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摘 要：本文从数学课的不同阶段（即教学活动前、中、后）的反思，来探讨教学反思在数学教学与学习中的重要作用. 教师要立足于学生数学观的确立，结合教育理论和观念，力求在不断的反思与学习中能够实质性地提高专业能力，达到“在发展学生的同时实现教师自身的提高”的目的.
关键词：教学反思；数学观；自主学习；自我超越
“思考着往前走”，在新课改向纵深发展的今天，教学反思越来越受到关注，教师的教育教学之路，就是一条坚持不断学习、反思和自我完善之路. 教学反思是对教学过程的再认识，再思考，再探索，再创造，是教师以自己的教育教学活动过程为思考对象，而进行审视和分析的过程，是一种用来提高自身的业务，改进教学实践的途径，从而能进一步充实自己，提高教学水平.
赞可夫曾经说过：“没有个人的思考，没有对自己经验的寻根探究精神，提高教学水平是不可思议的.” 可以说，能否进行自我反思是“教书匠”与“教育家”的根本区别. 教学的实质是让学生理解学习过程，引导学生自主学习，唤醒学生内心深处对知识的渴求！要实现这样的教学目标，教师就必须通过教学反思，发现自己在教学过程中的得与失，以调整自己的行为，改变策略，使教育教学趋于最优化，实现教师的自我超越！
经历了几年的教学实践，我们或多或少地进行过教学反思. 教学随笔、课堂小结、教学案例分析、教研时就一堂课进行分析等，这些都是教学反思的表现形式. 下面谈谈笔者在这些年的教学实践中对教学反思的思考.
课堂教学活动前的反思
教学前的反思具有前瞻性，能使教学成为一种自觉的实践，并能有效地提高教师的教学预测和分析能力. 具体地说，在设计教学方案时，可自我提问“学生已经学过哪些知识”“这个定义的关键词是哪些”“这个题目适合哪些程度的学生做”“这样设计好不好”“好在什么地方”“学生在接受新知识时会出现哪些情况”等等. 这种反思能使教学成为一种自觉的实践，增强教学设计的针对性，为高质高效的教学做好充分的准备.
例如，函数的概念. 学生在初中已经学过了，初中函数概念是：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数. 其中x称为自变量． 这个定义从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系. 从发展史上看，初中给出的定义来源于物理公式，要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制. 如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究． 例如
f（x）=1，当x是有理数时，0，当x是无理数时.
对这个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，因为说不出x的物理意义是什么. 但用集合、对应的观点来解释，就十分自然． 所以进入高中，函数概念是：设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f（x），x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛f（x）|x∈A｝叫做函数的值域. 这个概念与初中概念相比更具有一般性. 实际上，高中的函数概念与初中的函数概念本质上是一致的. 不同点在于表述方式不同，高中明确了集合、对应的方法. 初中虽然没有明确定义域、值域这些集合，但这是客观存在的，也已经渗透了集合与对应的观点. 与初中相比，高中引入了抽象的符号f（x）. 另外，初中也没有明确函数值域这个概念. 所以，在备课时，笔者一方面设计了学生熟悉的“行程问题”“比例问题”“价格问题”，利用图表、图形让学生充分探究用集合与对应的语言来刻划，另一方面强调抽象的符号f（x）的含义，帮助学生更深刻的理解函数的本质，对后续的函数学习打好基础.
课堂教学活动中的反思
每一堂课的教学都是师生围绕一定的教学目标，按照教师预先设计好的教学方案进行的心智活动. 但在真正的实践过程中，总会出现“预料之外的情况”. 课堂中的快速反思有助于提升教师对教学情境的感知、辨别与顿悟能力，使教师快速地认识到学生做了什么，说了什么，自己正在做什么或说什么. 同时也认识到学生和自己为什么这样做，这样做是否有助于教学目标的达成，如果偏离了，该怎么去做，从而顺着学生的思路组织教学，确保教学过程能沿着最佳的方向进行，提升教师对课堂的调控和应变能力.
例如，“对数函数”的引入，课本设计了通过知道死亡后的动植物中碳14的残留量来推算年代的问题：生物体死亡年数t与其体内每克组织的碳14含量p有如下关系p=xt，大约每过5 730年，死亡生物体的碳14含量衰减为原来的一半，所以有=x5730，x=，这样p=xt=t.
