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一、点电荷场
点电荷是一个理想模型，孤立点电荷电场的电场线是直线，对正场源电荷而言，电场线从正电荷出发指向无穷远处，电场强度减小，电势降低.
1. 孤立点电荷电场
例1 半径为[R]，均匀带正电荷的球体在空间产生球对称的电场；场强大小沿半径分布如图1所示，图中[E0]已知，[E-r]曲线下[O-R]部分的面积等于[R-2R]部分的面积.
图1
（1）写出[E-r]曲线下面积的单位；
（2）己知带电球在[r≥R]处的场强[E=kQr2]，式中[k]为静电力常量，该均匀带电球所带的电荷量[Q]为多大？
（3）求球心与球表面间的电势差[U]；
（4）质量为m，电荷量为q的负电荷在球面处需具有多大的速度可以刚好运动到2R处？
解析 根据库仑定律得出点电荷场强关系式，场强反映的是电场的强弱程度，也表示沿电场线方向单位长度电势的降落，即电势改变的快慢，而电势差则是沿场方向电场强度在空间上的累积. [E-r]图象中图线与横轴所围面积表示电势差，而[φ-r]图象中曲线的斜率表示电场强度.
（1）[E-r]曲线下面积的单位为伏特.
（2）由点电荷的电场强度公式，[E0=kQR2]，解得[Q=E0R2k].
（3）根据[E-r]曲线下面积表示电势差，球心与球表面间的电势差[U=E0R2].
（4）根据题述[E-r]曲线下[O-R]部分的面积等于[R-2R]部分的面积，球体表面到[2R]处的电势差[U=E0R2]
由动能定理，有[qU=12mv2]， 解得[v=q0ERm].
2. 等量同种电荷电场
例2 空间有一沿[x]轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图2所示，带电粒子在此空间只受电场力作用.下列说法正确的是（ ）
图2
A.在[-x1]处释放一带负电的粒子，它能运动到[x1]处
B.带正电的粒子以一定的速度由[-x1]处沿[x]轴正方向运动的过程中，它的动能先增大后减小
C.带负电的粒子以一定的速度由[-x1]处沿[x]轴正方向运动到[x1]处，它在[x1]处的速度小于在[-x1]处的速度
D.带正电的粒子在[x2]处的电势能比[x1]处的电势能大、与[x3]处的电势能相等
解析 根据图2的场强变化图象，可知[-x1]和[x1]处场强等大反向，电势相等，电势能变化为0，A项对；带正电的粒子以一定的速度由[-x1]处沿[x]轴正方向运动的过程中，所受电场力先向左后向右，先做负功后做正功，动能先减小后增大，B项错；根据对称性可知：[-x1]处与[x1]处电势相等，则带负电的粒子由[-x1]处沿[x]轴正方向运动到[x1]处，电场力做功为0，动能不变，C项错；沿电场线方向电势逐渐降低，[x1]的电势高于[x2、x3]电势.正电荷在电势高处电势能大，粒子在[x2]处的电势能比[x1]处小、比[x3]处大，D项错.选A项.
3. 等量异种电荷电场
例3 如图3所示，在x轴相距为L的两点固定两个等量异种点电荷+Q、-Q，虚线是以+Q所在点为圆心、[L2]为半径的圆，a、b、c、d是圆上的四个点，其中a、c两点在x轴上，b、d两点关于x轴对称. 下列判断正确的是（ ）
图3
A.[b、d]两点处的电势相同
B.四点中[c]点处的电势最低
C.[b、d]两点处的电场强度相同
D.将一试探电荷[+q]沿圆周由[a]点移至[c]点，其电势能减小
解析 由等量异种点电荷的电场分布规律，可知[b、d]两点处的电势相同，再结合矢量合成的平行四边形定则可判断电场强度大小相等、方向不同，故A项正确C项错；由电荷的独立作用原理，可知试探电荷在[+Q]产生的电场中由a运动至c，电场力不做功，试探电荷在[-Q]产生的电场中由a运动至c，电场力做正功，故正电荷在两点电荷的电场中由a至c电场力做正功，电势能减小，D项正确；沿电场线的方向电势逐渐降低，故[b、d]点的电势高于[c]点的电势，由D项的分析结合[?=Epq]，可知[a]点电势高于[c]点电势，B项正确. 选ABD项.
