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【摘要】笔者根据自身的教学实践，认为适时运用“变式教学”有助于构建生态课堂。以教师为主导的变式有利于课堂生态的整体性。以学生为主体的“参与式”变式有利于课堂生态的多样性。师生互动、生生互动的“沙龙式”有利于课堂生态的共生性。
【关键词】数学 变式教学 生态课堂
Pay attention to changeful teaching and construct zoology class
Li Weilin
【Abstract】According to personal teaching practice, the writer thinks that applying “changeful teaching” in good time helps to construct the zoology class. Changeful teaching based on teachers helps to the holistic quality of the class zoology. Changeful teaching based on students’ participating-type helps to the multiformity of the class zoology. The “salon” teaching based on teacher-student interaction and student-student interaction helps to the symbiosis quality of the class zoology.
【Keywords】Mathematics Changeful teaching Zoology class
生态化教学是近年来教育、教研工作者关注的一个热点。生态化教学就是应用生态观点，使教学系统的各种因素（教师、学生、教材、环境）相互作用、相互沟通，从而生成一个自由、和谐、富有个性的学习生态环境，促进学生和谐、自主发展的教学方式。已有的研究从理论上探索了数学课堂教学生态环境和数学课堂生态教学模式的构建以及生态平衡下实践教学的可行性。笔者根据自身的教学实践，认为适时运用“变式教学”有助于构建生态课堂。
1．以教师为主导的变式有利于课堂生态的整体性。课堂生态的整体性是指在课堂中学生的行为和思维表现是相互联系、相互制约、相互作用的，虽然各个个体存在着差异性，但课堂整体是一个呈现着美丽、稳定而有序的系统。在课堂教学中，教师根据讲授内容采用的由点到面、由特殊到一般的“变式”能照顾到差异的个体，有利于把握问题本质，从而使生态整体受益。
例1、（2000年高考试题）过抛物线 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF和QF和长
分别是p、q，则 等于（ ）
A． B． C． D．
分析：本题怎样求解呢？由于本题是一道选择题，故可用特例法来解。
抛物线的方程为 ，不妨假定 轴，则 ，所以 。故选（C）。
如果把题目改成填空题：
变式1、过抛物线 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF和QF和长分别是m、n，则 ＝_________。
分析：因为只要填出一个答案就行，我们仍然可以借助于特殊情形来解。取 轴，得 ， ，易知 。
变式2、在上述填空题的基础上，将变式1改为证明题。
分析：利用焦半径公式结合韦达定理来求解。
证明：当PQ垂直于x轴时，易证。
当PQ不垂直于x轴时，设PQ的方程为 ，代入抛物线 ，得 。
设 ， ，则由韦达定理及焦半径公式，得，
，∴
对于抛物线的一般情况我们已经研究完了，教师启发学生能否将变式2推广到更一般的情形，于是得到：
变式3、过椭圆 的右焦点F作一直线交椭圆于P、Q两点，若线段PF和FQ和长分别是m、n，求 的值。
解：不妨设 ，过P、Q分别作右准线的垂线，垂足为A、B，过Q、F分别作PA的垂线，垂足为R、T。
∵△QRP与△FTP相似，∴ ，
又 ， ，， ，其中p是焦点到相应准线的距离。
∴ ，∴
∴ 。
至此，可以肯定，在双曲线中也有 。（证明略）
此时，启发学生思考一般规律。
事实上，我们可以将抛物线、椭圆、双曲线中的结论统一成 。
又考虑到三种圆锥曲线统一的极坐标方程，可以有一个统一命题。
这时学生的思维水平升华到更高层次。
变式4、过圆锥曲线的一个焦点F作一直线交圆锥曲线于P、Q两点，若线段PF和FQ和长分别是m、n，则 （其中p是焦点到相应准线的距离）。（证明略）
2．以学生为主体的“参与式”变式有利于课堂生态的多样性。课堂生态的多样性是指课堂中的每一个学生作为生命个体都拥有生存意志、自身特点和权利，其行为和思维表现是丰富多彩的。在课堂教学中，充分发扬教学民主，发挥学生的主体作用，让学生参与到“变式”中来是课堂生态呈现千姿百态的有效方式。
例2：求证两椭圆 ， 的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆的方程（人教版平面解析几何全一册（必修）第81页14题）。
由原题我们知道：两个椭圆之间有上述结论，那么两个双曲线之间是否也有相同的结论呢？学生们马上积极思考，得出了如下的两个命题1、2：
