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数学思想是数学思维活动和数学研究活动中解决问题的基本观点和根本想法;数学方法是学习和研究数学的手段和方式。可以说,数学思想方法是数学的灵魂,无论是数学概念的建立、数学规律的发现,还是数学问题的解决,都要运用到数学思想方法。如果将学生的数学素质看作一个直角坐标系,那么数学知识、技能就好比横轴上的因素,而数学思想方法就是纵轴上的内容。淡化或忽略思想方法的教学,不仅不利于学生更好地掌握数学知识,也必将影响其能力的发展和数学素养的提高。因此,在解决数学问题中我们必须适时地向学生渗透一些数学思想方法。
1?郾转化的思想方法。转化是解决数学问题常用的思想方法。表现为在解决一个陌生的新问题或复杂问题时,要设法将其转化为熟知的旧问题或简单的问题(即化新为旧,化繁为简,化难为易),从而顺利解决问题。
例如,“测量一个土豆的体积”。土豆是一个不规则的物体,没有现成的体积计算公式,但可以转化为长方体体积来测量。只要把土豆放入装有水的长方体容器里,先量一量容器的长和宽,再量出水面升高的高度,然后用长方体体积等于这个土豆的体积。这样转化,就能顺利解决问题。
2?郾枚举的思想方法。有些问题涉及情况较多,用算式不容易表示,需要用一一列举的方法,将所有可能出现的结果呈现出来加以比较,从而获得符合条件的解答。
例如:“用一根长16cm的铁丝弯成一个边长是整厘米的面积最大的长方形,它的面积最大是多少?”解答这个问题需要思考:周长为16cm,长、宽为整厘米的长方形有哪几种呢?哪个长方形的面积最大呢?这时只要列一个表,将各种可能出现的情况一一列举出来,一个难解的问题就简单化、直观化了(如下表)。
比较4个长方形的面积,可知,长、宽都是4厘米的长方形面积最大,最大面积是16cm■。
3?郾假设的思想方法。假设思想是凭借创造性想象,将题中某个条件假定为与之相近的另一个条件,并从假定条件入手,分析数量关系。
例如:在一个面积的15平方分米的正方形内剪下一个最大的圆,这个最大圆的面积是多少平方分米?(如图)
由于15是个非完全平方数,套用通过正方形面积求边长进而求圆的半径,再求圆面积的方法,小学生是无法求解的。只有运用假设的思想方法,假定正方形的边长为“1”,则正方形的面积为1,圆面积为(■)2×3?郾14=■,也就是说,圆面积占正方形面积的■,所以,圆的面积应是15×■=11.775(平方分米)。假设思想方法将问题化繁为简,在这里起到了“绝处逢生”的妙用。
4?郾整体的思想方法。整体思想方法,就是将几个独立的部分合并成一个整体来分析,可以避开许多细节问题的干扰,使我们很快抓住问题的核心,迅速获解。我们平时解决数学问题,大多采取“化整为零”的办法,一步一步地去突破。但有些数学问题如果分步去想,往往显得特别困难,甚至“走不通”。怎么办呢?这就需要我们学会整体分析。
例如:“张大爷用篱笆围一块梯形菜地,一面靠墙(如图),篱笆全长48米,这块菜地的面积是多少平方米?”
按常规思路应分别算出梯形的上底、下底,再算梯形的面积。但按这一思路去解决问题,将会走进死胡同。我们不妨用整体思想方法进行分析:篱笆全长48米,实际上就是(上底+下底+高)=48米,根据高为15米这个已知条件,很容易得到(上底+下底)=48-15=33米,而梯形面积=(上底+下底)×高÷2。这时,如果将(上底+下底)看成一个整体,直接代入公式中,则梯形面积=33×15÷2=247.5(平方米)。
5?郾对应的思想方法。对应思想是解决问题需要具备的一种重要的数学思想,在一个问题中,众多的数量之间必然存在着对应的关系,只要找到这种关系,就能找到解决问题的线索。
例如:“洗衣机厂门市部上午卖出3台洗衣机,下午卖出5台洗衣机。这样,下午比上午多收货款378元,每台洗衣机售价多少元?”题中下午比上午多卖出洗衣机,下午就一定比上午多收到钱,这就是对应思想。多卖出的洗衣机和多收的款成对应关系,多卖出一台多收一台的钱,画图表示如下:
依照对应思想解决问题:多卖2台应多收2台的款,即378元所对应的是(5-3)台洗衣机。所以每台洗衣机的售价是:378÷(5-3)=189元。
6?郾归纳与演绎的思想方法。归纳法是通过对一些个别的、特殊的情况加以观察、分析,从而导出一个一般性结论的推理方法,是一种从特殊到一般的推理方法;演绎法是根据某个带有普遍性的结论,推求出个别、特殊的事物性质的推理方法,是一种从一般到特殊的推理方法。归纳和演绎是人们思维的重要形式,学习归纳法和演绎法有助于提高逻辑思维能力。
例如:“小船最初在南岸,从南岸驶向北岸,再从北岸驶回南岸,不断往返,小船摆渡100次后,船在南岸还是北岸?”
