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摘要：与前人对资源最优利用的研究很多都是基于计量经济模型或者博弈论的角度来阐释不同，在有关经济理论的基础上通过建立有关数学模型，利用经济控制论中的哈密尔顿函数分析求解了资源过度开发的一个特例，即过度放牧对草原退化及经济效益的影响，得出以何种速度利用草原才能在不破坏生态的情况下为我们所永续利用，具有一定的应用价值。
关键词：草原资源；过度放牧；草原退化；利用速度；哈密尔顿函数
中图分类号：F205 文献标志码：Ａ文章编号：１６７３－２９１Ｘ（２０11）05－０255－02
引言
我国草地面积广大，约有60多亿亩，占国土总面积的41.6%，总拥有量位居世界第三位。但按人均水平计算，我国人均拥有草地面积只有世界平均水平（11.4亩）的1/2，且天然优质牧场比例不高。近三十年来，在畜牧业迅速发展的同时，由于我们轻视生态环境的保护和建设，加之严重过度放牧，我国的许多地区，特别是西部地区的草地已经严重退化，沙漠化和盐碱化的面积正在逐年扩大。草原退化导致土壤侵蚀和干旱、沙化、鼠害、虫害加剧，使生态环境日趋恶化，草畜矛盾日益突出，反过来又严重制约了畜牧业的健康发展。因此，如何制定最有效的草原利用政策，使牧民（农民）在积极保护草原生态环境和合理利用草原资源下提高经济效益，已成为政府部门迫切需要解决的重大课题。目前对草地退化的生物学机理研究较多，而对过度放牧引起的草原退化却只限于定性描述。本文在建立相关数学模型并进行详细分析的基础上，分析与揭示了牧场过度放牧的深层次原因和机理，提出了一系列草原资源保护的最优利用政策。
在进行基本模型分析之前，本文先引入一个辅助模型，以解释在没有约束机制下为什么会出现草原过度利用问题，辅助模型的问题描述如下：
设某地有一块面积为s0的公共草原，假设只有一户牧民在此牧羊为生。根据这块草原的地理位置、土质、草的种类及质量，假定能保持植物可再生和草原生态平衡的最大可能牧羊数量为qm。若牧羊数量超过该极限，则草原开始退化。设可放牧有效草原面积为s，草原退化率为r。可放牧有效草原面积和草原退化率是牧羊数量的减函数，若取该函数为线性形式，且牧羊规模提高1%引起的草地退化比率为d，草原退化将使羊的产肉率、产毛率等经济指标下降，从而导致平均每只羊的经济价值p下降（假设不考虑市场供需变化的影响）。假设平均每只羊的经济价值p与草原退化率r的函数关系为p＝p0（1-prm），其中，p为草原退化率增加一个百分点引起的每只羊的经济价值下降比例（也可认为是草原退化价格弹性系数）。p0为草原未退化下的每只羊的经济价值（假设不考虑市场供需变化的影响）。假设每只羊的饲养成本为c，牧民牧羊数量为q，则该户牧民的期望收益函数为u＝pq－cq，此式令u对q求导并令其为零，再经过一系列变化可得如下不等式：（因为本文重点不是在辅助模型，所以就简便叙述即可）
（1-）+2pd（1-）+（pd）-4pd（1-）＝（1-）-pd
≥0（11）
此式说明，只要p＞0，牧民就有积极性以尽可能大的数量q＞qm （因为此式子是在q＞qm下才成立的）牧羊。由此，必然导致过度放牧而使草场发生退化。
可见，草原作为一种公共资源，在没有建立和实施一定的激励与约束机制情况下，让牧民自由放牧，必然出现过度放牧现象，从而造成草原的退化和严重沙漠化。我国近几年在内蒙古、青海、宁夏等地区出现的大面积草原沙漠化现象证实了这一结论。因此，拥有草原资源的各级地方政府，必须详细测算每块草原的可放牧规模，建立有关政策法规，正确指导和限制牧民的放牧规模，以保护草原资源不被破坏。对于如何才能控制过度放牧即过度消耗草原的问题，以下我们重点阐述。
一、建立基本模型
本模型主要是利用了经济控制论中的最优控制理论，即在有约束的条件下非线性系统的最有控制问题。设x（t）是在t时刻草原可提供牧草的面积（单位：m2），u（t）是在t时刻消耗速度，P是每平方米草地的价格（常数），C是消耗一平方米草地的费用（常数），f（x）是草原的增长函数，g（t）是增长（生长率）系数，则草原的状态方程与目标函数（贴现总收益）分别是
状态方程
=g（t）f（x）-u（t）.
