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摘 要：采用两阶段法推导了考虑管道剪切效应时盾构隧道下穿施工引起既有管道竖向位移的解析解。在第1阶段采用Loganathan公式计算盾构隧道下穿管道施工引起的管道轴线处土体竖向位移，第2阶段采用考虑剪切效应的Timoshenko梁模型模拟管道，并结合叠加法对管道位移控制方程进行求解，提出简化计算方法。通过与工程监测、既有文献结果及离心机试验数据的对比，验证了方法的准确性，并进一步分析了管土弹性模量比、管道直径以及管道剪切刚度变化对管道变形的影响。结果表明：随着管土弹性模量比、管道直径的增大，管道的竖向最大位移值减小;管道剪切刚度对管道位移存在较大影响，剪切刚度减小可导致管道最大位移值增大。
关键词：盾构隧道;管道位移;剪切效应;计算方法
Abstract： The two-stage method is used to derive the analytical solution of the vertical displacement of the existing pipeline caused by the undercrossing construction of the shield tunnel when the shear effect of the pipeline is considered. In the first stage， the Loganathan formula was applied to calculate the vertical displacement of the soil at the axis of the pipeline caused by the construction of the shield tunnel undercrossing the pipeline. In the second stage， a Timoshenko beam model considering the shear effect was used to simulate the pipe. Combined with the superposition method， the pipeline displacement control equation has been solved， and a simplified calculation method have been proposed. Then， the accuracy of the method has been verified via comparison with engineering monitoring， existing literature and centrifuge test data. Furthermore， the influence of the pipeline-soil elastic modulus ratio， pipeline diameter and pipeline shear stiffness change on pipeline deformation has been further studied. The results show that as the pipeline-soil elastic modulus ratio and pipeline diameter increase， the maximum vertical displacement of the pipeline decreases; the shear stiffness of the pipeline has a great influence on the displacement of the pipeline， and the decrease of the shear stiffness can lead to an increase in the maximum displacement of the pipeline.
Keywords： shield tunnelling; displacement of pipeline; shearing effect; calculation method
城市地鐵盾构隧道开挖导致的地层损失会引起周围地层的变形[1]，由于城市地下存在大量的管道，紧邻管道的盾构施工必然对其产生重大影响。因此，众多学者对如何准确分析盾构隧道下穿施工对邻近管道的影响展开了研究[2]。
