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摘 要： 讨论了完全零单半群S的夹心阵P和结构群G的交换性对其性质的影响，推广了完全单半群中的相应结果，研究了当S中每个不含零的子带均为左零或者右零带时S中元素的特征，并进一步刻画了完全零单半群幂等元的逆元的分布情况。
关键词： 完全零单半群； 完全单半群； 夹心矩阵
中图分类号： O 152。7 文献标识码： A 文章编号： 10005137（2013）02012005
1 预备知识
众所周知，正则半群是半群代数理论的主要研究对象。完全零单半群是其中最基础的一个子类，它们在正则半群中起着重要的作用。因此，关于这类半群的研究一直受到许多人的重视。在 1928 年，俄国数学家СушкеВич系统地研究了特殊的完全零单半群——有限单半群的结构，可以看做是完全零单半群研究的开始。1940年，Rees。D 讨论了任意完全零单半群的结构。Rees 的结论由 A。H。Clifford 和 G。B。Preston 在其1961的专著中得到了简洁而优美的表述[1]，A。H。Clifford 和 G。B。Preston 称之为 Rees 定理。
由Rees 定理，每一个完全零单半群都同构于一个Rees矩阵半群M0[G；I，Λ；P]。通过对集合I，Λ的分类，可以得到Rees矩阵半群的非零块，并可证明它们是完全 单子半群。进一步将讨论S夹心阵P和结构群G的交换性对S的性质的影响。在文章的第二部分分了3个层次讨论了S的性质。文章的第三部分讨论了完全零单半群与纯正相关的一些性质以及幂等元的逆元的分布情况。
定义1。1 令S是一个半群，E（S）表示其幂等元集合。若e∈E（S），称e为本原幂等元，如果对任意的f∈E（S），ef=fe=f≠0 e=f。 定义1。2 一个含0的半群S叫做null半群，若S中任意两个元素的乘积是0。
定义1。3 不含0的半群S是单的，若S没有真理想。含0的半群S叫做零单半群，若
（i） 除{0}和本身之外不再有其他的理想；
（ii） S2≠{0}。
零单半群S称为完全零单半群， 如果S含有一个本原幂等元。
定义1。4 对所有的i∈i*，λ∈λ*，都有pλ i≠0。则称i*×λ*是夹心矩阵P的一个非零块。反之称为零块。
矩阵P的正则性可以保证对于每一个i*，均存在λ*使得i*×λ*是非零块。
令S是一个半群，元素a∈S称为正则的，如果存在x∈S使得a=axa，若S中每个元素均正则，则称S是一个正则半群。完全（零）单半群是正则半群。S的幂等元集合记作E（S）。正则半群称为纯正的，若E（S）是子半群。对任意的a∈S，如存在 x∈S使得a=axa，x=xax，称x为a的逆元，记a的逆元集合为V（a）。令S是一个半群，定义其上的如下关系，称作格林关系。 aLb S1a=S1b，aRb aS1=bS1，aJb S1aS1=S1bS1，且H=R∩ L，D=LR。 令 a∈S，P为S上的格林关系，Pa表示a所在的P类。
文中未定义的术语和结论，请参看文献[2]，[3]。
2 完全零单半群中结构群G的交换性对S的影响
若一个半群S有如下性质，对于S中的任意元素x，y， 都有xy=yx，称半群S是交换半群（或阿贝尔半群）。设S是一个正则半群，E（S）表示其幂等元集合，则由E（S）生成的子半群称为S的核，记作C（S）。在这一部分主要讨论完全零单半群中的非零块随着夹心阵P和结构群G交换性而产生的变化。假定Rees 矩阵半群S=M0[G；I，Λ；P]，e 是群G的单位元。从P中的元素是可交换的、P包含在G的中心、G是阿贝尔的这3个层面来讨论S非零块的性质。
Hi1 λ4构成子半群，同理可以证明，Hi2 λ3∪ Hi2 λ4，Hi1 λ3∪ Hi2 λ3，Hi1 λ4∪ Hi2 λ4构成子半群。任意的a∈Hi1 λ3，b∈Hi2 λ4，由于pλ4，i2≠0，由引理2。1（2），ab∈Hi1 λ4eq Si1* ×λ3*，从而Si1* ×λ3*构成子半群。又因为Si1* ×λ3*仅有一个D类，所以它是S的一个完全单子半群。