变式1、求证两双曲线 ， 的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆的方程。（演变1）
变式2、求证两双曲线 ， 的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆的方程。（演变2）
那么这两个命题是否成立呢？我们一起来看一下。
分析：先看1显然不是命题。
再看2，两双曲线的交点坐标(x,y)满足方程组
（1）+（2）得
……（3）
易知当b=a时（1）与（2）是等轴共轭双曲线，没有交点，只有在b>a时两双曲线才有交点，故两双曲线的交点是在以原点为中心的圆周上，且这个圆的方程为 （b>a）。
所以上述命题在类比时应把双曲线的条件加强为b>a。
再进一步引导学生交叉联想，椭圆与双曲线之间会有怎样的结论呢？同学们经过讨论很快得出下面的结果。
变式3、椭圆 与双曲线 是否总有4个交点？这4个交点是否共圆？（演变3）（当a>b时，两曲线有4个交点，这4个交点共圆且是以原点为圆心， 为半径的圆。）
此时再让学生做2001年全国高考题天津卷的一道考题：
变式4、设 ，曲线 和 有4个不同的交点。
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）证明这4个交点共圆，求半径的取值范围。（高考再现）
有了前面的铺垫，学生在做这道题时，已是胸有成竹，很快就做了出来。
在原问题的演变过程中，教师只是做一些提示，然后由学生自己编题，增强学生的参与感，破除学生对问题的神秘感，实现心理换位，使学生能够深刻地理解原问题的数学意义，自由地、发散地创作新问题，使学生思维的广阔性得到了培养。在探求问题解决的过程中，学生的概括能力、迁移能力都会得到提高，同时对数学的本质也会有新的领悟。
3．师生互动、生生互动的“沙龙式”有利于课堂生态的共生性。课堂生态的共生性是指课堂中师生之间、生生之间相互信赖产生一种互惠关系，从而使参与各方都最大限度地实现自我。新课程改革倡导学生主动参与，培养交流与合作能力，倡导师生共同“生长”，在课堂教学中，教师创设一定的问题变式情境，让学生相互讨论，教师参与其中，从而有利于师生互相启发，共同“成长”。
已知数列｛ ｝中， ，，写出数列的前4项。
大家做完后，教师提出：条件不变如何求 ，即
变式1、已知数列｛ ｝中， ， ，求 。
如果按例3的方法，根据已知条件一一求出 是不可行的，促使学生思考通项 ，即
变式2、已知数列｛ ｝中， ， ，求 。
让学生独立思考，自主探究。下面是几个学生的解法记录。
解法1：设 ，即 ，与已知递推式比较得 。
∴ ，∴｛ ｝是以 为首项，以2为公比的等比数列。
∴ ，即∴ 。
解法2： ， ，两式相减得 ，
，
∴ 是以 为首项，以2为公比的等比数列。
∴ ， ，…， 。
相加并整理得 。
解法3：由解法2可知 及 ，联立方程得
注：形如 的递推关系式，均可用上述三种方法处理，我们称三种方法依次为：待定系数等比转化法、递推转化法、方程法。
求出了通项 ， 自然可求了。这时一个学生说出了他的一个变式：
变式3、已知数列｛ ｝中， ， ，求 。
老师给以热情鼓励，并让同学思考解法，有同学从上述解法1得到启示，获解如下：
解：设 ，即
，与已知递推式比较得 。
∴ ，
∴ 是以 为首项，以2为公比的等比数列。
∴ ，即∴ 。
上面同学的变式来源于将变式2中“ ”的“1”（常数）变为“ ”，我们还能作哪些变化呢？同学们积极讨论，给出了以下几种变式：
变式4、已知数列 中， ， ，求 。
变式5、已知数列 中， ， ，求 。
变式6、已知数列 中， ，，求 。
变式7、已知数列 中， ， ，求 。
变式8、已知数列 中， ，，求 。
学生探讨解法，老师给予点评，也可视时间留给学生课后作业。无论如何，学生在问题情境中，提出问题、解决问题的能力都得到了发展。
【关键词】数学 变式教学 生态课堂
Pay attention to changeful teaching and construct zoology class
Li Weilin
【Abstract】According to personal teaching practice, the writer thinks that applying “changeful teaching” in good time helps to construct the zoology class. Changeful teaching based on teachers helps to the holistic quality of the class zoology. Changeful teaching based on students’ participating-type helps to the multiformity of the class zoology. The “salon” teaching based on teacher-student interaction and student-student interaction helps to the symbiosis quality of the class zoology.