目前，针对盾构隧道下穿施工对邻近管道影响的研究主要采用3种方法：模型试验法[3-4]，有限元法[5-6]以及理论解析法[7-10]。Shi等[3]、Vorster等[4]采用离心模型研究了盾构隧道下穿开挖对既有管道的影响;张治国等[5]、毕继红等[6]采用有限元法分析了盾构隧道开挖引起的邻近管道变形和内力。两阶段法作为理论解析的常用方法，意义明确，计算简便，将该问题分为两个阶段进行分析：第1阶段，先计算出管道轴线处因盾构隧道掘进引起的土体竖向位移;第2阶段，采用合理的管土相互作用模型解得管道的竖向位移。张陈蓉等[7]改进了Winkler地基模型采用两阶段法在考虑了管道接口的非连续影响下，对管道位移和弯矩进行分析;张恒等[8]基于Pasternak地基模型采用两阶段法，研究了侧向土体作用对于管道竖向位移的影响，得到了更符合实际的管道变形;可文海等[9]结合Vlasov模型与Pasternak模型，采用两阶段法对隧道斜下穿管道施工引起的管道位移进行分析;林存刚等[10]采用两阶段法求解了盾构隧道开挖引起带接头管道的挠曲，发现接头刚度对管道挠曲存在显著影响。在理论研究方面，学者们常采用Euler-Bernouli梁模拟管道变形，但受限于Euler-Bernouli梁无法模拟管道变形中管道剪切刚度的影响，这可能使计算结果产生误差。图1（a）为Euler-Bernouli梁模型受力变形时的变形特征，该模型将梁的剪切刚度看作无穷大，忽略梁在受力时产生的剪切变形，仅考虑梁的纵向抗弯刚度对梁受力变形的影响，因而在控制方程中只有抗弯刚度一个参数，在数学求解上较为简单，便于工程应用。相较于Euler-Bernouli梁，Timoshenko梁考虑了梁剪切刚度对梁变形的影响。图1（b）为Timoshenko梁模型受力变形时的变形特征，梁截面在变形前垂直于中性轴，由于受力后产生了剪切变形，梁截面与中性轴法线方向成θ角，不再垂直，此时梁的控制方程相比于Euler-Bernouli梁多考虑了梁剪切刚度以及角θ两个参数，使得控制方程不便于数学求解。 程康等[11]、刘建文等[12]采用有限差分法求解了Timoshenko梁的控制方程，分别研究了邻近开挖对单桩、隧道的位移影响，但有限差分法计算步骤较复杂，不便于工程应用。同时，采用Timoshenko梁模拟盾构隧道开挖引起既有管道竖向位移的研究还未见报道，因此，为考虑管道的实际剪切刚度对管道位移的影响，且简化其求解过程，笔者采用两阶段法，在第2阶段中分析管道发生剪切变形后的受力平衡状态，建立管道的控制方程，再结合叠加法简化参数形式，最终求解出管道的变形。并将该方法的结果与实测值、既有文献以及离心机试验结果进行对比，进一步研究了管土弹性模量比、管道直径以及管道剪切刚度的变化对管道竖向位移的影响。
1 基本方程的建立
1.1 土体自由场竖向位移
土体自由场竖向位移采用Loganathan等[13]基于线弹性理论提出的盾构隧道开挖引起周围土体自由场竖向位移的计算方法进行计算，根據该方法，土体自由场竖向位移Uf（x，z）为
式中：x为距隧道轴线的水平距离;z为距地表的垂直距离;ε0为盾构隧道开挖引起的平均地层损失比;R为隧道半径;H为隧道轴线与地表的垂直距离;v为土体泊松比。采用的简化计算模型如图2所示，图中z0为管道轴线与地表的垂直距离，D为管道直径。此时，管道轴线z=z0处因盾构隧道开挖引起的土体竖向位移可表示为Uf（x）=Uf（x，z0）。
1.2 管道控制方程的建立
3 算例验证
3.1 工程算例1
采用文献[18]中盾构隧道下穿开挖对邻近管道影响实例的管道竖向位移监测数据对该方法进行验证。实例中地铁盾构隧道垂直下穿一条混凝土电缆管道，管道的泊松比vp=0.17，厚度T=0.12 m，其余物理参数参考文献[8]取值，如表1所示。
图4为该方法计算结果与实测值以及文献[8]计算结果的对比。文献[8]采用Pasternak地基模型与Euler-Bernouli梁模型模拟管道位移，由图4可见，采用Pasternak地基模型与Timoshenko梁模型的计算方法所得管道位移曲线与实测值更加吻合，同时，与文献[6]考虑管道侧向土体作用时的结果基本一致，证明了该计算管道竖向位移所用方法的准确性。
3.2 工程算例2
Vorster等[4]使用剑桥大学的离心机进行了盾构隧道开挖对邻近管道影响的试验研究。该离心机试验中的加速度为75g，文献[19]对1g加速度下的物理参数进行取值：隧道半径R=2.25 m;轴线埋深H=11.25 m;地层损失率ε0=2%;管道抗弯刚度EpIp=3.363×106 kN·m2;根据管道材质为铝合金，且保证抗弯刚度取管道弹性模量Ep=57.5 GPa，泊松比vp=0.3，直径D=1.19 m，轴线埋深z0=4.165 m;土体弹性模量Es=19.52 MPa，由于土的泊松比很难精确得到，因此，根据砂土的近似泊松比取v=0.25。
该计算方法的计算结果与离心机模型试验结果对比如图5所示。由图5可以看出，该方法计算所得管道最大竖向位移值为22.40 mm，略小于试验所得25.08 mm，总体结果较为一致，呈现的规律基本吻合，进一步验证了该方法的准确性。
4 参数分析
为研究各物理参数变化对考虑剪切效应的管道竖向位移的影响，取如下算例进行分析：其中，盾构隧道的物理参数为：轴线埋深H=15 m、半径R=3 m、地层损失率ε0=1%;管道物理参数为：直径D=2 m、管片厚度t=0.12 m、弹性模量Ep=3×104 MPa、轴线埋深z0=5 m、泊松比vp=0.2;土体物理参数为：弹性模量Es =6 MPa、泊松比v=0.3。在分析某一参数与管道竖向位移的关系时，其余参数不变。
4.1 管土弹性模量比变化对管道竖向位移的影响