若Si1* ×λ3*构成S的一个零块。则对于任意的i∈i1*，λ∈λ3*，有 pλ i= 0成立。对任意的a，b∈Hi λ，由引理2。1（2）， ab=0。对任意的Hi λ，Hi′ λ′eq Si1* ×λ3*，及a∈Hi λ，b∈Hi′ λ′，由于pλ′ i=0，由引理2。1（2），ab=0。从而，S的每一个零块添零后均为S的一个null子半群。定理证毕。
以下讨论P，G中元素的交换性对完全零单半群S的影响。完全单半群S称为过阿贝尔的， 如果对任意的e∈E（S），He为阿贝尔群。
引理2。2[2] 对于完全单半群S=M[G；I，Λ；P]，若P中的元素是可交换的，则S满足恒等式ax0a0y0a=ay0a0x0a。
定理2。2 若P中的元素是可交换的，则对S的每一个非零块Si* ×λ*，
（1） C（Si* ×λ*）是过阿贝尔的。
（2） 对任意的e，f，g，h∈E（Si* ×λ*），若efHgh， 则有efgh=ghef。
（3） Si* ×λ*作为S的完全单子半群满足恒等式ax0a0y0a=ay0a0x0a。
证明 （1） 设e1，…，em，f1，…，fn∈E（Si* ×λ*），则e1…em，f1…fn∈C（Si* ×λ*）。若e1…emHf1…fn，为方便，不妨取 e1=（i，pλ i-1，λ），em=（j，puj-1，u），f1=（k，pvk-1，v），fn=（l，pθ l-1，θ）。由完全零单半群的乘法及假设条件可知道，i=k，u=θ。不妨假设：e1…em=（i，a，u），f1…fn=（i，b，u）其中a，b均为P中元素或者P中元素作为群G的子群 中元素的逆元的乘积。由条件P中的元素是可交换，进而，P中的元素与子群
中元素的也交换，从而 P中的元素与a，b都交换，故e1…em· f1…fn=（i，apuib，u）=（i，bpuia，u）=f1…fn· e1…em，所以C（Si）是过阿贝尔的。
（2） 由（1）容易得到。（3） 由引理2。2可得。
完全单半群称为中心的，如果任意两个幂等元的乘积落在其所在最大子群的中心里面。
引理2。3[2] 对于完全单半群S=M[G；I，Λ；P]，若P属于是G的中心，则S满足恒等式a0x0a=ax0a0。
定理2。3 若P属于是G的中心，则对S的每一个非零块Si* ×λ*，
（1） Si* ×λ*是中心的。
（2） Si* ×λ*作为S的完全单子半群满足恒等式a0x0a=ax0a0。
证明 （1） 对任意的e，f∈E（Si* ×λ*），令e=（i，pλ i-1，λ），f=（j，puj-1，u），则ef=（i，pλ i-1pλ jpuj-1，u） 。显然Hi μ是包含ef的极大子群。
对任意的a=（i，g，u）∈Hef，因为P是G的中心，a（ef）=（i，g，u）（i，pλ i-1pλ jpuj-1，u）=（i，gpλ i-1pλ jpuj-1，u）=
（i，pλ i-1pλ jpuj-1g，u）=（i，pλ i-1pλ jpuj-1，u）（i，g，u）=（ef）a。 故ef落在包含它的极大子群的中心里面。由e，f的任意性，得证。
（2）由（1）及引理2。3可得。
引理2。4[2] 对于完全单半群S=M[G；I，Λ；P]，若G是阿贝尔的，则S满足恒等式a0xa=axa0。
定理2。4 若G是阿贝尔的，则对S中任意的非零块Si* ×λ*，
（1） Si* ×λ*是过阿贝尔的。
（2） Si* ×λ*作为S的完全单子半群满足恒等式a0xa=axa0。
证明 （1） Si* ×λ*是S的完全单子半群，且它的结构群也为G。完全单半群的每一个H类都同构与G，由于G阿贝尔的， 所以Si* ×λ*是过阿贝尔的。
（2） 由（1）及引理2。4可得。
3 纯正性质
正则半群S称为纯正的，如果幂等元集合E（S）构成子半群。特别的，对于完全零单半群S=M0[G；I，Λ；P]，若S纯正， 则任意的e=（i，p-1λ i，λ），f=（j，p-1u j，u）∈E（S）（此处pλ i，pu j≠0），由引理2。1可得两种情形成立：
