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数学离不开解题，数学教学有重视解题的悠久传统，人们相信，掌握数学的一个重要标志就是善于解题。但是这种重视主要表现在操作层面，如“模仿＋练习”、勤学苦练、熟能生巧等，还缺少“解题策略”的科学指导。在中学数学学习中，存在一个十分普遍却又找不到有效的解决办法——会解题的不知道怎么就会了，不会解题的更不知道怎么就学不会。
建构主义教学观认为，在教学过程中，教师的责任是对学生的学习进行引导和帮助。帮助学生在主体自身的经验范围内重新组织内部的认知结构，以“适应”现实，建构起对内容和意义的理解。本研究对一位高三学习困难生解答数学题目的情况进行追踪研究，试图发现他解题过程的特点、知识的缺陷、题目解答不了的原因；然后有针对性地给予解题指导，帮助他建构起自己对题意的理解和题目的解答。通过此个案研究，笔者试图总结出指导学习困难生解答数学题目的一些策略性建议。
一、数学解题策略的思维基础
学生数学解题的策略是为了实现解题目标而采取的方针。解题策略介于具体的求解方法与抽象的解题思想之间，是思想转化为操作的桥梁。作为策略，一方面它是用来具体指导解题的方法；另一方面它又是运用解题方法的方法、寻找解题方法的方法、创造解题方法的方法。解题策略的思维基础是逻辑思维、形象思维、直觉思维的共同作用，离开逻辑是不行的，单靠逻辑是不够的。如果把解题策略理解为选择与组合的一系列规则，那么这些规则应该具有迅速找到较优解题操作的基本功能，能够减少尝试或失败的次数，能够节省探索的时间和缩短解题的长度，体现出选择的机智和组合的艺术。
二、数学解题策略建构的个案呈现
W是位高三年级男生，父母重视其学习，而W本人学习态度较好，基本能按要求完成学习任务，但学习效果欠佳。究竟什么原因造成他学习效果上的问题呢？他在学习过程中有哪些具体的特点呢？如何去指导他的学习呢？究竟有哪些指导策略呢？以下将通过案例来呈现本研究。
案例一：如图，是某汽车维修公司的维修点环形分布图。公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件。在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（ ）。
（A）15（B）16（C）17（D）18
W很快就得出了答案：由A调10件到D，由B调5件到C，由C调1件到D。选（B）。这也正是好些资料给出的答案。选（B）是正确的，高考可以得满分。但这算不算一次成功的解题呢？笔者认为这是典型的“会而不对，对而不全”。为了使W真正理解这道题的内涵并能够举一反三，笔者尝试以启发性问答来帮助他建构起对此类题的内部认知。
教师（以下简称T）：能说说调运方案产生的由来吗？
W：因为A，B的配件都要减少，C，D的配件都要增加，所以从A调配10件到D，从B调配5件到C，这时A，B已调配到位，而C多了1件，D还少1件，故再从C调配1件到D。
T：说得很好，确实把你调运方案的由来说清楚了。但是，为什么16是最少的呢？为什么要“从A调配10件到D”呢？
W：（意外，为难，笑一笑）我感到由A给D少了不行，由B给C少了也不行，由C给D恰好1件、多了少了都不行。所以，16应是最少的。
T：这是否意味着这个“最少的调运方案”是“不能更改”的，惟一的？
W：可能是吧，“最少的”应该是惟一的吧。不过，“最少值惟一”，取“最少值”的途径倒是可以不唯一，问题是本例的方案很可能是惟一的。让我想想。
……（思考良许，没有进展，教师作启发）