由指数与对数的关系，指数式p=t可写成对数t=logp. 根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量p，通过对应关系t=logp，都有唯一确定的年代t与它对应，所以t是p的函数. 在其中一个班讲课时，笔者直接用课本的引入让学生动手探究，但却发现学生兴趣索然，基本都很不愿意动手算. 笔者分析，原因大概是问题远离他们的实际生活，并且数字太繁. 所以在另一个班讲课时，笔者马上将问题的引入改为：如果你妈妈第一个月给你10元的零用钱，然后每月以10%的增长率增长，问多少个月后你的月零用钱达到1千元？这下学生可来劲了，马上算，还互相讨论，所表现出来的热情和积极性与第一个班是完全不同的. 在这样贴近学生实际生活的例子引入下，再讲解课本中的碳14的例子，从而引入对数函数，就显得顺其自然了.
再如讲函数的表示法过程中，在分析解析法的优点时，学生忽然问解析法的缺点是什么？哪种方法能弥补解析法的缺点？笔者顺着学生的思路，快速反思，发现解析法的缺点刚好是图象法形象直观的优点，解析法和图象法的结合，使得大部分函数题能迎刃而解，其实这就是数学中常用的思想方法——数形结合.
贝尔纳说：“构成我们学习上最大的障碍的是已知的东西，而不是未知的东西”. 借助学生的眼睛看一看自己的教学过程，是促进教学的必要手段.
课堂教学后的反思
教学后的反思是教师最常见、运用最多的一种反思形式. 这样的反思能使教学经验理论化，有助于提高教师的教学总结能力和评价能力. 具体地说，教学后的反思可以从以下几个方面进行：1. 对教学目标的反思：是不是达到预期的教学效果；2. 对教学过程的反思：回忆教学是怎么样进行的；3. 对学生的评价的反思：各类学生是否达到了预期的教学目标；4. 对教学理论的反思：是不是符合教与学的基本规律；5. 对改进措施的反思：教学计划要怎么修改会更高效.
例如：在讲解例题：O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ+，λ∈［0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的__________心. （内心）
在讲解时，笔者发现学生对向量的几何含义掌握不到位，部分学生对三角形的几个心的概念有些模糊. 于是在布置这节课的作业时，笔者特意围绕向量形式与三角形几个心之间的关系设计了如下一组变式，让学生思考：
变式1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ（+），λ∈［0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的__________. （重心）
变式2：O是△ABC所在平面上一点，若·=·=·，则O是△ABC的__________心. （垂心）
变式3：O是△ABC内一点，若++=0，则O是△ABC的__________心. （重心）
变式4：O是△ABC所在平面上一点，满足2+2=2+2=2+2则O是△ABC的_______心. （垂心）
变式5：O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ+，当λ∈［0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的__________心. （重心）
通过这样的一题多变，让学生能够将在课堂上没有完全掌握的东西通过课后的思考得到巩固强化，同时能在对比中理解概念，在变化中体会方法，让知识的薄弱点得到充分解决，培养学生自主学习的能力.
又如：在上完“反证法”这节课后，有学生提出疑问：“……反证法也许是错的，因为或许有第三种可能……”？这样的质疑让笔者不仅看到了学生思维中隐约的朴素哲学辨思，也让其不由地反思其平常已经轻车熟路的数学教学是不是低估了学生丰富的想象力，忽视了学生对数学的好奇心. 在教学过程中，是不是该放下数学的“架子”，关注学生自身的数学观，从而完善教学，提高教学效率.
当然，教学后的反思，源于课堂教学，高于课堂教学，教师必须从教育理论的高度重新审视自己教学过程中的得与失. 不妨写写“再教设计”，这样做能及时总结，精益求精，把自己的教学水平提高到一个新的境界和高度.正所谓：思之则活，思活则深，思深则透，思透则新，思新则进.
“我思故我在，我思故我新”，没有反思，专业能力不可能有实质性的提高，即使有几十年的教学经历，也只是工作的简单枯燥重复. 在教中学，学中教，教师只有在“反思”中学习，在“反思”中探索，在“反思”中改变自我，才能形成自己的教学思想和风格，才能与时俱进，全面开展素质教育，达到“在发展学生的同时实现教师自身的提高”的目的.