【Keywords】Mathematics Changeful teaching Zoology class
生态化教学是近年来教育、教研工作者关注的一个热点。生态化教学就是应用生态观点，使教学系统的各种因素（教师、学生、教材、环境）相互作用、相互沟通，从而生成一个自由、和谐、富有个性的学习生态环境，促进学生和谐、自主发展的教学方式。已有的研究从理论上探索了数学课堂教学生态环境和数学课堂生态教学模式的构建以及生态平衡下实践教学的可行性。笔者根据自身的教学实践，认为适时运用“变式教学”有助于构建生态课堂。
1．以教师为主导的变式有利于课堂生态的整体性。课堂生态的整体性是指在课堂中学生的行为和思维表现是相互联系、相互制约、相互作用的，虽然各个个体存在着差异性，但课堂整体是一个呈现着美丽、稳定而有序的系统。在课堂教学中，教师根据讲授内容采用的由点到面、由特殊到一般的“变式”能照顾到差异的个体，有利于把握问题本质，从而使生态整体受益。
例1、（2000年高考试题）过抛物线 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF和QF和长
分别是p、q，则 等于（ ）
A． B． C． D．
分析：本题怎样求解呢？由于本题是一道选择题，故可用特例法来解。
抛物线的方程为 ，不妨假定 轴，则 ，所以 。故选（C）。
如果把题目改成填空题：
变式1、过抛物线 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF和QF和长分别是m、n，则 ＝_________。
分析：因为只要填出一个答案就行，我们仍然可以借助于特殊情形来解。取 轴，得 ， ，易知 。
变式2、在上述填空题的基础上，将变式1改为证明题。
分析：利用焦半径公式结合韦达定理来求解。
证明：当PQ垂直于x轴时，易证。
当PQ不垂直于x轴时，设PQ的方程为 ，代入抛物线 ，得 。
设 ， ，则由韦达定理及焦半径公式，得，
，∴
对于抛物线的一般情况我们已经研究完了，教师启发学生能否将变式2推广到更一般的情形，于是得到：
变式3、过椭圆 的右焦点F作一直线交椭圆于P、Q两点，若线段PF和FQ和长分别是m、n，求 的值。
解：不妨设 ，过P、Q分别作右准线的垂线，垂足为A、B，过Q、F分别作PA的垂线，垂足为R、T。
∵△QRP与△FTP相似，∴ ，
又 ， ，， ，其中p是焦点到相应准线的距离。
∴ ，∴
∴ 。
至此，可以肯定，在双曲线中也有 。（证明略）
此时，启发学生思考一般规律。
事实上，我们可以将抛物线、椭圆、双曲线中的结论统一成 。
又考虑到三种圆锥曲线统一的极坐标方程，可以有一个统一命题。
这时学生的思维水平升华到更高层次。
变式4、过圆锥曲线的一个焦点F作一直线交圆锥曲线于P、Q两点，若线段PF和FQ和长分别是m、n，则 （其中p是焦点到相应准线的距离）。（证明略）
2．以学生为主体的“参与式”变式有利于课堂生态的多样性。课堂生态的多样性是指课堂中的每一个学生作为生命个体都拥有生存意志、自身特点和权利，其行为和思维表现是丰富多彩的。在课堂教学中，充分发扬教学民主，发挥学生的主体作用，让学生参与到“变式”中来是课堂生态呈现千姿百态的有效方式。
例2：求证两椭圆 ， 的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆的方程（人教版平面解析几何全一册（必修）第81页14题）。
由原题我们知道：两个椭圆之间有上述结论，那么两个双曲线之间是否也有相同的结论呢？学生们马上积极思考，得出了如下的两个命题1、2：
变式1、求证两双曲线 ， 的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆的方程。（演变1）
