解决数学问题时，我们常会遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程. 转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是，如函数与方程的转化，未知向已知转化，数与形的转化，空间向平面的转化，正面与反面的转化等，都是转化思想的体现.我就平时遇到的一些题目进行归类、剖析.
　　题型一 函数与方程的转化
　　例1、已知函数
　　在定义域内是增函数，则实数 m的取值范围为_______.
　　解析：f(x)在定义域内为增函数即等价于
　　 ,对
　　恒成立.
　　解题回顾：
　　(1)f(x)在区间（a,b）上为增函数（减函数）常转化为
　　对
　　恒成立(注意验证
　　) .
　　(2)“恒成立”问题常可转化为最值问题，本题中采用分离参数法，问题就明朗化了.
　　解析：建立如图所示的平面直角坐标系
　　解题回顾：
　　（1）解决向量的问题我们有三种方法：一线性运算、二向量数量积的定义 、三向量的坐标运算.本题采用第三种方法将向量的问题转化为函数的最值问题.（2）本题也体现了数与形的转化.
　　例3、
　　中，角A的对边长等于2，向量
　　向量
　　（1）求
　　取得最大值时的角A的大小；
　　（2）在（1）的条件下求
　　面积的最大值.
　　解析：
　　 故
　　取得最大值时的角
　　. .
　　 （2）设角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，
　　由余弦定理，得
　　即
　　，当且仅当b＝c＝2时取等号 ,
　　又
　　，当且仅当a=b＝c＝2时，
　　的面积最大为
　　.
　　解题回顾：
　　(1)本题中求
　　的最大值转化为求关于
　　的二次函数的最大值.在解题时应注意
　　的取值范围即角A的范围.
　　(2)为了求bc的取值范围只要将由余弦定理得到的等式转化为不等式即可 .即运用不等式
　　.
　　例4、若关于x的方程cos2x＋4asinx＋a－2=0在区间［0,π］上有两个不同的解，求实数a的取值范围.
　　可知：
　　解得：
　　解题回顾：本题涉及多种转化，
　　一是三角函数的异名化同名，三角函数转化为代数问题，
　　二是方程的问题转化为函数的问题.
　　题型二 未知与已知的转化
　　例1、已知
　　则
　　解析：由已知可得
　　 所以把
　　变形成
　　点评：在三角求值中，我们一定要注意已知角与未知角的关系，实现未知与已知的转化.当然本题中也涉及三角函数名的转化.
　　例2、在R上定义运算
　　：
　　若不等
　　对任意实数x都成立，则实数a的取值范围
　　解析：由定义可知
　　即
　　恒成立
　　点评：定义信息型创新题是近年高考出现频率较高的试题之一 ，对定义信息的提取和转化是求解的关键，也是一个难点.
　　例3、已知
　　是定义
　　在上的函数，且对任意实数
　　，恒有
　　且
　　的最大值为1，则满足
　　的解集为_______.
　　解析：解决本题的关键是对
　　的理解.
　　从代数的角度看：当
　　时，
　　，当
　　时，
　　所以此函数在定义域内为增函数，
　　从几何的角度看：此函数上任意两点连线的斜率均大于0，所以此函数为增函数.
　　解题回顾：未知与已知的转化，方法二也体现了数与形的转化.
　　例4、已知o为原点，向量
　　（2） 求
　　的最大值及相应x的值.
　　（2） ，
　　所以
　　的最大值为相应的
　　解题回顾：本题涉及三角函数名的转化、未知角向已知角的转化、数与形的结合、利用不等式求函数的最值等问题.
　　题型三 变量与常量的转化
　　例、若不等式
　　对一切
　　均成立，则实数 x的取值范围____.
　　解析∵
　　 ∴
　　，
　　令g(p)=
　　 ，则要使它对0≤p≤4均有g(p)>0，
　　只要有
　　∴x>3或x<－1
　　点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行.
　　题型四 正面与反面的转化
　　例、已知命题：
　　使
　　为真命题，则a的取值范围是_____.
　　解析：原命题等价于
　　若从反面考虑：原命题的否定为
　　使
　　解题回顾：
　　正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可转化考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.
　　题型五 空间与平面的转化
　　例、如图所示，在单位正方体
　　的面对角线
　　上存在一点P使得
　　最短，则
　　的最小值_______.
　　解析：将面A1AB绕轴A1A旋转到与面A1BCD1共面，如右图所示，D1A为所求最小值，最小值为.
　　解题回顾：立体图形中最短路径的问题常通过图形的翻折转化到平面来解决.
　　等价转化思想方法的特点具有灵活性和多样性，在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个固定统一的模式去进行，它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；也可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；也可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。其中消去法、换元法、数形结合法、求值求范围等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。由于其多样性和灵活性，就需要我们合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。 我有如下几点想法：1.逐步树立转化意识，遇到难题试着转换.
　　2.转化应遵循五条原则：
　　(1)熟悉化原则：将陌生的问题化为熟悉的问题来解决；
　　(2)简单化原则：将复杂问题化为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的；
　　(3)和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形更符合数与形的内部所表示的和谐统一的形式，或者转化命题，使其推理有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律；
　　(4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；
　　(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.
　　3.化归的基本方法与途径：
　　(1)等价转化——将原题转化为与之等价的命题；
　　(2)数形结合——将问题中的数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系互相转化，获得化归途径；
　　(3)构造法——“构造”一个合适的数学模型，使问题易于解决.
　　作者单位：江苏省如东马塘中学数学组