初始条件
x（t0）=x0 。
目标函数
J=e（P-C）udt.
式中e为贴现因子，δ为银行平均利率。
草地消耗最优控制问题是在约束条件x（t）≥0，0≤u≤umax之下，求出最优消耗策略以使贴现总收益J最大。
草地消耗问题的哈密顿函数与协状态方程分别为：
H=e（P-C）u+φg（t）f（x）-u，
=－φg（t）f（x）
若令＝e，即φ＝e，则哈密顿函数与协状态方程为H＝e（P－C）u+g（t）f（x）-u＝g（t）f（x）-u
因为哈密顿函数中略去因子e，并不影响以下的讨论，为书方便，将仍记为φ，于是可将哈密顿函数与状态方程改写为：H＝（P－C）u+φg（t）f（x）-u＝（P－C-φ）u+φ（t）f（x），
=φg[f（x）-u]
由于上述哈密顿函数对u是线性的，因此最优控制应取为u*＝umax，当P－C-φ＞0时，0，当P－C-φ＜0时。
令控制变量u的线性项系数等于零，即可得出这一奇异控制，φ＝P－C。
令＝0，则得到相应的必须满足f[（t）]＝
当函数f，g，u已知时，便可由上式解出可供消耗草地量（t），并由状态方程得到最大消耗速度（量）为
（t）＝g（t）f（（x））-
当f（x）是x的正凸函数，g（t）是t的正减函数，可以求得d/dt≤0，因而≥0。
从而，我们给出了如下最优消耗控制策略：
（i） 当x0≤时，应取u*=0，使x（t）增加，一直增加到时把它变换为u*=（t），是当u*=0的状态轨线x（t）与（t）相交的时间。
（ii） 当x0＞（t0）时，则取u*=umax，使x（t）减小，一直减少到时变换为u*=（t）。是当u*=umax的状态轨线x（t）与（t）相交的时间，这样，最优采伐策略是
当x0＜（t0）时，u*=0，当t≤t＜t时，当≤t＜t时
当x0＞（t0）时，u*=umax，当t≤t＜t时，当≤t＜t时
当x0＝（t0）时，u*=（t）。
二、结论
以上模型中得出的结果说明，对于草原的利用不能放任自流，要结合草原的可利用面积合理安排放牧的数量和速度，即草原的消耗速度，这不仅能很好地保护草原这种可再生的生态资源，也对我们的牧民有利，从而对我国的经济持续发展起到良好的推动作用。通过前面的模型化分析，我们可以得出如下一系列草原资源保护激励与约束机制的设计原则供政府部门参考。
1.政府部门应详细测算每块草原牧场的合理放牧规模，严格限制牧民的放牧规模，对过度放牧者要采取严厉的惩罚措施，以保证草原牧场不致被破坏。
2.在同一块公共草原牧场上放牧者越多，无序竞争越严重，对草原牧场的破坏越大、越快。因此，政府部门必须要求每户牧民（农民）按规定的规模放牧，并通过建立相应的调查和监督机制与惩罚措施配套，确实保证政策措施能够得到有效执行。
3.应采取以下一些有效管理措施保护草原资源：一是要建立牧草种子基地，培育和开发优良牧草种子，优化草原草种结构，逐步提高草场承载能力。二是要开辟一定的人工草地，引导牧民走放养和圈养相结合、畜业和草业发展相结合的路子，提高草原资源利用率。三是要改良牲畜品种，引进优质牲畜品种，淘汰产出低、食草量大、对草场有破坏性的牲畜品种。四是要对以农挤牧、以牧挤林的地区要实行退耕还牧、退牧还林政策；对已严重碱化和沙化的草地应在一定时期禁止放牧，在休养生息的同时开展生态建设工程。五是要对一些干旱、半干旱、沙漠化地区，要修建引水、蓄水工程，建立人工湖泊，使这些地区的生态环境尽快得到有效改善。
参考文献：
[1] 侯光明.管理激励与约束[M].北京：北京理工大学出版社，1999 .
[2] 刘成武，扬志荣，方中权.自然资源概论[M]. 北京：科学出版社，1999 .
[3] 扬松荣.以草定畜，草畜平衡[N].科学时报，2000-11-24.
[4] 李玉宵.我听见沙漠蚕食良田的声音[N].南方周末，2000-22-30.
[5] Trilica M J， Rittenhouse L R. Grazing and plant performance [J]. Ecological Applications， 1993，2（2）： 35－34 .