T：让我们还回到“为什么要从A调配10件到D”的问题上来，你刚才说“A给D不能少于10件”是吗？对的，因为那样一来，A多于40件，就还得给B调配，而B是要减少的，B就还得给C调配，由于D还没够61件，C就还得给D调配，相当于A的配件经过B、C到D，增加了“重复调配”（或说“中转量”）的件次，所以“A给D不能少于10件”。那么，A给D多于10件行不行？
W：多于10件的话？那A就不够40件了，若拿B再补上，这会不会增加“重复调配”的件次，从而不是“最少的”调运方案。
T：试试看，当初你的调运方案中C也是不够的，补充了B的5件之后，才有多出的1件运到D。如果不“重复调配”的话，由A调10件到D，由B调4件到C并直接由B调1件到D，共计10＋4＋1＝15件次就够了，问题是，这与“调整只能在相邻维修点之间进行”不符。
W：（高兴）对了，由A调11件到D，由B调1件到A且调4件到C，这也是16件次。（很快晴转阴）不过，这样一来，还真成问题了，会不会还有第三个方案也是16件次，会不会还有一个我没有想到的方案、15件次就能完成？老师，15到底行不行？
……
对话环绕着y取最少值16的两个要求展开：（1）任意情况下y≥16，（2）存在一个方案使y＝16。其中遗漏“任意情况下y≥16”是“会而不对，对而不全”的根源，现在，通过启发，学生已经自己找出问题、自觉提出问题了，这正是对话的目的。接下来，我们得出问题的一般性解法，作为这个讨论的结束。
设维修站A向维修站B调动的配件数为XB，当XB＞0时，表示调配按逆时针方向进行；当XB＜0时，表示调配按顺时针方向进行；当XB＝0时表示A，B之间无调入调出。XC，XD，XA含义相同。有
A处:50＋XA－XB＝40；B处:50＋XB－XC＝45；C处:50＋XC－XD＝54；D处:50＋XD－XA＝61
可以推出：XA＝XB－10，XC＝XB＋5，XD＝XC－4＝XB＋1
调配的总件次为
y＝|XA|＋|XB|＋|XC|＋|XD|
＝|XB－10|＋|XB|＋|XB＋5|＋|XB＋1|
≥|(XB－10)－(XB＋5)|＋|XB－(XB＋1)|
＝15＋1＝16
当-5≤XB≤10或-1≤XB≤0时，不等式取等号，得y取到最小值16有两个方案：
（1）XB＝0,XA＝-10,XC＝5,XD＝1, 即由A调10件到D，由B调5件到C，由C调1件到D；
（2）XB＝-1,XA＝-11,XC＝4,XD＝0,即由A调11件到D，由B调1件到A，由B调4件到C。
案例二：已知定点A(3，0)，P是单位圆x2＋y2＝1上的动点，∠AOP的平分线交PA于M，求M点的轨迹方程。
W画出图形（这说明他懂得利用图形帮助思考），流露出不想做的神情（这说明他解题的积极性不高，碰到困难容易低头，缺乏钻研精神。）在指导教师的鼓励下，他终于继续思考下去。
W：AM是不是等于PM（这说明他对题意理解不清）
T：已知的是角平分线。
W：∠POM＝∠MOA，角平分线有什么性质？（他想利用已知条件，又不知道如何利用，这说明他现有的相关知识比较贫乏。）
T：PM:MA＝PO:OA
W：所以他写出了PO＝1，OA＝3，PM:AM＝1:3（这说明他定比分点的概念模糊）
T：AM与MA不一样，它们表示数量不是距离。
W：噢，那么PM:MA＝1:3。点P在圆上运动都有这个式子吗？
T：是的。
过一会儿，没什么动静，我忍不住了。
T：点M的轨迹知道吗？（我以为他会说不知道，然后把他引导到求轨迹方程的方法上：未知轨迹的类型，求轨迹方程一般可用轨迹法，即设M（x, y），然后列x、y的关系式。）
W：轨迹是椭圆。
T：为什么？
W：P点在几个特殊位置时，M点的位置好像在椭圆上，所以猜椭圆。
T：很好。但你必须证明你的猜想，也就是说你必须求出M的轨迹方程后才知道猜想是否正确。（虽然结论错，但他懂得用特殊位置去作猜想，这种想法应该鼓励。这也说明他能用运动观点思考问题）。是不是可以设点M？
