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数学就在你的身边,数学与日常生活､自然､社会有着密切的联系.二次函数应用题备受中考命题者的青睐.现举几例,供同学们参考.
一､图表信息题
例1 在2008年青岛崂山北宅樱桃节前夕,某果品批发公司为指导今年的樱桃销售,对往年市场销售情况进行了调查,得到如下数据:
(1) 在直角坐标系内,作出各组有序数对(x,y)所对应的点.连接各点并观察所得的图形,判断y与x之间的函数关系,并求出y与x之间的函数关系式.
(2) 若樱桃进价为每千克13元,试求销售利润P(元)与销售价x(元/千克)之间的函数关系式,并求出当x取何值时,P的值最大.
解:(1) 从表中提取四个点:(22,3 500),(23,3 000),(24,2 500),(25,2 000),描点后连线,如图1.由图象可知,y是x的一次函数.
设解析式为y=kx+b,将点(25,2 000),(24,2 500)代入.
可得2 000=25k+b,2 500=24k+b.解得k=-500,b=14 500.
∴y=-500x+14 500.
(2) P =(x-13)y=(x-13)(-500x+14 500)
=-500x2+21 000x-188 500=-500(x-21)2+32 000.
∴P与x的函数关系式为P=-500x2+21 000x-188 500.
当销售价为每千克21元时,能获得最大利润.
二､方案设计问题
例2 农民张大伯为了致富奔小康,大力发展家庭养殖业.他准备用40 m长的木栏围一个矩形的羊圈,为了节约材料,同时要使矩形的面积最大,他利用了自家房屋一面长25 m的墙,设计了如图2一个矩形的羊圈.
(1) 请你求出张大伯矩形羊圈的面积.
(2) 请你判断他的设计方案是否合理.如果合理,直接答合理;如果不合理,又该如何设计?并说明理由.
解:(1) 40-25=15,故矩形的宽为7.5 m,S矩形 =7.5×25=187.5(m2).
(2) 设利用x m的墙作为矩形羊圈的长,则宽为m.
设矩形的面积为y m2,则y=x• =- x2+20x.
当x=20时,y=- ×202+20×20=200(m2).
因200>187.5,故张大伯的设计不合理.应设计为长20 m,宽10 m,利用20 m墙的矩形羊圈.
三､说理问题
例3 甲车在弯路进行刹车试验,收集到的数据如下表所示:
(1) 请用上表中的各对数据(x,y)作为点的坐标,画出甲车刹车距离y(m)与速度x(km/h)的函数图象,并求函数的解析式.
(2) 在一个限速为40 km/h的弯路上,甲､乙两车相向而行,同时刹车,但还是相撞了.事后测得甲､乙两车的刹车距离分别为12 m和10.5 m.又知乙车的刹车距离y(m)与速度x(km/h)满足函数y= x,请你就两车的速度方面分析相撞的原因.
解:(1) 设函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).
由图象经过点(0,0),(10,2),(20,6),可知c=0.
∴2=100a+10b+0,6=400a+20b+0. 解得 a= ,b= .
∴函数的解析式为y= x2+ x.
画图如图3(只画出一部分).
(2) 因y甲=12,由 x2+ x=12,解得x1=30,x2=-40(舍去).
因y乙=10.5,故 x=10.5,解得x=42.
乙车刹车时速度为42 km/h,大于40 km/h;甲车开始刹车的速度为30 km/h,不超速.所以事故是乙车超速所致.
四､体育运动问题
例4 某同学推铅球时,铅球行进的路线是抛物线的一段.已知铅球出手时距离地面的高度是1.4 m,铅球水平前进1.5 m后到达最高点,此时距离地面2 m.问铅球从出手到落地行进的水平距离是多少米.
解:如图4,铅球行进的路线是抛物线的一部分,其中A为铅球出手时的位置,B为铅球行进中的最高点,C为铅球落地时的位置.以地面为x轴､过点A垂直于x轴的直线为y轴建立直角坐标系,则抛物线经过点A(0,1.4),顶点B为(1.5,2).可设其解析式为y=a(x-1.5)2+2.
把x=0,y=1.4代入,可得a=- .
故y=- (x-1.5)2+2.由y=0,得x=1.5± .
所以OC=1.5+ ≈4.2(m).
因此,铅球从出手到落地水平前进约4.2 m.
五､经济预算问题
例5 图5表示近5年来某市的财政收入情况.图中x轴上1,2,…,5依次表示第1年､第2年､…､第5年,即2003年､2004年､…､2007年,可以看出,图中的折线近似于抛物线的一部分.
(1) 请你求出过A,C,D三点的二次函数的解析式.
(2) 分别求出当x=2和x=5时,(1)中的二次函数的函数值,并分别与B,E两点的纵坐标相比较.
(3) 利用(1)中二次函数的解析式预测2008年该市的财政收入.
解:(1) 所求的函数解析式为y=0.2x2-0.2x+2.6.
(2) 当x=2时,y=3,所求函数值与B点纵坐标的差为0(亿元).
当x=5时,y=6.6,所求函数值与E点纵坐标的误差为0.3(亿元).