[6] Belsky A J. Dose herbivore benefit plant？ A review of the evidence [J]. American Naturalist， 1986，127：870－892 .
[7] Belsky A J. Overcompensation by plants： herbivore optimization or red herring [J]. Evolutionary Ecology， 1993，7：109－121.
关键词：草原资源；过度放牧；草原退化；利用速度；哈密尔顿函数
中图分类号：F205 文献标志码：Ａ文章编号：１６７３－２９１Ｘ（２０11）05－０255－02
引言
我国草地面积广大，约有60多亿亩，占国土总面积的41.6%，总拥有量位居世界第三位。但按人均水平计算，我国人均拥有草地面积只有世界平均水平（11.4亩）的1/2，且天然优质牧场比例不高。近三十年来，在畜牧业迅速发展的同时，由于我们轻视生态环境的保护和建设，加之严重过度放牧，我国的许多地区，特别是西部地区的草地已经严重退化，沙漠化和盐碱化的面积正在逐年扩大。草原退化导致土壤侵蚀和干旱、沙化、鼠害、虫害加剧，使生态环境日趋恶化，草畜矛盾日益突出，反过来又严重制约了畜牧业的健康发展。因此，如何制定最有效的草原利用政策，使牧民（农民）在积极保护草原生态环境和合理利用草原资源下提高经济效益，已成为政府部门迫切需要解决的重大课题。目前对草地退化的生物学机理研究较多，而对过度放牧引起的草原退化却只限于定性描述。本文在建立相关数学模型并进行详细分析的基础上，分析与揭示了牧场过度放牧的深层次原因和机理，提出了一系列草原资源保护的最优利用政策。
在进行基本模型分析之前，本文先引入一个辅助模型，以解释在没有约束机制下为什么会出现草原过度利用问题，辅助模型的问题描述如下：
设某地有一块面积为s0的公共草原，假设只有一户牧民在此牧羊为生。根据这块草原的地理位置、土质、草的种类及质量，假定能保持植物可再生和草原生态平衡的最大可能牧羊数量为qm。若牧羊数量超过该极限，则草原开始退化。设可放牧有效草原面积为s，草原退化率为r。可放牧有效草原面积和草原退化率是牧羊数量的减函数，若取该函数为线性形式，且牧羊规模提高1%引起的草地退化比率为d，草原退化将使羊的产肉率、产毛率等经济指标下降，从而导致平均每只羊的经济价值p下降（假设不考虑市场供需变化的影响）。假设平均每只羊的经济价值p与草原退化率r的函数关系为p＝p0（1-prm），其中，p为草原退化率增加一个百分点引起的每只羊的经济价值下降比例（也可认为是草原退化价格弹性系数）。p0为草原未退化下的每只羊的经济价值（假设不考虑市场供需变化的影响）。假设每只羊的饲养成本为c，牧民牧羊数量为q，则该户牧民的期望收益函数为u＝pq－cq，此式令u对q求导并令其为零，再经过一系列变化可得如下不等式：（因为本文重点不是在辅助模型，所以就简便叙述即可）
（1-）+2pd（1-）+（pd）-4pd（1-）＝（1-）-pd
≥0（11）
此式说明，只要p＞0，牧民就有积极性以尽可能大的数量q＞qm （因为此式子是在q＞qm下才成立的）牧羊。由此，必然导致过度放牧而使草场发生退化。
可见，草原作为一种公共资源，在没有建立和实施一定的激励与约束机制情况下，让牧民自由放牧，必然出现过度放牧现象，从而造成草原的退化和严重沙漠化。我国近几年在内蒙古、青海、宁夏等地区出现的大面积草原沙漠化现象证实了这一结论。因此，拥有草原资源的各级地方政府，必须详细测算每块草原的可放牧规模，建立有关政策法规，正确指导和限制牧民的放牧规模，以保护草原资源不被破坏。对于如何才能控制过度放牧即过度消耗草原的问题，以下我们重点阐述。
一、建立基本模型
本模型主要是利用了经济控制论中的最优控制理论，即在有约束的条件下非线性系统的最有控制问题。设x（t）是在t时刻草原可提供牧草的面积（单位：m2），u（t）是在t时刻消耗速度，P是每平方米草地的价格（常数），C是消耗一平方米草地的费用（常数），f（x）是草原的增长函数，g（t）是增长（生长率）系数，则草原的状态方程与目标函数（贴现总收益）分别是
状态方程
=g（t）f（x）-u（t）.
初始条件
x（t0）=x0 。
目标函数
J=e（P-C）udt.