变式2、求证两双曲线 ， 的交点在以原点为中心的圆周上，并求这个圆的方程。（演变2）
那么这两个命题是否成立呢？我们一起来看一下。
分析：先看1显然不是命题。
再看2，两双曲线的交点坐标(x,y)满足方程组
（1）+（2）得
……（3）
易知当b=a时（1）与（2）是等轴共轭双曲线，没有交点，只有在b>a时两双曲线才有交点，故两双曲线的交点是在以原点为中心的圆周上，且这个圆的方程为 （b>a）。
所以上述命题在类比时应把双曲线的条件加强为b>a。
再进一步引导学生交叉联想，椭圆与双曲线之间会有怎样的结论呢？同学们经过讨论很快得出下面的结果。
变式3、椭圆 与双曲线 是否总有4个交点？这4个交点是否共圆？（演变3）（当a>b时，两曲线有4个交点，这4个交点共圆且是以原点为圆心， 为半径的圆。）
此时再让学生做2001年全国高考题天津卷的一道考题：
变式4、设 ，曲线 和 有4个不同的交点。
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）证明这4个交点共圆，求半径的取值范围。（高考再现）
有了前面的铺垫，学生在做这道题时，已是胸有成竹，很快就做了出来。
在原问题的演变过程中，教师只是做一些提示，然后由学生自己编题，增强学生的参与感，破除学生对问题的神秘感，实现心理换位，使学生能够深刻地理解原问题的数学意义，自由地、发散地创作新问题，使学生思维的广阔性得到了培养。在探求问题解决的过程中，学生的概括能力、迁移能力都会得到提高，同时对数学的本质也会有新的领悟。
3．师生互动、生生互动的“沙龙式”有利于课堂生态的共生性。课堂生态的共生性是指课堂中师生之间、生生之间相互信赖产生一种互惠关系，从而使参与各方都最大限度地实现自我。新课程改革倡导学生主动参与，培养交流与合作能力，倡导师生共同“生长”，在课堂教学中，教师创设一定的问题变式情境，让学生相互讨论，教师参与其中，从而有利于师生互相启发，共同“成长”。
已知数列｛ ｝中， ，，写出数列的前4项。
大家做完后，教师提出：条件不变如何求 ，即
变式1、已知数列｛ ｝中， ， ，求 。
如果按例3的方法，根据已知条件一一求出 是不可行的，促使学生思考通项 ，即
变式2、已知数列｛ ｝中， ， ，求 。
让学生独立思考，自主探究。下面是几个学生的解法记录。
解法1：设 ，即 ，与已知递推式比较得 。
∴ ，∴｛ ｝是以 为首项，以2为公比的等比数列。
∴ ，即∴ 。
解法2： ， ，两式相减得 ，
，
∴ 是以 为首项，以2为公比的等比数列。
∴ ， ，…， 。
相加并整理得 。
解法3：由解法2可知 及 ，联立方程得
注：形如 的递推关系式，均可用上述三种方法处理，我们称三种方法依次为：待定系数等比转化法、递推转化法、方程法。
求出了通项 ， 自然可求了。这时一个学生说出了他的一个变式：
变式3、已知数列｛ ｝中， ， ，求 。
老师给以热情鼓励，并让同学思考解法，有同学从上述解法1得到启示，获解如下：
解：设 ，即
，与已知递推式比较得 。
∴ ，
∴ 是以 为首项，以2为公比的等比数列。
∴ ，即∴ 。
上面同学的变式来源于将变式2中“ ”的“1”（常数）变为“ ”，我们还能作哪些变化呢？同学们积极讨论，给出了以下几种变式：
变式4、已知数列 中， ， ，求 。
变式5、已知数列 中， ， ，求 。
变式6、已知数列 中， ，，求 。
变式7、已知数列 中， ， ，求 。
变式8、已知数列 中， ，，求 。
学生探讨解法，老师给予点评，也可视时间留给学生课后作业。无论如何，学生在问题情境中，提出问题、解决问题的能力都得到了发展。