抛物线y=ax2+bx+c（ａ≠０）的图象是由系数ａ、ｂ、ｃ决定的，系数的符号与抛物线形状有如下关系：
　　1.二次项系数ａ决定抛物线的开口方向．ａ＞0，开口向上；ａ＜0，开口向下。
　　2. 抛物线的对称轴是ｘ＝－ ．ｂ＝0，抛物线的对称轴是ｙ轴．ａｂ＞0（ａ、ｂ同号），抛物线的对称轴在ｙ轴的左侧；ａｂ＜0（ａ、ｂ异号）抛物线的对称轴在ｙ轴的右侧。
　　3. ｃ是抛物线与ｙ轴交点的纵坐标．ｃ＝0，抛物线经过原点；ｃ＞0，抛物线与ｙ轴交于正半轴；ｃ＜0，抛物线与ｙ轴交于负半轴。
　　4. ｂ2－4ａｃ确定图象与ｘ轴是否相交．ｂ2－4ａｃ＞0，抛物线与ｘ轴有两个交点；ｂ2－4ａｃ＝0，抛物线与ｘ轴只有一个交点；ｂ2－4ａｃ＜0，抛物线与ｘ轴没有交点。
　　5. 当ｘ＝1时，ｙ＝ａ＋ｂ＋ｃ，根据点（1，a＋b+c）所在象限位置确定a+b+c符号；当ｘ＝－1时，ｙ＝ａ－ｂ＋ｃ，根据点（1，a-b+c）所在象限位置确定a-b+c符号。
　　一般形式二次函数系数符号可以通过上面规律和方法确定，但对于特殊形式系数符号要通过灵活运用上述诸种方法及采用特殊方法来解答。
　　例1（浙江金华卷）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a＞0，②c＞0，③ｂ2－4ａｃ＞0，其中正确的个数是()
　　A、0个B、1个
　　C、2个D、3个
　　分析∵抛物线开口向下，∴a＞0，又∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵与x轴有两个交点，∴ｂ2－4ａｃ＞0. 故本题应选C．
　　例2（浙江省）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,图像经过点（-1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴．
　　第（1）问：给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是 ．
　　第（2）问：给出四个结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+c=1；④a＞1．其中正确的结论的序号是 ．
　　分析（1）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）开口向上ａ＞0；与y轴交于负半轴ｃ＜0；对称轴交于x正半轴，故- ＞0，所以b＜0；图象经过点（1，0），所以ａ＋ｂ＋ｃ=0；
　　（2）ａ＞0，由图象知对称轴x=- ＜1，所以2a+b>c；图像经过点（-1，2）和（1，0），得a-b+c=2，a+b+c=0所以a+c=1；又因为c<0，所以a>0.
　　解（1）①，④；（2）②，③，④
　　例3二次函数y=ax2+bx+c的图象如图3所示，若M=4a+2b+c,N=a-b+c，则（ ）
　　A、M>0，N>0，P>0
　　B、M>0，N<0，P>0
　　C、M<0，N>0，P>0
　　D、M<0，N>0，P<0
　　分析取x=2，则y=4a+2b+c=Ｍ，观察图象可知点（2，4a+2b+c）在第四象限，所以M＜0；取x=－1，则y=a-b+c=N，观察图象可知点（-1，a-b+c）在第二象限，所以N＞0；由图象可知，- >1，因a＞0，故-b＞2a，所以2a+b＜0，即P=4a+2b＜0．本题应选D．
　　例4抛物线y=ac2+bx+c的图象如图4，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③a< ；
　　④b＜1其中正确的结论是（）.
　　A、①②B、②③
　　C、②④D、③④
　　分析根据图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，所以abc＜0；观察图象得，当x=2时，y=a+b+c=2 ①；当x=-1时，y=a-b+c＜0 ②，由①+②得b＜1；因对称轴- >-1，a＞0，所以b＜2a，又有b＜1，得a< .本题应选B.
　　例5已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0）与（x2，0）两点，且01；（2）3a+b＞0；（3）a+b＜2；（4）a＜-1，其中正确的结论个数为（）
　　A 、1B 、2C、 3D 、 4
　　分析本题没有给出函数图象，通过已知条件确定抛物线大致位置如图5所示，
　　∵ 抛物线过点（0，-2） ∴ c=-2
　　∵ 点（1，a+b-2）在第一象限∴ a+b-2>0 即a+b＞2 ①
　　∵ 点（2，4a+2b-2）在第四象限∴ 4a+2b-2<0
　　∴ 2a+b-1＜0 即2a+b＜1；
　　∵ 0＜x1<1，1＜x2<2 ∴ 1　　∴1<- <3
　　∴ -a＜b＜-3a 即3a+b＜0②
　　由②变形，得-3a-b＞0 ③，由①+③得a＜-1．本题应选A.
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”