式中e为贴现因子，δ为银行平均利率。
草地消耗最优控制问题是在约束条件x（t）≥0，0≤u≤umax之下，求出最优消耗策略以使贴现总收益J最大。
草地消耗问题的哈密顿函数与协状态方程分别为：
H=e（P-C）u+φg（t）f（x）-u，
=－φg（t）f（x）
若令＝e，即φ＝e，则哈密顿函数与协状态方程为H＝e（P－C）u+g（t）f（x）-u＝g（t）f（x）-u
因为哈密顿函数中略去因子e，并不影响以下的讨论，为书方便，将仍记为φ，于是可将哈密顿函数与状态方程改写为：H＝（P－C）u+φg（t）f（x）-u＝（P－C-φ）u+φ（t）f（x），
=φg[f（x）-u]
由于上述哈密顿函数对u是线性的，因此最优控制应取为u*＝umax，当P－C-φ＞0时，0，当P－C-φ＜0时。
令控制变量u的线性项系数等于零，即可得出这一奇异控制，φ＝P－C。
令＝0，则得到相应的必须满足f[（t）]＝
当函数f，g，u已知时，便可由上式解出可供消耗草地量（t），并由状态方程得到最大消耗速度（量）为
（t）＝g（t）f（（x））-
当f（x）是x的正凸函数，g（t）是t的正减函数，可以求得d/dt≤0，因而≥0。
从而，我们给出了如下最优消耗控制策略：
（i） 当x0≤时，应取u*=0，使x（t）增加，一直增加到时把它变换为u*=（t），是当u*=0的状态轨线x（t）与（t）相交的时间。
（ii） 当x0＞（t0）时，则取u*=umax，使x（t）减小，一直减少到时变换为u*=（t）。是当u*=umax的状态轨线x（t）与（t）相交的时间，这样，最优采伐策略是
当x0＜（t0）时，u*=0，当t≤t＜t时，当≤t＜t时
当x0＞（t0）时，u*=umax，当t≤t＜t时，当≤t＜t时
当x0＝（t0）时，u*=（t）。
二、结论
以上模型中得出的结果说明，对于草原的利用不能放任自流，要结合草原的可利用面积合理安排放牧的数量和速度，即草原的消耗速度，这不仅能很好地保护草原这种可再生的生态资源，也对我们的牧民有利，从而对我国的经济持续发展起到良好的推动作用。通过前面的模型化分析，我们可以得出如下一系列草原资源保护激励与约束机制的设计原则供政府部门参考。
1.政府部门应详细测算每块草原牧场的合理放牧规模，严格限制牧民的放牧规模，对过度放牧者要采取严厉的惩罚措施，以保证草原牧场不致被破坏。
2.在同一块公共草原牧场上放牧者越多，无序竞争越严重，对草原牧场的破坏越大、越快。因此，政府部门必须要求每户牧民（农民）按规定的规模放牧，并通过建立相应的调查和监督机制与惩罚措施配套，确实保证政策措施能够得到有效执行。
3.应采取以下一些有效管理措施保护草原资源：一是要建立牧草种子基地，培育和开发优良牧草种子，优化草原草种结构，逐步提高草场承载能力。二是要开辟一定的人工草地，引导牧民走放养和圈养相结合、畜业和草业发展相结合的路子，提高草原资源利用率。三是要改良牲畜品种，引进优质牲畜品种，淘汰产出低、食草量大、对草场有破坏性的牲畜品种。四是要对以农挤牧、以牧挤林的地区要实行退耕还牧、退牧还林政策；对已严重碱化和沙化的草地应在一定时期禁止放牧，在休养生息的同时开展生态建设工程。五是要对一些干旱、半干旱、沙漠化地区，要修建引水、蓄水工程，建立人工湖泊，使这些地区的生态环境尽快得到有效改善。
参考文献：
[1] 侯光明.管理激励与约束[M].北京：北京理工大学出版社，1999 .
[2] 刘成武，扬志荣，方中权.自然资源概论[M]. 北京：科学出版社，1999 .
[3] 扬松荣.以草定畜，草畜平衡[N].科学时报，2000-11-24.
[4] 李玉宵.我听见沙漠蚕食良田的声音[N].南方周末，2000-22-30.
[5] Trilica M J， Rittenhouse L R. Grazing and plant performance [J]. Ecological Applications， 1993，2（2）： 35－34 .
[6] Belsky A J. Dose herbivore benefit plant？ A review of the evidence [J]. American Naturalist， 1986，127：870－892 .
[7] Belsky A J. Overcompensation by plants： herbivore optimization or red herring [J]. Evolutionary Ecology， 1993，7：109－121.