W：坐标（x,y）
T：要x、y干什么？
W：列x、y的关系式。
T：很好，那你列出关系式来吧。（这说明他懂得求轨迹方程是求出点的坐标x,y的关系，应该加以肯定）。
过了一会儿，他说不懂（这表明他不懂利用PM:MA＝1:3来列x,y的关系，不懂它的几何意义）。
T：是不是可以用坐标表示PM:MA＝1:3？
W：是不是还要设P的坐标？
T：是的。
W：那就设P（x1,y1）。但还是写不出来（原来他用坐标表示数量还不懂）。
T：终点减起点。
W：(x－x1):(3－x)＝1:3，(y－y1):(0－y)＝1:3，x1＝2x－1，y1＝4y，将x1、y1代入圆方程得(2x－1)2＋(4y)2＝1，并化简为x2－x＋4y2＝0。
T：如果按你的结论，的确是椭圆，但运算过程有错。（经重新计算，才算对结论。）（值得高兴的是他用了代入法求x,y的关系，遗憾的是他总是算错！）
从整个数学活动过程来看，教师参与活动的程度比较大，指导的次数比较多，学生自我表现出来的知识比较少。这说明本问题与该生的实际水平有一定的距离。同时也看到，该生的知识缺陷较严重，转化能力、运算能力较差。W的直观形象思维能力不弱，表现在他画图正确，且能利用图形运动作猜想，这也说明他有数形结合思想和运动观点。此外他基本懂得求点的轨迹方程实质上是求点的坐标x,y的关系，懂得用动点在圆上，它的坐标适合方程，来建立x,y的关系，其实这是用代入法求轨迹方程的方法。
从他参与数学活动的态度来看，一开始他就知难而退，可能是要用到的知识多数不懂，没有信心，但在教师的帮助下及时补上了相关的知识后，还能主动思考，积极提问，克服重重困难，理清了解题思路和解题过程。这说明他能接受外围信息，逐步克服困难，重新组织内部的认知结构。但花费的时间较多，学习的效率较低。
三、进一步的分析及策略建议
经过对以上两个案例多次的辅导了解和深入分析，笔者认为W等类学生的学习有如下特点：
1.知识结构：基本概念多数模糊不清，知识结构不完整；
2.思维能力：直观思维强过抽象思维，思维方法比较单一；
3.经验题感：缺乏一定的解题训练，没有足够的解题经验；
4.情感态度：对数学的学习兴趣不高，缺乏知难而进的意志；
5.能力因素：运算、推理能力较差，联想、转化能力较弱。
根据此类学生的学习特点，笔者认为指导学生分析典型例题的解题过程是学会解题、形成解题策略的有效途径，至少在没有找到更好的途径之前，这是一个无以替代的好主意。在建构主义理论的指导下，笔者根据自身研究的经验，初步总结出“学会解题的四步骤”：
第1步：简单模仿。即模仿教师或教科书的示范去解决一些识记性的问题。
第2步：变式练习。即在简单模仿的基础上迈出主动实践的一步，做足够数量、形式变化（干扰性）的习题，本质上是进行操作性活动与初步应用。
第3步：自发领悟。即在模仿性练习与干扰性练习的基础上产生理解——解题知识的内化（包括结构化、网络化和丰富联系）。
第4步：自觉分析。即对解题过程进行自觉反思，使理解进入到深层结构。
这四个阶段与数学学习的一般过程是吻合的，但由于数学解题是一种创造性活动，因而，它只是符合“钥匙原理”，而非打开一切题目大门的万能钥匙。
当前的重点应是加强第4步的教学与研究。这是一个通过已知学未知、通过分析“怎样解题”而领悟“怎样学会解题”的过程，也是一个理解从自发到自觉、从被动到主动、从感性到理性、从“基础”到创新、从内隐到外显的飞跃阶段，操作上通常要经历整体分解与信息交合两个步骤。这个阶段与解题书写的最后一个环节（检查验算）是有区别的，它不仅反思计算是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解法是否还有更多更简单的途径等，而且要提炼怎样解题和怎样学会解题的理论启示（有构建“数学解题学”的前景）。相对于认知结构的改变而言，这一步具有形成并强化新认知结构的功能。