例4 如图4甲所示，[Q1]、[Q2]是两个固定的点电荷，其中[Q1]带正电. 在它们连线的延长线上有a、b两点，一带正电的试探电荷以一定的初速度从a点沿直线经b点向远处运动，其[v-t]图象如图4乙所示. 若将带正电的试探电荷从[Q1]左侧静止释放，则该试探电荷（ ）
A.一定做加速运动
B.可能先做加速运动，后做减速运动
C.电势能可能增加
D.运动过程中所在位置的电势逐渐升高
[甲 乙]
图4
解析 由图可知，试探电荷先做减速运动，再做加速运动，且速度在[b]点最小，说明受电场力方向有反向，则[b]点场强为0，两电荷为不等量异种电荷，[Q1>Q2]，在[Q1]左侧电场方向向左，大小减小. 选A项.
二、匀强电场
匀强电场的电场线、等势面都是平行等间距的直线，彼此相互垂直，带电体在匀强电场中受到的电场力大小、方向处处相同.
例5 一质量为m的点电荷q，以速度v0在场强为E的匀强电场中开始运动，速度大小先减小后增大，最小值为[v02]，问质点从开始到速度最小过程中的位移为多少？重力大小忽略不计.
解法一 类比于斜抛运动，假设电场力向下，如图5所示，沿力的方向建立坐标系. 速度最小时，有
[vx=v0cosα=vmin=12v0vy=v0sinα-Eqmt=0] 图5
得[α=60?，t=3mv02Eq]
又粒子发生位移为[x=v0cosα?t=3mv02Eqy=v0sinα?t-Eq2mt2=3mv208Eq]
得[S=x2+y2=21mv208Eq]
解法二 逆向思维法
当速度最小时方向水平，利用逆向思维法，当作反向平抛运动处理，如图6所示，位移偏向角为
[tanβ=tanα2=32]，则[sinβ=37]
图6
从抛出到速度最小，据动能定理，有
[∑W=EqScos（π2+β）=12mv2min-12mv20]
得[S=21mv208Eq]
三、交变电场
接交变电源的平行板之间的电场是交变电场. 电场的周期取决于电源的周期，电场的变化取决于电源的变化. 带电粒子的运动由初速度、入场时间与电场的变化决定.
例6 如图7甲所示，两平行金属板竖直放置，左极板接地，中间有小孔. 右极板电势随时间变化的规律如图7乙所示. 电子原来静止在左极板小孔处. 不计重力作用，则（ ）
A. 从[t=0]时刻释放电子，电子将始终向右运动，直到打到右极板上
B. 从[t=0]时刻释放电子，电子可能在两板间振动
C. 从[t=T4]时刻释放电子，电子可能在两板间振动，也可能打到右极板上
D. 从[t=3T8]时刻释放电子，电子必将打到左极板上
[甲 乙]
图7
解析 从[t=0]时刻释放电子，如果两板间距离足够大，电子将向右先匀加速运动[T2]，接着匀减速运动[T2]，速度减小到零后……直到打在右极板上. 电子不可能向左运动；如果两板间距不够大，电子也始终向右运动，直到打到右极板上. 其他时刻释放电子，可以画出电子在电场运动图象，利用图象解决问题. 选 AC项.
拓展 （1）如果两板加的是图8甲所示的正弦交流电，其他条件不变，则电子在板间的运动图象如图8乙所示，为余弦函数图象. 电子将一直向右极板运动，[T2]时刻加速度为0，速度最大.
[甲 乙]
图8
（2）如果两板加的是余弦式交流电，如图9甲所示，其它条件不变，则电子在板间的运动图象如图9乙所示，为正弦函数图象. 电子的往复运动是简谐运动，平衡位置也在初始位置左侧靠近左板一侧.
[甲 乙]
图9
（3）如果右极板电势随时间变化的规律是如图10甲的扫描电压，则电子运行的图象如图10乙所示，电子做变加速运动. 当[T2]时刻速度和加速度达到最大，然后加速度反向逐步减小，速度不反向，但是大小逐步减小，图象为抛物线.