为研究考虑剪切效应时管道的竖向位移与管土弹性模量比之间的关系，取4组管土弹性模量比进行分析，Ep/Es分别为2 000、1 000、500、250。图6为不同管土弹性模量比的情况下，考虑剪切效应时盾构隧道下穿施工引起的管道竖向位移曲线。从图6可看出，管土弹性模量比在2 000～500范围内时，随着管土弹性模量比的增大，管道竖向位移的最大值逐渐减小，且减小的比例相等。这是因为管土弹性模量比越大，盾构隧道开挖引起的土体位移荷载对管道的作用越小，即对管道的影响越小。
4.2 管道直径变化对管道竖向位移的影响
取5组管道直径研究考虑剪切效应时管道竖向位移与管道直径之间的关系，管道直径D分别为3、2.5、2、1.5、1 m。图7为不同管道直径的情况下，考虑剪切效应时盾构隧道下穿施工引起的管道竖向位移曲线。从图7可看出，在管道直径从3 m减小到1 m时，管道变形的范围随之变小，管道竖向位移的最大值增大，且增大的幅度逐渐增加。这是由于管道直径直接影响到管道的抗弯刚度和抗剪强度，直径减小导致抗弯刚度和抗剪强度都减小，因此，在同样的土体位移荷载作用下，管道抵抗荷载的能力降低，位移增大。
4.3 管道剪切刚度变化对管道竖向位移的影响
为研究考虑剪切效应时管道竖向位移与管道剪切刚度之间的关系，取4组管道剪切刚度进行分析，分别为10、1、0.1、0.01 κGA。
图8为不同管道剪切刚度的情况下，考虑剪切效应时盾构隧道下穿施工引起的管道竖向位移曲线。从图8可看出，在管道剪切刚度从10 κGA减小到0.01 κGA时，管道竖向位移的最大值随之增大，由此可说明管道剪切刚度的变化对管道竖向位移存在影响。同时，随着剪切刚度的减小，管道竖向位移最大值增大的幅度迅速增加，因此，在一定的剪切刚度范围内，不应忽略管道的剪切变形，尤其对于剪切刚度较小以及可能存在纵向裂缝等病害的管道，采用Timoshenko梁模型模拟管道会更加合理。
关键词：盾构隧道;管道位移;剪切效应;计算方法
Abstract： The two-stage method is used to derive the analytical solution of the vertical displacement of the existing pipeline caused by the undercrossing construction of the shield tunnel when the shear effect of the pipeline is considered. In the first stage， the Loganathan formula was applied to calculate the vertical displacement of the soil at the axis of the pipeline caused by the construction of the shield tunnel undercrossing the pipeline. In the second stage， a Timoshenko beam model considering the shear effect was used to simulate the pipe. Combined with the superposition method， the pipeline displacement control equation has been solved， and a simplified calculation method have been proposed. Then， the accuracy of the method has been verified via comparison with engineering monitoring， existing literature and centrifuge test data. Furthermore， the influence of the pipeline-soil elastic modulus ratio， pipeline diameter and pipeline shear stiffness change on pipeline deformation has been further studied. The results show that as the pipeline-soil elastic modulus ratio and pipeline diameter increase， the maximum vertical displacement of the pipeline decreases; the shear stiffness of the pipeline has a great influence on the displacement of the pipeline， and the decrease of the shear stiffness can lead to an increase in the maximum displacement of the pipeline.