情形1： （i，p-1λ i，λ）（j，p-1u j，u）=0 ，即pλ j=pu i=0。
情形2：（i，p-1λ i，λ）（j，p-1u j，u）= （i，p-1u i，u）， 即p-1λ ipλ jp-1u jpu i=e。
定理3。1 令S=M0[G； I，Λ； P]为一个完全零单半群，且S是纯正半群。对任意的i，j ∈I，λ，u ∈Λ，若 pλ i，pu j≠0，则pλ j=pu i=0 或者p-1λ ipλ jp-1u jpu i=e。 证明 必要性显然，只需证明充分性。
对于任意的 （i，p-1λ i，λ），（j，p-1u j，u）∈E（S） ，有
若 pλ j=0，则 （i，p-1λ i，λ）（j，p-1u j，u）=0 ，即 S 是纯正的；
若 p-1u ipλ jpu j-1pu i=e，则 （i，p-1λ i，λ）（j，p-1u j，u）=（i，p-1λ ipλ jp-1u j，u）=（i，p-1u i，u）∈E（S），故 S 是纯正的。定理证毕。
定理 3。2 令 S=M0[G； I，Λ； P] 为一个完全零单半群。若 S 中每一个不含零的带均为左零或者右零带，当且仅当对任意的i，j∈I， λ，u∈Λ，若p-1λ ipλ jp-1u jpu i=e，则必有λ=u或者i=j成立。
证明 必要性：对任意的i，j∈I， λ，u∈Λ，若p-1λ ipλ jp-1u jpu i=e，则 pλ i，pλ j，pu j，pu i≠0 。令e=（i，pλ i-1，λ），f=（i，pu i-1，u），g=（j，pλ j-1，λ），h=（j，pu i-1，u），因为eh=（i，pλ i-1pλ jpu j-1，u）=（i，pu i-1，u）=f。gf=（j，pλ j-1pλ ipu i-1，u）=（i，pu j-1，u）=h。同样的方法，可以证明其他情形，从而证明了B={e，f，g，h}为一个子带，且 B 中不含零。
当 B 为左零带时， eh=（i，pu i-1，u）=（i，pλ i-1，λ）=e，因此 λ=u；
当 B 为右零带时， eh=（i，pu i-1，u）=（j，pu j-1，u）=h ，因此 i=j。
充分性：假设B是S中不含零的子带，令 e=（i，p-1λ i，λ），f=（j，p-1u j，u）∈B且 e≠f，则由引理2。1，可知ef=（i，pλ i-1pλ j pu j-1，u）=（i，pu i-1，u） ，即p-1λ ipλ jp-1u jpu i=e。 又因为 λ=u 或者 i=j，不妨设 λ=u 且 i≠j，即 e L f。下证对任意的 g∈B，有 g L e 成立。
令 g=（k，p-1ξ k，ξ）∈B且g≠e，f。重复上面计算过程计算ge，可得 k=i，ξ≠λ 或者 k≠i，ξ=λ ， 重复上面过程计算 gf，结合λ=u，可得k=j，ξ≠λ 或者 k≠j，ξ=λ 。由（3。1），（3。2）可知ξ=λ=u，即 g L e。从而 B 为左零带。类似的，若λ≠u且i= j，则B为右零带。定理证毕。 下面考虑S中幂等元的逆元。0的逆元有且仅有为0本身。令e=（i，pλ i-1，λ）∈E（S）， 若 a=（j，h，u）∈V（e）， 则 eae=e，即：（i，pλ i-1，λ）（j，h，u）（i，pλ i-1，λ）=（i，pλ i-1pλ jhpu ipλ i-1，λ）=（i，pλ i-1，λ）。则 pλ jhpu ipλ i-1=e，也就是说 h=pλ j-1pλ ipu i-1。同理，由aea=a，也可以得到h=pλ j-1pλ ipu i-1。因此可以得出任意幂等元 e 的逆元。
