借助“直观模型”可以促进儿童积极地思考、分析问题，从而发展思维能力。如教学人教版五年级下册“打电话”时，教师抛出研讨问题：李老师要通知7名同学到校，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，怎样能够尽快通知到这些同学？至少需要几分钟？请你大胆猜测一下。教师话音刚落，“7分钟、6分钟、5分钟……”学生的答案此起彼伏。“到底谁的答案正确呢，你们能不能想办法说明一下？”教师引导学生把抽象的问题通过示意图，直观地表达出来，促进其思考。
在表达思考过程时，绝大部分学生利用画树状图的形式来描述。这样，把复杂的数量关系，简明、直观地呈现出来，并且学生借助示意图发现了其中的规律：从第2分钟开始，新增接到通知的人数是前1分钟人数的2倍。教学中，教师鼓励学生借助直观模型（示意图）把打电话通知的过程简洁地描述出来，用示意图辅助学生思考，学生通过画图、读图，找到了问题的答案，同时借助直观模型，发展了学生的形象思维。
（二）创设操作空间，发展儿童直观思维
所谓直观思维，就是人们不经过逐步分析，而迅速对问题的答案做出合理的猜测、设想或顿悟的一种跃进性思维。它与几何直观都具有思维的跳跃性。直观思维是在动手操作中发展起来的。因此，在教学中，教师应为儿童提供动手操作的机会，调动儿童的多种感官，使其参与到数学活动之中，充分感知大量直观形象的事物，获得感性认识，从而发展儿童的直观思维。如教学人教版三年级下册“两位数乘两位数”时，教师出示例题：每套书有14本，王老师买了12套。一共买了多少本？教师引导学生进行估算之后，提出问题：你能计算出一共有多少本吗？然后鼓励学生用手中的点子图，在上面画一画，找到解决问题的方法，并且写出自己的思考过程。随后展示学生的多样化算法，具体如下： 在操作过程中，教师引导学生借助点子图，通过圈一圈、画一画、写一写，建立起图、口算算式与笔算算式之间的联系，学生通过在点子图上表示出计算方法，将新知转化为旧知解决了新问题，其中图6学生呈现的解决方法与竖式计算的算理相对应，为后面学生理解竖式计算的算理和算法做好铺垫。学生在操作过程中，直观思维也得到了很好的发展。
（三）运用数形结合，发展儿童图形语言
著名数学家华罗庚说过：“形缺数时难入微，数缺形时少直观。”数形结合把抽象的数与具体的形有机结合起来，由图形带来的直觉，能增进儿童对数学的理解，激发他们的创造力，而对图形的探索和推导，则有助于培养儿童借助直观进行推理的能力，发展儿童的图形语言。如教学人教版五年级上册“植树问题”时，教师出示：六年级学生在全长1000米的小路一边植树，每隔10米栽一棵。一共需要准备多少棵树苗？请学生大胆猜测树苗的棵数。“100棵、99棵、101棵”学生中出现了不同的答案。“你们有没有办法来说明自己的思考？”在教师的启发下，学生一致认为，先研究数据小的情况。学生提出：先研究在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵。一共需要准备多少棵树苗？教师鼓励学生呈现自己的思考过程，绝大部分学生采用了画线段图的方法来表示出不同的栽法。
在解决问题时，学生通过数形结合把抽象的数学语言转化成直观的图形语言，建立了抽象与直观之间的联系，学生从直观图形中提取所反映的信息，发现其中蕴含的数量关系，帮助学生提高数学思考的能力，进而解决问题。因此，发展学生的图形语言是提高解决问题能力的重要途径。
（四）利用信息技术，发展儿童空间想象力
所谓空间想象力，就是人们对客观事物的空间形式（空间几何形体）进行观察、分析、认知的抽象思维能力。随着信息技术的不断发展与成熟，为数学研究提供了很多便利条件，尤其是在研究图形的旋转与平移等各种动态的数学问题中，借助信息技术手段， 可以丰富研究和思考的形式，让一些需要想象的几何图形能直观地呈现出来。如教学人教版五年级下册“图形的旋转”时，教师设计了在方格纸上操作三角形旋转90°的活动（如图8）。首先，请学生想象三角形AOB绕点O逆时针旋转90°后到方格的位置。其次，利用三角形学具，在有方格的纸上进行操作，对刚才的想象进行验证。最后，再次展开想象，如果依次绕点O顺时针旋转90°，连续旋转3次，最终会旋转成一个什么图案？（如图9）请学生大胆想象，之后教师通过多媒体课件的动态演示，验证学生的猜测。课上，教师将想象与操作有机结合，通过动态演示，有效地激发了学生的空间想象力。
三、发展儿童“几何直观”的教学建议
小学阶段儿童的思维是以具体形象思维为主要形式，逐步过渡到抽象逻辑思维，因此在小学阶段发展儿童的几何直观可谓是最佳时期。而发展几何直观需要遵循儿童的认知规律，循序渐进。教师在发展儿童“几何直观”时需注意以下几点。
（一）注重数学实验，积累丰富表象
几何直观是一种立足于“形”却带有思维跳跃性的解决数学问题的方式，它是基于表象的、在人头脑中进行的“快捷推理”。因此，在观察、测量、画图等实验活动中，应运用多种感官参与，积累丰富表象。
（二）充分参与活动，经历探究过程
几何直观既是一种方法，又是一种运用方法的能力，因此，发展几何直观离不开有效的实践活动，只有儿童经历自主探索、发现和再创造，经历数学发现和体验的过程，才能获得能力的提升。
（三）运用几何语言，鼓励交流对话
发展儿童的几何直观，需要在教学中鼓励儿童大胆地把自己所看、所想用正确的几何语言描述出来，几何语言的运用是反映儿童几何直观水平的另一角度。
总之，发展几何直观对促进儿童学习数学具有十分重要的作用，同时它是儿童数学能力的重要组成部分。教学时，教师要依据儿童的年龄特点，以学习内容为依托，用直观架起具体与抽象的桥梁，逐步引导儿童借助“形”研究和思考问题，引导儿童穿梭于图形直观与抽象概念之间进行探索，从而提高儿童解决问题的能力。
参考文献：
[1]孔凡哲， 史宁中.关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准（2011 年版）》的一点认识[J].课程·教材·教法，2012.
[2]刘晓玫.对“几何直观”及其培养的认识与分析[J].中国数学教育，2012.
（北京市朝阳区芳草地国际学校双花园校区 100125）