[甲 乙]
图10
点电荷是一个理想模型，孤立点电荷电场的电场线是直线，对正场源电荷而言，电场线从正电荷出发指向无穷远处，电场强度减小，电势降低.
1. 孤立点电荷电场
例1 半径为[R]，均匀带正电荷的球体在空间产生球对称的电场；场强大小沿半径分布如图1所示，图中[E0]已知，[E-r]曲线下[O-R]部分的面积等于[R-2R]部分的面积.
图1
（1）写出[E-r]曲线下面积的单位；
（2）己知带电球在[r≥R]处的场强[E=kQr2]，式中[k]为静电力常量，该均匀带电球所带的电荷量[Q]为多大？
（3）求球心与球表面间的电势差[U]；
（4）质量为m，电荷量为q的负电荷在球面处需具有多大的速度可以刚好运动到2R处？
解析 根据库仑定律得出点电荷场强关系式，场强反映的是电场的强弱程度，也表示沿电场线方向单位长度电势的降落，即电势改变的快慢，而电势差则是沿场方向电场强度在空间上的累积. [E-r]图象中图线与横轴所围面积表示电势差，而[φ-r]图象中曲线的斜率表示电场强度.
（1）[E-r]曲线下面积的单位为伏特.
（2）由点电荷的电场强度公式，[E0=kQR2]，解得[Q=E0R2k].
（3）根据[E-r]曲线下面积表示电势差，球心与球表面间的电势差[U=E0R2].
（4）根据题述[E-r]曲线下[O-R]部分的面积等于[R-2R]部分的面积，球体表面到[2R]处的电势差[U=E0R2]
由动能定理，有[qU=12mv2]， 解得[v=q0ERm].
2. 等量同种电荷电场
例2 空间有一沿[x]轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图2所示，带电粒子在此空间只受电场力作用.下列说法正确的是（ ）
图2
A.在[-x1]处释放一带负电的粒子，它能运动到[x1]处
B.带正电的粒子以一定的速度由[-x1]处沿[x]轴正方向运动的过程中，它的动能先增大后减小
C.带负电的粒子以一定的速度由[-x1]处沿[x]轴正方向运动到[x1]处，它在[x1]处的速度小于在[-x1]处的速度
D.带正电的粒子在[x2]处的电势能比[x1]处的电势能大、与[x3]处的电势能相等
解析 根据图2的场强变化图象，可知[-x1]和[x1]处场强等大反向，电势相等，电势能变化为0，A项对；带正电的粒子以一定的速度由[-x1]处沿[x]轴正方向运动的过程中，所受电场力先向左后向右，先做负功后做正功，动能先减小后增大，B项错；根据对称性可知：[-x1]处与[x1]处电势相等，则带负电的粒子由[-x1]处沿[x]轴正方向运动到[x1]处，电场力做功为0，动能不变，C项错；沿电场线方向电势逐渐降低，[x1]的电势高于[x2、x3]电势.正电荷在电势高处电势能大，粒子在[x2]处的电势能比[x1]处小、比[x3]处大，D项错.选A项.
3. 等量异种电荷电场
例3 如图3所示，在x轴相距为L的两点固定两个等量异种点电荷+Q、-Q，虚线是以+Q所在点为圆心、[L2]为半径的圆，a、b、c、d是圆上的四个点，其中a、c两点在x轴上，b、d两点关于x轴对称. 下列判断正确的是（ ）
图3
A.[b、d]两点处的电势相同
B.四点中[c]点处的电势最低
C.[b、d]两点处的电场强度相同
D.将一试探电荷[+q]沿圆周由[a]点移至[c]点，其电势能减小
解析 由等量异种点电荷的电场分布规律，可知[b、d]两点处的电势相同，再结合矢量合成的平行四边形定则可判断电场强度大小相等、方向不同，故A项正确C项错；由电荷的独立作用原理，可知试探电荷在[+Q]产生的电场中由a运动至c，电场力不做功，试探电荷在[-Q]产生的电场中由a运动至c，电场力做正功，故正电荷在两点电荷的电场中由a至c电场力做正功，电势能减小，D项正确；沿电场线的方向电势逐渐降低，故[b、d]点的电势高于[c]点的电势，由D项的分析结合[?=Epq]，可知[a]点电势高于[c]点电势，B项正确. 选ABD项.