（作者单位：北京昌平一中）
（责任编校：扬子）
建构主义教学观认为，在教学过程中，教师的责任是对学生的学习进行引导和帮助。帮助学生在主体自身的经验范围内重新组织内部的认知结构，以“适应”现实，建构起对内容和意义的理解。本研究对一位高三学习困难生解答数学题目的情况进行追踪研究，试图发现他解题过程的特点、知识的缺陷、题目解答不了的原因；然后有针对性地给予解题指导，帮助他建构起自己对题意的理解和题目的解答。通过此个案研究，笔者试图总结出指导学习困难生解答数学题目的一些策略性建议。
一、数学解题策略的思维基础
学生数学解题的策略是为了实现解题目标而采取的方针。解题策略介于具体的求解方法与抽象的解题思想之间，是思想转化为操作的桥梁。作为策略，一方面它是用来具体指导解题的方法；另一方面它又是运用解题方法的方法、寻找解题方法的方法、创造解题方法的方法。解题策略的思维基础是逻辑思维、形象思维、直觉思维的共同作用，离开逻辑是不行的，单靠逻辑是不够的。如果把解题策略理解为选择与组合的一系列规则，那么这些规则应该具有迅速找到较优解题操作的基本功能，能够减少尝试或失败的次数，能够节省探索的时间和缩短解题的长度，体现出选择的机智和组合的艺术。
二、数学解题策略建构的个案呈现
W是位高三年级男生，父母重视其学习，而W本人学习态度较好，基本能按要求完成学习任务，但学习效果欠佳。究竟什么原因造成他学习效果上的问题呢？他在学习过程中有哪些具体的特点呢？如何去指导他的学习呢？究竟有哪些指导策略呢？以下将通过案例来呈现本研究。
案例一：如图，是某汽车维修公司的维修点环形分布图。公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件。在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（ ）。
（A）15（B）16（C）17（D）18
W很快就得出了答案：由A调10件到D，由B调5件到C，由C调1件到D。选（B）。这也正是好些资料给出的答案。选（B）是正确的，高考可以得满分。但这算不算一次成功的解题呢？笔者认为这是典型的“会而不对，对而不全”。为了使W真正理解这道题的内涵并能够举一反三，笔者尝试以启发性问答来帮助他建构起对此类题的内部认知。
教师（以下简称T）：能说说调运方案产生的由来吗？
W：因为A，B的配件都要减少，C，D的配件都要增加，所以从A调配10件到D，从B调配5件到C，这时A，B已调配到位，而C多了1件，D还少1件，故再从C调配1件到D。
T：说得很好，确实把你调运方案的由来说清楚了。但是，为什么16是最少的呢？为什么要“从A调配10件到D”呢？
W：（意外，为难，笑一笑）我感到由A给D少了不行，由B给C少了也不行，由C给D恰好1件、多了少了都不行。所以，16应是最少的。
T：这是否意味着这个“最少的调运方案”是“不能更改”的，惟一的？
W：可能是吧，“最少的”应该是惟一的吧。不过，“最少值惟一”，取“最少值”的途径倒是可以不唯一，问题是本例的方案很可能是惟一的。让我想想。
……（思考良许，没有进展，教师作启发）
T：让我们还回到“为什么要从A调配10件到D”的问题上来，你刚才说“A给D不能少于10件”是吗？对的，因为那样一来，A多于40件，就还得给B调配，而B是要减少的，B就还得给C调配，由于D还没够61件，C就还得给D调配，相当于A的配件经过B、C到D，增加了“重复调配”（或说“中转量”）的件次，所以“A给D不能少于10件”。那么，A给D多于10件行不行？