定理 3。3 令 S=M0[G； I，Λ； P] 为一个完全零单半群。若e=（i，pλ i-1，λ）∈E（S），对任意的pλ j≠0，pu i≠0，令h=pλ j-1pλ ipu i-1，V（e）={（j，h，u）| pλ j≠0，pu i≠0}。 证明 对任意的pλ j≠0，pu i≠0，令h=pλ j-1pλ ipu i-1，容易验证（j，h，u）∈V（e）。反方面已证。
完全单半群S称为矩形群，如果S是纯正的。众所周知，若S是纯正半群，则V（e）eq E（S）。
定理 3。4 令 S=M0[G；I，Λ；P] 为一个完全零单半群。若S纯正的，对于 S 中的任意幂等元 e=（i，p-1λ i，λ）， V（e）={（j，p-1u j，u）| pλ j≠0，pu i≠0}。则 e 的所有逆元所在的H类的并∪He′ 是包含e 的最大矩形群，其中e′∈V（e）。
证明 由定理3。3及S的纯正性，V（e）={（j，p-1u j，u）| pλ j≠0，pu i≠0}。下证后一个论断，不失一般性，令f=（i1，p-1λ1 i1，λ1），g=（i2，p-1λ2 i2，λ2）∈V（e），记I′={i，i1，i2}eq I，Λ′={λ，λ1，λ2}eq Λ。因为 f∈V（e），则 pλ i1≠0，pλ1 i≠0。同理因为g∈V（e），则 pλ i2≠0，pλ2 i≠0。另一方面，记（i1，p-1λ i1，λ）=e1，（i，p-1λ1 i，λ1）=f1，（i2，p-1λ i2，λ）=e2，（i，p-1λ2 i，λ2）=f2，则显然有e1，f1，e2，f2为e的逆元。进一步， 因为Hi1 λ，Hi1 λ1，Hi2 λ都是群H类，由引理2。1（2），Hi2 λ1也是群H类，且e3=（i2，p-1λ1 i2，λ1）∈V（e）。同理Hi1 λ2也是群H类，且f3=（i1，p-1λ2 i1，λ2）∈V（e）。故对任意的i′∈I′，λ′∈Λ′，（i′，p-1λ′ i′，λ′）∈V（e）。且∪Hi′λ′是S的一个完全单子半群，由S的纯正性，∪Hi′λ′是一个矩形群。最大性为显然。定理证毕。
参考文献：
[1] CLIFFORD A H，PRESTON G B。 The algebraic theory of semigoups[M]。Rhode Island：Mathematical Surveys of the American Mathematical Society，No7 Providence，R I ，1961。
[2] PETRICH M，REILLY N。 Completely Regular Semigroups[M]。New York： John Wiley & Sons Inc，1999。
[3] HOWIE J M。Fundamental of Semigruop Theory[M]。Oxford：Oxford Clarendon Press，1995。
Some properties of completely 0simple semigroups
CUI Jufen， ZHANG Jiangang
（College of Mathematics and Sciences，Shanghai Normal University，Shanghai 200234，China）
Abstract： We consider the properties of completely 0-simple semigroup S when the sandwich matrix P and G are Abelian， and generalize the corresponding results for completely simple semigroups。The elements of S are characterized if the subband of S is a left zero band or a right zero band。 And then we characterize the inverses of idempotents of S。