Keywords： shield tunnelling; displacement of pipeline; shearing effect; calculation method
城市地鐵盾构隧道开挖导致的地层损失会引起周围地层的变形[1]，由于城市地下存在大量的管道，紧邻管道的盾构施工必然对其产生重大影响。因此，众多学者对如何准确分析盾构隧道下穿施工对邻近管道的影响展开了研究[2]。
目前，针对盾构隧道下穿施工对邻近管道影响的研究主要采用3种方法：模型试验法[3-4]，有限元法[5-6]以及理论解析法[7-10]。Shi等[3]、Vorster等[4]采用离心模型研究了盾构隧道下穿开挖对既有管道的影响;张治国等[5]、毕继红等[6]采用有限元法分析了盾构隧道开挖引起的邻近管道变形和内力。两阶段法作为理论解析的常用方法，意义明确，计算简便，将该问题分为两个阶段进行分析：第1阶段，先计算出管道轴线处因盾构隧道掘进引起的土体竖向位移;第2阶段，采用合理的管土相互作用模型解得管道的竖向位移。张陈蓉等[7]改进了Winkler地基模型采用两阶段法在考虑了管道接口的非连续影响下，对管道位移和弯矩进行分析;张恒等[8]基于Pasternak地基模型采用两阶段法，研究了侧向土体作用对于管道竖向位移的影响，得到了更符合实际的管道变形;可文海等[9]结合Vlasov模型与Pasternak模型，采用两阶段法对隧道斜下穿管道施工引起的管道位移进行分析;林存刚等[10]采用两阶段法求解了盾构隧道开挖引起带接头管道的挠曲，发现接头刚度对管道挠曲存在显著影响。在理论研究方面，学者们常采用Euler-Bernouli梁模拟管道变形，但受限于Euler-Bernouli梁无法模拟管道变形中管道剪切刚度的影响，这可能使计算结果产生误差。图1（a）为Euler-Bernouli梁模型受力变形时的变形特征，该模型将梁的剪切刚度看作无穷大，忽略梁在受力时产生的剪切变形，仅考虑梁的纵向抗弯刚度对梁受力变形的影响，因而在控制方程中只有抗弯刚度一个参数，在数学求解上较为简单，便于工程应用。相较于Euler-Bernouli梁，Timoshenko梁考虑了梁剪切刚度对梁变形的影响。图1（b）为Timoshenko梁模型受力变形时的变形特征，梁截面在变形前垂直于中性轴，由于受力后产生了剪切变形，梁截面与中性轴法线方向成θ角，不再垂直，此时梁的控制方程相比于Euler-Bernouli梁多考虑了梁剪切刚度以及角θ两个参数，使得控制方程不便于数学求解。 程康等[11]、刘建文等[12]采用有限差分法求解了Timoshenko梁的控制方程，分别研究了邻近开挖对单桩、隧道的位移影响，但有限差分法计算步骤较复杂，不便于工程应用。同时，采用Timoshenko梁模拟盾构隧道开挖引起既有管道竖向位移的研究还未见报道，因此，为考虑管道的实际剪切刚度对管道位移的影响，且简化其求解过程，笔者采用两阶段法，在第2阶段中分析管道发生剪切变形后的受力平衡状态，建立管道的控制方程，再结合叠加法简化参数形式，最终求解出管道的变形。并将该方法的结果与实测值、既有文献以及离心机试验结果进行对比，进一步研究了管土弹性模量比、管道直径以及管道剪切刚度的变化对管道竖向位移的影响。
1 基本方程的建立
1.1 土体自由场竖向位移
土体自由场竖向位移采用Loganathan等[13]基于线弹性理论提出的盾构隧道开挖引起周围土体自由场竖向位移的计算方法进行计算，根據该方法，土体自由场竖向位移Uf（x，z）为
式中：x为距隧道轴线的水平距离;z为距地表的垂直距离;ε0为盾构隧道开挖引起的平均地层损失比;R为隧道半径;H为隧道轴线与地表的垂直距离;v为土体泊松比。采用的简化计算模型如图2所示，图中z0为管道轴线与地表的垂直距离，D为管道直径。此时，管道轴线z=z0处因盾构隧道开挖引起的土体竖向位移可表示为Uf（x）=Uf（x，z0）。
1.2 管道控制方程的建立
3 算例验证
3.1 工程算例1