W：多于10件的话？那A就不够40件了，若拿B再补上，这会不会增加“重复调配”的件次，从而不是“最少的”调运方案。
T：试试看，当初你的调运方案中C也是不够的，补充了B的5件之后，才有多出的1件运到D。如果不“重复调配”的话，由A调10件到D，由B调4件到C并直接由B调1件到D，共计10＋4＋1＝15件次就够了，问题是，这与“调整只能在相邻维修点之间进行”不符。
W：（高兴）对了，由A调11件到D，由B调1件到A且调4件到C，这也是16件次。（很快晴转阴）不过，这样一来，还真成问题了，会不会还有第三个方案也是16件次，会不会还有一个我没有想到的方案、15件次就能完成？老师，15到底行不行？
……
对话环绕着y取最少值16的两个要求展开：（1）任意情况下y≥16，（2）存在一个方案使y＝16。其中遗漏“任意情况下y≥16”是“会而不对，对而不全”的根源，现在，通过启发，学生已经自己找出问题、自觉提出问题了，这正是对话的目的。接下来，我们得出问题的一般性解法，作为这个讨论的结束。
设维修站A向维修站B调动的配件数为XB，当XB＞0时，表示调配按逆时针方向进行；当XB＜0时，表示调配按顺时针方向进行；当XB＝0时表示A，B之间无调入调出。XC，XD，XA含义相同。有
A处:50＋XA－XB＝40；B处:50＋XB－XC＝45；C处:50＋XC－XD＝54；D处:50＋XD－XA＝61
可以推出：XA＝XB－10，XC＝XB＋5，XD＝XC－4＝XB＋1
调配的总件次为
y＝|XA|＋|XB|＋|XC|＋|XD|
＝|XB－10|＋|XB|＋|XB＋5|＋|XB＋1|
≥|(XB－10)－(XB＋5)|＋|XB－(XB＋1)|
＝15＋1＝16
当-5≤XB≤10或-1≤XB≤0时，不等式取等号，得y取到最小值16有两个方案：
（1）XB＝0,XA＝-10,XC＝5,XD＝1, 即由A调10件到D，由B调5件到C，由C调1件到D；
（2）XB＝-1,XA＝-11,XC＝4,XD＝0,即由A调11件到D，由B调1件到A，由B调4件到C。
案例二：已知定点A(3，0)，P是单位圆x2＋y2＝1上的动点，∠AOP的平分线交PA于M，求M点的轨迹方程。
W画出图形（这说明他懂得利用图形帮助思考），流露出不想做的神情（这说明他解题的积极性不高，碰到困难容易低头，缺乏钻研精神。）在指导教师的鼓励下，他终于继续思考下去。
W：AM是不是等于PM（这说明他对题意理解不清）
T：已知的是角平分线。
W：∠POM＝∠MOA，角平分线有什么性质？（他想利用已知条件，又不知道如何利用，这说明他现有的相关知识比较贫乏。）
T：PM:MA＝PO:OA
W：所以他写出了PO＝1，OA＝3，PM:AM＝1:3（这说明他定比分点的概念模糊）
T：AM与MA不一样，它们表示数量不是距离。
W：噢，那么PM:MA＝1:3。点P在圆上运动都有这个式子吗？
T：是的。
过一会儿，没什么动静，我忍不住了。
T：点M的轨迹知道吗？（我以为他会说不知道，然后把他引导到求轨迹方程的方法上：未知轨迹的类型，求轨迹方程一般可用轨迹法，即设M（x, y），然后列x、y的关系式。）
W：轨迹是椭圆。
T：为什么？
W：P点在几个特殊位置时，M点的位置好像在椭圆上，所以猜椭圆。
T：很好。但你必须证明你的猜想，也就是说你必须求出M的轨迹方程后才知道猜想是否正确。（虽然结论错，但他懂得用特殊位置去作猜想，这种想法应该鼓励。这也说明他能用运动观点思考问题）。是不是可以设点M？
W：坐标（x,y）
T：要x、y干什么？
W：列x、y的关系式。
T：很好，那你列出关系式来吧。（这说明他懂得求轨迹方程是求出点的坐标x,y的关系，应该加以肯定）。