Key words： completely 0-simple semigroup； completely simple semigroup； sandwich matrix
（责任编辑：冯珍珍）
关键词： 完全零单半群； 完全单半群； 夹心矩阵
中图分类号： O 152。7 文献标识码： A 文章编号： 10005137（2013）02012005
1 预备知识
众所周知，正则半群是半群代数理论的主要研究对象。完全零单半群是其中最基础的一个子类，它们在正则半群中起着重要的作用。因此，关于这类半群的研究一直受到许多人的重视。在 1928 年，俄国数学家СушкеВич系统地研究了特殊的完全零单半群——有限单半群的结构，可以看做是完全零单半群研究的开始。1940年，Rees。D 讨论了任意完全零单半群的结构。Rees 的结论由 A。H。Clifford 和 G。B。Preston 在其1961的专著中得到了简洁而优美的表述[1]，A。H。Clifford 和 G。B。Preston 称之为 Rees 定理。
由Rees 定理，每一个完全零单半群都同构于一个Rees矩阵半群M0[G；I，Λ；P]。通过对集合I，Λ的分类，可以得到Rees矩阵半群的非零块，并可证明它们是完全 单子半群。进一步将讨论S夹心阵P和结构群G的交换性对S的性质的影响。在文章的第二部分分了3个层次讨论了S的性质。文章的第三部分讨论了完全零单半群与纯正相关的一些性质以及幂等元的逆元的分布情况。
定义1。1 令S是一个半群，E（S）表示其幂等元集合。若e∈E（S），称e为本原幂等元，如果对任意的f∈E（S），ef=fe=f≠0 e=f。 定义1。2 一个含0的半群S叫做null半群，若S中任意两个元素的乘积是0。
定义1。3 不含0的半群S是单的，若S没有真理想。含0的半群S叫做零单半群，若
（i） 除{0}和本身之外不再有其他的理想；
（ii） S2≠{0}。
零单半群S称为完全零单半群， 如果S含有一个本原幂等元。
定义1。4 对所有的i∈i*，λ∈λ*，都有pλ i≠0。则称i*×λ*是夹心矩阵P的一个非零块。反之称为零块。
矩阵P的正则性可以保证对于每一个i*，均存在λ*使得i*×λ*是非零块。
令S是一个半群，元素a∈S称为正则的，如果存在x∈S使得a=axa，若S中每个元素均正则，则称S是一个正则半群。完全（零）单半群是正则半群。S的幂等元集合记作E（S）。正则半群称为纯正的，若E（S）是子半群。对任意的a∈S，如存在 x∈S使得a=axa，x=xax，称x为a的逆元，记a的逆元集合为V（a）。令S是一个半群，定义其上的如下关系，称作格林关系。 aLb S1a=S1b，aRb aS1=bS1，aJb S1aS1=S1bS1，且H=R∩ L，D=LR。 令 a∈S，P为S上的格林关系，Pa表示a所在的P类。
文中未定义的术语和结论，请参看文献[2]，[3]。
2 完全零单半群中结构群G的交换性对S的影响
若一个半群S有如下性质，对于S中的任意元素x，y， 都有xy=yx，称半群S是交换半群（或阿贝尔半群）。设S是一个正则半群，E（S）表示其幂等元集合，则由E（S）生成的子半群称为S的核，记作C（S）。在这一部分主要讨论完全零单半群中的非零块随着夹心阵P和结构群G交换性而产生的变化。假定Rees 矩阵半群S=M0[G；I，Λ；P]，e 是群G的单位元。从P中的元素是可交换的、P包含在G的中心、G是阿贝尔的这3个层面来讨论S非零块的性质。
Hi1 λ4构成子半群，同理可以证明，Hi2 λ3∪ Hi2 λ4，Hi1 λ3∪ Hi2 λ3，Hi1 λ4∪ Hi2 λ4构成子半群。任意的a∈Hi1 λ3，b∈Hi2 λ4，由于pλ4，i2≠0，由引理2。1（2），ab∈Hi1 λ4eq Si1* ×λ3*，从而Si1* ×λ3*构成子半群。又因为Si1* ×λ3*仅有一个D类，所以它是S的一个完全单子半群。