要解决这一问题,首先要找到船摆渡的次数与所在位置的关系,可用不完全归纳法思考:
归纳:摆渡奇数次后,船在北岸;摆渡偶数次后,船在南岸。因为摆渡偶数次后,船在南岸,而100次是偶数次,所以小船摆渡100次后,船在南岸。
7?郾集合的思想方法。集合是指具有某种属性的事物的全体,组成集合的每个事物称为这个集合的元素。两个集合中可以做加法运算,把两个集合A、B合并在一起,就组成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是溶斥原理,即C=A+B-AB或AB=A+B-C。
例如:“五年级96名学生都订了报刊,订了《少年报》有的64人,订了《小学生报》的有48人。两种刊物都订的有几人?”
我们可以用集合表示,左边的圈表示订《小学生报》的48人,右边的圈表示订《少年报》的64人,中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。显然,两种报刊都订的人数被统计了两次。64+48=112(人),比总人数多112-96=16(人),这16人就是两种报刊都订的人数。
8?郾分类的思想方法。有些数学问题,情况比较复杂,需要对各种情况加以分析,先逐类求解,然后综合得解,这就是分类的思想方法。应用分类的思想方法要做到分类恰当,不重复、不遗漏。
例如:“下图中共有几个角?”
分析:为了保证不漏数而又不重复数,我们可以先分类来数角,然后把数得的各类角的个数相加。
(1)图中共有4个小角。( )
(2)由两个小角组合的角有3个。()
(3)由三个小角组合的角有2个。()
(4)由四个小角组成的角有1个。()
图中共有4+3+2+1=10个三角形。
当然,在解决小学数学问题中,我们需要渗透的数学思想方法不止以上几种,教师要根据各种数学问题的特点、知识间的内在联系和小学生的年龄特征,适当给学生渗透一些数学思想方法,以培养他们学习数学的兴趣,提高灵活解决问题的能力,全面提升学生的数学综合素质。
作者单位
昆明市官渡区关上第一小学
◇责任编辑:曹文◇
1?郾转化的思想方法。转化是解决数学问题常用的思想方法。表现为在解决一个陌生的新问题或复杂问题时,要设法将其转化为熟知的旧问题或简单的问题(即化新为旧,化繁为简,化难为易),从而顺利解决问题。
例如,“测量一个土豆的体积”。土豆是一个不规则的物体,没有现成的体积计算公式,但可以转化为长方体体积来测量。只要把土豆放入装有水的长方体容器里,先量一量容器的长和宽,再量出水面升高的高度,然后用长方体体积等于这个土豆的体积。这样转化,就能顺利解决问题。
2?郾枚举的思想方法。有些问题涉及情况较多,用算式不容易表示,需要用一一列举的方法,将所有可能出现的结果呈现出来加以比较,从而获得符合条件的解答。
例如:“用一根长16cm的铁丝弯成一个边长是整厘米的面积最大的长方形,它的面积最大是多少?”解答这个问题需要思考:周长为16cm,长、宽为整厘米的长方形有哪几种呢?哪个长方形的面积最大呢?这时只要列一个表,将各种可能出现的情况一一列举出来,一个难解的问题就简单化、直观化了(如下表)。
比较4个长方形的面积,可知,长、宽都是4厘米的长方形面积最大,最大面积是16cm■。
3?郾假设的思想方法。假设思想是凭借创造性想象,将题中某个条件假定为与之相近的另一个条件,并从假定条件入手,分析数量关系。
例如:在一个面积的15平方分米的正方形内剪下一个最大的圆,这个最大圆的面积是多少平方分米?(如图)
由于15是个非完全平方数,套用通过正方形面积求边长进而求圆的半径,再求圆面积的方法,小学生是无法求解的。只有运用假设的思想方法,假定正方形的边长为“1”,则正方形的面积为1,圆面积为(■)2×3?郾14=■,也就是说,圆面积占正方形面积的■,所以,圆的面积应是15×■=11.775(平方分米)。假设思想方法将问题化繁为简,在这里起到了“绝处逢生”的妙用。
4?郾整体的思想方法。整体思想方法,就是将几个独立的部分合并成一个整体来分析,可以避开许多细节问题的干扰,使我们很快抓住问题的核心,迅速获解。我们平时解决数学问题,大多采取“化整为零”的办法,一步一步地去突破。但有些数学问题如果分步去想,往往显得特别困难,甚至“走不通”。怎么办呢?这就需要我们学会整体分析。
例如:“张大爷用篱笆围一块梯形菜地,一面靠墙(如图),篱笆全长48米,这块菜地的面积是多少平方米?”