关键词：教学反思；数学观；自主学习；自我超越
“思考着往前走”，在新课改向纵深发展的今天，教学反思越来越受到关注，教师的教育教学之路，就是一条坚持不断学习、反思和自我完善之路. 教学反思是对教学过程的再认识，再思考，再探索，再创造，是教师以自己的教育教学活动过程为思考对象，而进行审视和分析的过程，是一种用来提高自身的业务，改进教学实践的途径，从而能进一步充实自己，提高教学水平.
赞可夫曾经说过：“没有个人的思考，没有对自己经验的寻根探究精神，提高教学水平是不可思议的.” 可以说，能否进行自我反思是“教书匠”与“教育家”的根本区别. 教学的实质是让学生理解学习过程，引导学生自主学习，唤醒学生内心深处对知识的渴求！要实现这样的教学目标，教师就必须通过教学反思，发现自己在教学过程中的得与失，以调整自己的行为，改变策略，使教育教学趋于最优化，实现教师的自我超越！
经历了几年的教学实践，我们或多或少地进行过教学反思. 教学随笔、课堂小结、教学案例分析、教研时就一堂课进行分析等，这些都是教学反思的表现形式. 下面谈谈笔者在这些年的教学实践中对教学反思的思考.
课堂教学活动前的反思
教学前的反思具有前瞻性，能使教学成为一种自觉的实践，并能有效地提高教师的教学预测和分析能力. 具体地说，在设计教学方案时，可自我提问“学生已经学过哪些知识”“这个定义的关键词是哪些”“这个题目适合哪些程度的学生做”“这样设计好不好”“好在什么地方”“学生在接受新知识时会出现哪些情况”等等. 这种反思能使教学成为一种自觉的实践，增强教学设计的针对性，为高质高效的教学做好充分的准备.
例如，函数的概念. 学生在初中已经学过了，初中函数概念是：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数. 其中x称为自变量． 这个定义从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系. 从发展史上看，初中给出的定义来源于物理公式，要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制. 如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究． 例如
f（x）=1，当x是有理数时，0，当x是无理数时.
对这个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，因为说不出x的物理意义是什么. 但用集合、对应的观点来解释，就十分自然． 所以进入高中，函数概念是：设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f（x），x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛f（x）|x∈A｝叫做函数的值域. 这个概念与初中概念相比更具有一般性. 实际上，高中的函数概念与初中的函数概念本质上是一致的. 不同点在于表述方式不同，高中明确了集合、对应的方法. 初中虽然没有明确定义域、值域这些集合，但这是客观存在的，也已经渗透了集合与对应的观点. 与初中相比，高中引入了抽象的符号f（x）. 另外，初中也没有明确函数值域这个概念. 所以，在备课时，笔者一方面设计了学生熟悉的“行程问题”“比例问题”“价格问题”，利用图表、图形让学生充分探究用集合与对应的语言来刻划，另一方面强调抽象的符号f（x）的含义，帮助学生更深刻的理解函数的本质，对后续的函数学习打好基础.
课堂教学活动中的反思
每一堂课的教学都是师生围绕一定的教学目标，按照教师预先设计好的教学方案进行的心智活动. 但在真正的实践过程中，总会出现“预料之外的情况”. 课堂中的快速反思有助于提升教师对教学情境的感知、辨别与顿悟能力，使教师快速地认识到学生做了什么，说了什么，自己正在做什么或说什么. 同时也认识到学生和自己为什么这样做，这样做是否有助于教学目标的达成，如果偏离了，该怎么去做，从而顺着学生的思路组织教学，确保教学过程能沿着最佳的方向进行，提升教师对课堂的调控和应变能力.
例如，“对数函数”的引入，课本设计了通过知道死亡后的动植物中碳14的残留量来推算年代的问题：生物体死亡年数t与其体内每克组织的碳14含量p有如下关系p=xt，大约每过5 730年，死亡生物体的碳14含量衰减为原来的一半，所以有=x5730，x=，这样p=xt=t.