若Si1* ×λ3*构成S的一个零块。则对于任意的i∈i1*，λ∈λ3*，有 pλ i= 0成立。对任意的a，b∈Hi λ，由引理2。1（2）， ab=0。对任意的Hi λ，Hi′ λ′eq Si1* ×λ3*，及a∈Hi λ，b∈Hi′ λ′，由于pλ′ i=0，由引理2。1（2），ab=0。从而，S的每一个零块添零后均为S的一个null子半群。定理证毕。
以下讨论P，G中元素的交换性对完全零单半群S的影响。完全单半群S称为过阿贝尔的， 如果对任意的e∈E（S），He为阿贝尔群。
引理2。2[2] 对于完全单半群S=M[G；I，Λ；P]，若P中的元素是可交换的，则S满足恒等式ax0a0y0a=ay0a0x0a。
定理2。2 若P中的元素是可交换的，则对S的每一个非零块Si* ×λ*，
（1） C（Si* ×λ*）是过阿贝尔的。
（2） 对任意的e，f，g，h∈E（Si* ×λ*），若efHgh， 则有efgh=ghef。
（3） Si* ×λ*作为S的完全单子半群满足恒等式ax0a0y0a=ay0a0x0a。
证明 （1） 设e1，…，em，f1，…，fn∈E（Si* ×λ*），则e1…em，f1…fn∈C（Si* ×λ*）。若e1…emHf1…fn，为方便，不妨取 e1=（i，pλ i-1，λ），em=（j，puj-1，u），f1=（k，pvk-1，v），fn=（l，pθ l-1，θ）。由完全零单半群的乘法及假设条件可知道，i=k，u=θ。不妨假设：e1…em=（i，a，u），f1…fn=（i，b，u）其中a，b均为P中元素或者P中元素作为群G的子群 中元素的逆元的乘积。由条件P中的元素是可交换，进而，P中的元素与子群
中元素的也交换，从而 P中的元素与a，b都交换，故e1…em· f1…fn=（i，apuib，u）=（i，bpuia，u）=f1…fn· e1…em，所以C（Si）是过阿贝尔的。
（2） 由（1）容易得到。（3） 由引理2。2可得。
完全单半群称为中心的，如果任意两个幂等元的乘积落在其所在最大子群的中心里面。
引理2。3[2] 对于完全单半群S=M[G；I，Λ；P]，若P属于是G的中心，则S满足恒等式a0x0a=ax0a0。
定理2。3 若P属于是G的中心，则对S的每一个非零块Si* ×λ*，
（1） Si* ×λ*是中心的。
（2） Si* ×λ*作为S的完全单子半群满足恒等式a0x0a=ax0a0。
证明 （1） 对任意的e，f∈E（Si* ×λ*），令e=（i，pλ i-1，λ），f=（j，puj-1，u），则ef=（i，pλ i-1pλ jpuj-1，u） 。显然Hi μ是包含ef的极大子群。
对任意的a=（i，g，u）∈Hef，因为P是G的中心，a（ef）=（i，g，u）（i，pλ i-1pλ jpuj-1，u）=（i，gpλ i-1pλ jpuj-1，u）=
（i，pλ i-1pλ jpuj-1g，u）=（i，pλ i-1pλ jpuj-1，u）（i，g，u）=（ef）a。 故ef落在包含它的极大子群的中心里面。由e，f的任意性，得证。
（2）由（1）及引理2。3可得。
引理2。4[2] 对于完全单半群S=M[G；I，Λ；P]，若G是阿贝尔的，则S满足恒等式a0xa=axa0。
定理2。4 若G是阿贝尔的，则对S中任意的非零块Si* ×λ*，
（1） Si* ×λ*是过阿贝尔的。
（2） Si* ×λ*作为S的完全单子半群满足恒等式a0xa=axa0。
证明 （1） Si* ×λ*是S的完全单子半群，且它的结构群也为G。完全单半群的每一个H类都同构与G，由于G阿贝尔的， 所以Si* ×λ*是过阿贝尔的。
（2） 由（1）及引理2。4可得。
3 纯正性质
正则半群S称为纯正的，如果幂等元集合E（S）构成子半群。特别的，对于完全零单半群S=M0[G；I，Λ；P]，若S纯正， 则任意的e=（i，p-1λ i，λ），f=（j，p-1u j，u）∈E（S）（此处pλ i，pu j≠0），由引理2。1可得两种情形成立：