按常规思路应分别算出梯形的上底、下底,再算梯形的面积。但按这一思路去解决问题,将会走进死胡同。我们不妨用整体思想方法进行分析:篱笆全长48米,实际上就是(上底+下底+高)=48米,根据高为15米这个已知条件,很容易得到(上底+下底)=48-15=33米,而梯形面积=(上底+下底)×高÷2。这时,如果将(上底+下底)看成一个整体,直接代入公式中,则梯形面积=33×15÷2=247.5(平方米)。
5?郾对应的思想方法。对应思想是解决问题需要具备的一种重要的数学思想,在一个问题中,众多的数量之间必然存在着对应的关系,只要找到这种关系,就能找到解决问题的线索。
例如:“洗衣机厂门市部上午卖出3台洗衣机,下午卖出5台洗衣机。这样,下午比上午多收货款378元,每台洗衣机售价多少元?”题中下午比上午多卖出洗衣机,下午就一定比上午多收到钱,这就是对应思想。多卖出的洗衣机和多收的款成对应关系,多卖出一台多收一台的钱,画图表示如下:
依照对应思想解决问题:多卖2台应多收2台的款,即378元所对应的是(5-3)台洗衣机。所以每台洗衣机的售价是:378÷(5-3)=189元。
6?郾归纳与演绎的思想方法。归纳法是通过对一些个别的、特殊的情况加以观察、分析,从而导出一个一般性结论的推理方法,是一种从特殊到一般的推理方法;演绎法是根据某个带有普遍性的结论,推求出个别、特殊的事物性质的推理方法,是一种从一般到特殊的推理方法。归纳和演绎是人们思维的重要形式,学习归纳法和演绎法有助于提高逻辑思维能力。
例如:“小船最初在南岸,从南岸驶向北岸,再从北岸驶回南岸,不断往返,小船摆渡100次后,船在南岸还是北岸?”
要解决这一问题,首先要找到船摆渡的次数与所在位置的关系,可用不完全归纳法思考:
归纳:摆渡奇数次后,船在北岸;摆渡偶数次后,船在南岸。因为摆渡偶数次后,船在南岸,而100次是偶数次,所以小船摆渡100次后,船在南岸。
7?郾集合的思想方法。集合是指具有某种属性的事物的全体,组成集合的每个事物称为这个集合的元素。两个集合中可以做加法运算,把两个集合A、B合并在一起,就组成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是溶斥原理,即C=A+B-AB或AB=A+B-C。
例如:“五年级96名学生都订了报刊,订了《少年报》有的64人,订了《小学生报》的有48人。两种刊物都订的有几人?”
我们可以用集合表示,左边的圈表示订《小学生报》的48人,右边的圈表示订《少年报》的64人,中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。显然,两种报刊都订的人数被统计了两次。64+48=112(人),比总人数多112-96=16(人),这16人就是两种报刊都订的人数。
8?郾分类的思想方法。有些数学问题,情况比较复杂,需要对各种情况加以分析,先逐类求解,然后综合得解,这就是分类的思想方法。应用分类的思想方法要做到分类恰当,不重复、不遗漏。
例如:“下图中共有几个角?”
分析:为了保证不漏数而又不重复数,我们可以先分类来数角,然后把数得的各类角的个数相加。
(1)图中共有4个小角。( )
(2)由两个小角组合的角有3个。()
(3)由三个小角组合的角有2个。()
(4)由四个小角组成的角有1个。()
图中共有4+3+2+1=10个三角形。
当然,在解决小学数学问题中,我们需要渗透的数学思想方法不止以上几种,教师要根据各种数学问题的特点、知识间的内在联系和小学生的年龄特征,适当给学生渗透一些数学思想方法,以培养他们学习数学的兴趣,提高灵活解决问题的能力,全面提升学生的数学综合素质。
作者单位
昆明市官渡区关上第一小学
◇责任编辑:曹文◇