过了一会儿，他说不懂（这表明他不懂利用PM:MA＝1:3来列x,y的关系，不懂它的几何意义）。
T：是不是可以用坐标表示PM:MA＝1:3？
W：是不是还要设P的坐标？
T：是的。
W：那就设P（x1,y1）。但还是写不出来（原来他用坐标表示数量还不懂）。
T：终点减起点。
W：(x－x1):(3－x)＝1:3，(y－y1):(0－y)＝1:3，x1＝2x－1，y1＝4y，将x1、y1代入圆方程得(2x－1)2＋(4y)2＝1，并化简为x2－x＋4y2＝0。
T：如果按你的结论，的确是椭圆，但运算过程有错。（经重新计算，才算对结论。）（值得高兴的是他用了代入法求x,y的关系，遗憾的是他总是算错！）
从整个数学活动过程来看，教师参与活动的程度比较大，指导的次数比较多，学生自我表现出来的知识比较少。这说明本问题与该生的实际水平有一定的距离。同时也看到，该生的知识缺陷较严重，转化能力、运算能力较差。W的直观形象思维能力不弱，表现在他画图正确，且能利用图形运动作猜想，这也说明他有数形结合思想和运动观点。此外他基本懂得求点的轨迹方程实质上是求点的坐标x,y的关系，懂得用动点在圆上，它的坐标适合方程，来建立x,y的关系，其实这是用代入法求轨迹方程的方法。
从他参与数学活动的态度来看，一开始他就知难而退，可能是要用到的知识多数不懂，没有信心，但在教师的帮助下及时补上了相关的知识后，还能主动思考，积极提问，克服重重困难，理清了解题思路和解题过程。这说明他能接受外围信息，逐步克服困难，重新组织内部的认知结构。但花费的时间较多，学习的效率较低。
三、进一步的分析及策略建议
经过对以上两个案例多次的辅导了解和深入分析，笔者认为W等类学生的学习有如下特点：
1.知识结构：基本概念多数模糊不清，知识结构不完整；
2.思维能力：直观思维强过抽象思维，思维方法比较单一；
3.经验题感：缺乏一定的解题训练，没有足够的解题经验；
4.情感态度：对数学的学习兴趣不高，缺乏知难而进的意志；
5.能力因素：运算、推理能力较差，联想、转化能力较弱。
根据此类学生的学习特点，笔者认为指导学生分析典型例题的解题过程是学会解题、形成解题策略的有效途径，至少在没有找到更好的途径之前，这是一个无以替代的好主意。在建构主义理论的指导下，笔者根据自身研究的经验，初步总结出“学会解题的四步骤”：
第1步：简单模仿。即模仿教师或教科书的示范去解决一些识记性的问题。
第2步：变式练习。即在简单模仿的基础上迈出主动实践的一步，做足够数量、形式变化（干扰性）的习题，本质上是进行操作性活动与初步应用。
第3步：自发领悟。即在模仿性练习与干扰性练习的基础上产生理解——解题知识的内化（包括结构化、网络化和丰富联系）。
第4步：自觉分析。即对解题过程进行自觉反思，使理解进入到深层结构。
这四个阶段与数学学习的一般过程是吻合的，但由于数学解题是一种创造性活动，因而，它只是符合“钥匙原理”，而非打开一切题目大门的万能钥匙。
当前的重点应是加强第4步的教学与研究。这是一个通过已知学未知、通过分析“怎样解题”而领悟“怎样学会解题”的过程，也是一个理解从自发到自觉、从被动到主动、从感性到理性、从“基础”到创新、从内隐到外显的飞跃阶段，操作上通常要经历整体分解与信息交合两个步骤。这个阶段与解题书写的最后一个环节（检查验算）是有区别的，它不仅反思计算是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解法是否还有更多更简单的途径等，而且要提炼怎样解题和怎样学会解题的理论启示（有构建“数学解题学”的前景）。相对于认知结构的改变而言，这一步具有形成并强化新认知结构的功能。
（作者单位：北京昌平一中）
（责任编校：扬子）