情形1： （i，p-1λ i，λ）（j，p-1u j，u）=0 ，即pλ j=pu i=0。
情形2：（i，p-1λ i，λ）（j，p-1u j，u）= （i，p-1u i，u）， 即p-1λ ipλ jp-1u jpu i=e。
定理3。1 令S=M0[G； I，Λ； P]为一个完全零单半群，且S是纯正半群。对任意的i，j ∈I，λ，u ∈Λ，若 pλ i，pu j≠0，则pλ j=pu i=0 或者p-1λ ipλ jp-1u jpu i=e。 证明 必要性显然，只需证明充分性。
对于任意的 （i，p-1λ i，λ），（j，p-1u j，u）∈E（S） ，有
若 pλ j=0，则 （i，p-1λ i，λ）（j，p-1u j，u）=0 ，即 S 是纯正的；
若 p-1u ipλ jpu j-1pu i=e，则 （i，p-1λ i，λ）（j，p-1u j，u）=（i，p-1λ ipλ jp-1u j，u）=（i，p-1u i，u）∈E（S），故 S 是纯正的。定理证毕。
定理 3。2 令 S=M0[G； I，Λ； P] 为一个完全零单半群。若 S 中每一个不含零的带均为左零或者右零带，当且仅当对任意的i，j∈I， λ，u∈Λ，若p-1λ ipλ jp-1u jpu i=e，则必有λ=u或者i=j成立。
证明 必要性：对任意的i，j∈I， λ，u∈Λ，若p-1λ ipλ jp-1u jpu i=e，则 pλ i，pλ j，pu j，pu i≠0 。令e=（i，pλ i-1，λ），f=（i，pu i-1，u），g=（j，pλ j-1，λ），h=（j，pu i-1，u），因为eh=（i，pλ i-1pλ jpu j-1，u）=（i，pu i-1，u）=f。gf=（j，pλ j-1pλ ipu i-1，u）=（i，pu j-1，u）=h。同样的方法，可以证明其他情形，从而证明了B={e，f，g，h}为一个子带，且 B 中不含零。
当 B 为左零带时， eh=（i，pu i-1，u）=（i，pλ i-1，λ）=e，因此 λ=u；
当 B 为右零带时， eh=（i，pu i-1，u）=（j，pu j-1，u）=h ，因此 i=j。
充分性：假设B是S中不含零的子带，令 e=（i，p-1λ i，λ），f=（j，p-1u j，u）∈B且 e≠f，则由引理2。1，可知ef=（i，pλ i-1pλ j pu j-1，u）=（i，pu i-1，u） ，即p-1λ ipλ jp-1u jpu i=e。 又因为 λ=u 或者 i=j，不妨设 λ=u 且 i≠j，即 e L f。下证对任意的 g∈B，有 g L e 成立。
令 g=（k，p-1ξ k，ξ）∈B且g≠e，f。重复上面计算过程计算ge，可得 k=i，ξ≠λ 或者 k≠i，ξ=λ ， 重复上面过程计算 gf，结合λ=u，可得k=j，ξ≠λ 或者 k≠j，ξ=λ 。由（3。1），（3。2）可知ξ=λ=u，即 g L e。从而 B 为左零带。类似的，若λ≠u且i= j，则B为右零带。定理证毕。 下面考虑S中幂等元的逆元。0的逆元有且仅有为0本身。令e=（i，pλ i-1，λ）∈E（S）， 若 a=（j，h，u）∈V（e）， 则 eae=e，即：（i，pλ i-1，λ）（j，h，u）（i，pλ i-1，λ）=（i，pλ i-1pλ jhpu ipλ i-1，λ）=（i，pλ i-1，λ）。则 pλ jhpu ipλ i-1=e，也就是说 h=pλ j-1pλ ipu i-1。同理，由aea=a，也可以得到h=pλ j-1pλ ipu i-1。因此可以得出任意幂等元 e 的逆元。
定理 3。3 令 S=M0[G； I，Λ； P] 为一个完全零单半群。若e=（i，pλ i-1，λ）∈E（S），对任意的pλ j≠0，pu i≠0，令h=pλ j-1pλ ipu i-1，V（e）={（j，h，u）| pλ j≠0，pu i≠0}。 证明 对任意的pλ j≠0，pu i≠0，令h=pλ j-1pλ ipu i-1，容易验证（j，h，u）∈V（e）。反方面已证。