例4 如图4甲所示，[Q1]、[Q2]是两个固定的点电荷，其中[Q1]带正电. 在它们连线的延长线上有a、b两点，一带正电的试探电荷以一定的初速度从a点沿直线经b点向远处运动，其[v-t]图象如图4乙所示. 若将带正电的试探电荷从[Q1]左侧静止释放，则该试探电荷（ ）
A.一定做加速运动
B.可能先做加速运动，后做减速运动
C.电势能可能增加
D.运动过程中所在位置的电势逐渐升高
[甲 乙]
图4
解析 由图可知，试探电荷先做减速运动，再做加速运动，且速度在[b]点最小，说明受电场力方向有反向，则[b]点场强为0，两电荷为不等量异种电荷，[Q1>Q2]，在[Q1]左侧电场方向向左，大小减小. 选A项.
二、匀强电场
匀强电场的电场线、等势面都是平行等间距的直线，彼此相互垂直，带电体在匀强电场中受到的电场力大小、方向处处相同.
例5 一质量为m的点电荷q，以速度v0在场强为E的匀强电场中开始运动，速度大小先减小后增大，最小值为[v02]，问质点从开始到速度最小过程中的位移为多少？重力大小忽略不计.
解法一 类比于斜抛运动，假设电场力向下，如图5所示，沿力的方向建立坐标系. 速度最小时，有
[vx=v0cosα=vmin=12v0vy=v0sinα-Eqmt=0] 图5
得[α=60?，t=3mv02Eq]
又粒子发生位移为[x=v0cosα?t=3mv02Eqy=v0sinα?t-Eq2mt2=3mv208Eq]
得[S=x2+y2=21mv208Eq]
解法二 逆向思维法
当速度最小时方向水平，利用逆向思维法，当作反向平抛运动处理，如图6所示，位移偏向角为
[tanβ=tanα2=32]，则[sinβ=37]
图6
从抛出到速度最小，据动能定理，有
[∑W=EqScos（π2+β）=12mv2min-12mv20]
得[S=21mv208Eq]
三、交变电场
接交变电源的平行板之间的电场是交变电场. 电场的周期取决于电源的周期，电场的变化取决于电源的变化. 带电粒子的运动由初速度、入场时间与电场的变化决定.
例6 如图7甲所示，两平行金属板竖直放置，左极板接地，中间有小孔. 右极板电势随时间变化的规律如图7乙所示. 电子原来静止在左极板小孔处. 不计重力作用，则（ ）
A. 从[t=0]时刻释放电子，电子将始终向右运动，直到打到右极板上
B. 从[t=0]时刻释放电子，电子可能在两板间振动
C. 从[t=T4]时刻释放电子，电子可能在两板间振动，也可能打到右极板上
D. 从[t=3T8]时刻释放电子，电子必将打到左极板上
[甲 乙]
图7
解析 从[t=0]时刻释放电子，如果两板间距离足够大，电子将向右先匀加速运动[T2]，接着匀减速运动[T2]，速度减小到零后……直到打在右极板上. 电子不可能向左运动；如果两板间距不够大，电子也始终向右运动，直到打到右极板上. 其他时刻释放电子，可以画出电子在电场运动图象，利用图象解决问题. 选 AC项.
拓展 （1）如果两板加的是图8甲所示的正弦交流电，其他条件不变，则电子在板间的运动图象如图8乙所示，为余弦函数图象. 电子将一直向右极板运动，[T2]时刻加速度为0，速度最大.
[甲 乙]
图8
（2）如果两板加的是余弦式交流电，如图9甲所示，其它条件不变，则电子在板间的运动图象如图9乙所示，为正弦函数图象. 电子的往复运动是简谐运动，平衡位置也在初始位置左侧靠近左板一侧.
[甲 乙]
图9
（3）如果右极板电势随时间变化的规律是如图10甲的扫描电压，则电子运行的图象如图10乙所示，电子做变加速运动. 当[T2]时刻速度和加速度达到最大，然后加速度反向逐步减小，速度不反向，但是大小逐步减小，图象为抛物线.
[甲 乙]
图10