由指数与对数的关系，指数式p=t可写成对数t=logp. 根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量p，通过对应关系t=logp，都有唯一确定的年代t与它对应，所以t是p的函数. 在其中一个班讲课时，笔者直接用课本的引入让学生动手探究，但却发现学生兴趣索然，基本都很不愿意动手算. 笔者分析，原因大概是问题远离他们的实际生活，并且数字太繁. 所以在另一个班讲课时，笔者马上将问题的引入改为：如果你妈妈第一个月给你10元的零用钱，然后每月以10%的增长率增长，问多少个月后你的月零用钱达到1千元？这下学生可来劲了，马上算，还互相讨论，所表现出来的热情和积极性与第一个班是完全不同的. 在这样贴近学生实际生活的例子引入下，再讲解课本中的碳14的例子，从而引入对数函数，就显得顺其自然了.
再如讲函数的表示法过程中，在分析解析法的优点时，学生忽然问解析法的缺点是什么？哪种方法能弥补解析法的缺点？笔者顺着学生的思路，快速反思，发现解析法的缺点刚好是图象法形象直观的优点，解析法和图象法的结合，使得大部分函数题能迎刃而解，其实这就是数学中常用的思想方法——数形结合.
贝尔纳说：“构成我们学习上最大的障碍的是已知的东西，而不是未知的东西”. 借助学生的眼睛看一看自己的教学过程，是促进教学的必要手段.
课堂教学后的反思
教学后的反思是教师最常见、运用最多的一种反思形式. 这样的反思能使教学经验理论化，有助于提高教师的教学总结能力和评价能力. 具体地说，教学后的反思可以从以下几个方面进行：1. 对教学目标的反思：是不是达到预期的教学效果；2. 对教学过程的反思：回忆教学是怎么样进行的；3. 对学生的评价的反思：各类学生是否达到了预期的教学目标；4. 对教学理论的反思：是不是符合教与学的基本规律；5. 对改进措施的反思：教学计划要怎么修改会更高效.
例如：在讲解例题：O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ+，λ∈［0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的__________心. （内心）
在讲解时，笔者发现学生对向量的几何含义掌握不到位，部分学生对三角形的几个心的概念有些模糊. 于是在布置这节课的作业时，笔者特意围绕向量形式与三角形几个心之间的关系设计了如下一组变式，让学生思考：
变式1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ（+），λ∈［0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的__________. （重心）
变式2：O是△ABC所在平面上一点，若·=·=·，则O是△ABC的__________心. （垂心）
变式3：O是△ABC内一点，若++=0，则O是△ABC的__________心. （重心）
变式4：O是△ABC所在平面上一点，满足2+2=2+2=2+2则O是△ABC的_______心. （垂心）
变式5：O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ+，当λ∈［0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的__________心. （重心）
通过这样的一题多变，让学生能够将在课堂上没有完全掌握的东西通过课后的思考得到巩固强化，同时能在对比中理解概念，在变化中体会方法，让知识的薄弱点得到充分解决，培养学生自主学习的能力.
又如：在上完“反证法”这节课后，有学生提出疑问：“……反证法也许是错的，因为或许有第三种可能……”？这样的质疑让笔者不仅看到了学生思维中隐约的朴素哲学辨思，也让其不由地反思其平常已经轻车熟路的数学教学是不是低估了学生丰富的想象力，忽视了学生对数学的好奇心. 在教学过程中，是不是该放下数学的“架子”，关注学生自身的数学观，从而完善教学，提高教学效率.
当然，教学后的反思，源于课堂教学，高于课堂教学，教师必须从教育理论的高度重新审视自己教学过程中的得与失. 不妨写写“再教设计”，这样做能及时总结，精益求精，把自己的教学水平提高到一个新的境界和高度.正所谓：思之则活，思活则深，思深则透，思透则新，思新则进.
“我思故我在，我思故我新”，没有反思，专业能力不可能有实质性的提高，即使有几十年的教学经历，也只是工作的简单枯燥重复. 在教中学，学中教，教师只有在“反思”中学习，在“反思”中探索，在“反思”中改变自我，才能形成自己的教学思想和风格，才能与时俱进，全面开展素质教育，达到“在发展学生的同时实现教师自身的提高”的目的.