采用文献[18]中盾构隧道下穿开挖对邻近管道影响实例的管道竖向位移监测数据对该方法进行验证。实例中地铁盾构隧道垂直下穿一条混凝土电缆管道，管道的泊松比vp=0.17，厚度T=0.12 m，其余物理参数参考文献[8]取值，如表1所示。
图4为该方法计算结果与实测值以及文献[8]计算结果的对比。文献[8]采用Pasternak地基模型与Euler-Bernouli梁模型模拟管道位移，由图4可见，采用Pasternak地基模型与Timoshenko梁模型的计算方法所得管道位移曲线与实测值更加吻合，同时，与文献[6]考虑管道侧向土体作用时的结果基本一致，证明了该计算管道竖向位移所用方法的准确性。
3.2 工程算例2
Vorster等[4]使用剑桥大学的离心机进行了盾构隧道开挖对邻近管道影响的试验研究。该离心机试验中的加速度为75g，文献[19]对1g加速度下的物理参数进行取值：隧道半径R=2.25 m;轴线埋深H=11.25 m;地层损失率ε0=2%;管道抗弯刚度EpIp=3.363×106 kN·m2;根据管道材质为铝合金，且保证抗弯刚度取管道弹性模量Ep=57.5 GPa，泊松比vp=0.3，直径D=1.19 m，轴线埋深z0=4.165 m;土体弹性模量Es=19.52 MPa，由于土的泊松比很难精确得到，因此，根据砂土的近似泊松比取v=0.25。
该计算方法的计算结果与离心机模型试验结果对比如图5所示。由图5可以看出，该方法计算所得管道最大竖向位移值为22.40 mm，略小于试验所得25.08 mm，总体结果较为一致，呈现的规律基本吻合，进一步验证了该方法的准确性。
4 参数分析
为研究各物理参数变化对考虑剪切效应的管道竖向位移的影响，取如下算例进行分析：其中，盾构隧道的物理参数为：轴线埋深H=15 m、半径R=3 m、地层损失率ε0=1%;管道物理参数为：直径D=2 m、管片厚度t=0.12 m、弹性模量Ep=3×104 MPa、轴线埋深z0=5 m、泊松比vp=0.2;土体物理参数为：弹性模量Es =6 MPa、泊松比v=0.3。在分析某一参数与管道竖向位移的关系时，其余参数不变。
4.1 管土弹性模量比变化对管道竖向位移的影响
为研究考虑剪切效应时管道的竖向位移与管土弹性模量比之间的关系，取4组管土弹性模量比进行分析，Ep/Es分别为2 000、1 000、500、250。图6为不同管土弹性模量比的情况下，考虑剪切效应时盾构隧道下穿施工引起的管道竖向位移曲线。从图6可看出，管土弹性模量比在2 000～500范围内时，随着管土弹性模量比的增大，管道竖向位移的最大值逐渐减小，且减小的比例相等。这是因为管土弹性模量比越大，盾构隧道开挖引起的土体位移荷载对管道的作用越小，即对管道的影响越小。
4.2 管道直径变化对管道竖向位移的影响
取5组管道直径研究考虑剪切效应时管道竖向位移与管道直径之间的关系，管道直径D分别为3、2.5、2、1.5、1 m。图7为不同管道直径的情况下，考虑剪切效应时盾构隧道下穿施工引起的管道竖向位移曲线。从图7可看出，在管道直径从3 m减小到1 m时，管道变形的范围随之变小，管道竖向位移的最大值增大，且增大的幅度逐渐增加。这是由于管道直径直接影响到管道的抗弯刚度和抗剪强度，直径减小导致抗弯刚度和抗剪强度都减小，因此，在同样的土体位移荷载作用下，管道抵抗荷载的能力降低，位移增大。
4.3 管道剪切刚度变化对管道竖向位移的影响
为研究考虑剪切效应时管道竖向位移与管道剪切刚度之间的关系，取4组管道剪切刚度进行分析，分别为10、1、0.1、0.01 κGA。
图8为不同管道剪切刚度的情况下，考虑剪切效应时盾构隧道下穿施工引起的管道竖向位移曲线。从图8可看出，在管道剪切刚度从10 κGA减小到0.01 κGA时，管道竖向位移的最大值随之增大，由此可说明管道剪切刚度的变化对管道竖向位移存在影响。同时，随着剪切刚度的减小，管道竖向位移最大值增大的幅度迅速增加，因此，在一定的剪切刚度范围内，不应忽略管道的剪切变形，尤其对于剪切刚度较小以及可能存在纵向裂缝等病害的管道，采用Timoshenko梁模型模拟管道会更加合理。