完全单半群S称为矩形群，如果S是纯正的。众所周知，若S是纯正半群，则V（e）eq E（S）。
定理 3。4 令 S=M0[G；I，Λ；P] 为一个完全零单半群。若S纯正的，对于 S 中的任意幂等元 e=（i，p-1λ i，λ）， V（e）={（j，p-1u j，u）| pλ j≠0，pu i≠0}。则 e 的所有逆元所在的H类的并∪He′ 是包含e 的最大矩形群，其中e′∈V（e）。
证明 由定理3。3及S的纯正性，V（e）={（j，p-1u j，u）| pλ j≠0，pu i≠0}。下证后一个论断，不失一般性，令f=（i1，p-1λ1 i1，λ1），g=（i2，p-1λ2 i2，λ2）∈V（e），记I′={i，i1，i2}eq I，Λ′={λ，λ1，λ2}eq Λ。因为 f∈V（e），则 pλ i1≠0，pλ1 i≠0。同理因为g∈V（e），则 pλ i2≠0，pλ2 i≠0。另一方面，记（i1，p-1λ i1，λ）=e1，（i，p-1λ1 i，λ1）=f1，（i2，p-1λ i2，λ）=e2，（i，p-1λ2 i，λ2）=f2，则显然有e1，f1，e2，f2为e的逆元。进一步， 因为Hi1 λ，Hi1 λ1，Hi2 λ都是群H类，由引理2。1（2），Hi2 λ1也是群H类，且e3=（i2，p-1λ1 i2，λ1）∈V（e）。同理Hi1 λ2也是群H类，且f3=（i1，p-1λ2 i1，λ2）∈V（e）。故对任意的i′∈I′，λ′∈Λ′，（i′，p-1λ′ i′，λ′）∈V（e）。且∪Hi′λ′是S的一个完全单子半群，由S的纯正性，∪Hi′λ′是一个矩形群。最大性为显然。定理证毕。
参考文献：
[1] CLIFFORD A H，PRESTON G B。 The algebraic theory of semigoups[M]。Rhode Island：Mathematical Surveys of the American Mathematical Society，No7 Providence，R I ，1961。
[2] PETRICH M，REILLY N。 Completely Regular Semigroups[M]。New York： John Wiley & Sons Inc，1999。
[3] HOWIE J M。Fundamental of Semigruop Theory[M]。Oxford：Oxford Clarendon Press，1995。
Some properties of completely 0simple semigroups
CUI Jufen， ZHANG Jiangang
（College of Mathematics and Sciences，Shanghai Normal University，Shanghai 200234，China）
Abstract： We consider the properties of completely 0-simple semigroup S when the sandwich matrix P and G are Abelian， and generalize the corresponding results for completely simple semigroups。The elements of S are characterized if the subband of S is a left zero band or a right zero band。 And then we characterize the inverses of idempotents of S。
Key words： completely 0-simple semigroup； completely simple semigroup； sandwich matrix
（责任编辑：冯珍珍）