(3) 把x=6代入解析式,得y=8.6.预计今年的财政收入为8.6亿元.
责任编辑/赵良河
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文”｡
一､图表信息题
例1 在2008年青岛崂山北宅樱桃节前夕,某果品批发公司为指导今年的樱桃销售,对往年市场销售情况进行了调查,得到如下数据:
(1) 在直角坐标系内,作出各组有序数对(x,y)所对应的点.连接各点并观察所得的图形,判断y与x之间的函数关系,并求出y与x之间的函数关系式.
(2) 若樱桃进价为每千克13元,试求销售利润P(元)与销售价x(元/千克)之间的函数关系式,并求出当x取何值时,P的值最大.
解:(1) 从表中提取四个点:(22,3 500),(23,3 000),(24,2 500),(25,2 000),描点后连线,如图1.由图象可知,y是x的一次函数.
设解析式为y=kx+b,将点(25,2 000),(24,2 500)代入.
可得2 000=25k+b,2 500=24k+b.解得k=-500,b=14 500.
∴y=-500x+14 500.
(2) P =(x-13)y=(x-13)(-500x+14 500)
=-500x2+21 000x-188 500=-500(x-21)2+32 000.
∴P与x的函数关系式为P=-500x2+21 000x-188 500.
当销售价为每千克21元时,能获得最大利润.
二､方案设计问题
例2 农民张大伯为了致富奔小康,大力发展家庭养殖业.他准备用40 m长的木栏围一个矩形的羊圈,为了节约材料,同时要使矩形的面积最大,他利用了自家房屋一面长25 m的墙,设计了如图2一个矩形的羊圈.
(1) 请你求出张大伯矩形羊圈的面积.
(2) 请你判断他的设计方案是否合理.如果合理,直接答合理;如果不合理,又该如何设计?并说明理由.
解:(1) 40-25=15,故矩形的宽为7.5 m,S矩形 =7.5×25=187.5(m2).
(2) 设利用x m的墙作为矩形羊圈的长,则宽为m.
设矩形的面积为y m2,则y=x• =- x2+20x.
当x=20时,y=- ×202+20×20=200(m2).
因200>187.5,故张大伯的设计不合理.应设计为长20 m,宽10 m,利用20 m墙的矩形羊圈.
三､说理问题
例3 甲车在弯路进行刹车试验,收集到的数据如下表所示:
(1) 请用上表中的各对数据(x,y)作为点的坐标,画出甲车刹车距离y(m)与速度x(km/h)的函数图象,并求函数的解析式.
(2) 在一个限速为40 km/h的弯路上,甲､乙两车相向而行,同时刹车,但还是相撞了.事后测得甲､乙两车的刹车距离分别为12 m和10.5 m.又知乙车的刹车距离y(m)与速度x(km/h)满足函数y= x,请你就两车的速度方面分析相撞的原因.
解:(1) 设函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).
由图象经过点(0,0),(10,2),(20,6),可知c=0.
∴2=100a+10b+0,6=400a+20b+0. 解得 a= ,b= .
∴函数的解析式为y= x2+ x.
画图如图3(只画出一部分).
(2) 因y甲=12,由 x2+ x=12,解得x1=30,x2=-40(舍去).
因y乙=10.5,故 x=10.5,解得x=42.
乙车刹车时速度为42 km/h,大于40 km/h;甲车开始刹车的速度为30 km/h,不超速.所以事故是乙车超速所致.
四､体育运动问题
例4 某同学推铅球时,铅球行进的路线是抛物线的一段.已知铅球出手时距离地面的高度是1.4 m,铅球水平前进1.5 m后到达最高点,此时距离地面2 m.问铅球从出手到落地行进的水平距离是多少米.
解:如图4,铅球行进的路线是抛物线的一部分,其中A为铅球出手时的位置,B为铅球行进中的最高点,C为铅球落地时的位置.以地面为x轴､过点A垂直于x轴的直线为y轴建立直角坐标系,则抛物线经过点A(0,1.4),顶点B为(1.5,2).可设其解析式为y=a(x-1.5)2+2.
把x=0,y=1.4代入,可得a=- .
故y=- (x-1.5)2+2.由y=0,得x=1.5± .
所以OC=1.5+ ≈4.2(m).
因此,铅球从出手到落地水平前进约4.2 m.
五､经济预算问题
例5 图5表示近5年来某市的财政收入情况.图中x轴上1,2,…,5依次表示第1年､第2年､…､第5年,即2003年､2004年､…､2007年,可以看出,图中的折线近似于抛物线的一部分.
(1) 请你求出过A,C,D三点的二次函数的解析式.
(2) 分别求出当x=2和x=5时,(1)中的二次函数的函数值,并分别与B,E两点的纵坐标相比较.
(3) 利用(1)中二次函数的解析式预测2008年该市的财政收入.
解:(1) 所求的函数解析式为y=0.2x2-0.2x+2.6.
(2) 当x=2时,y=3,所求函数值与B点纵坐标的差为0(亿元).
当x=5时,y=6.6,所求函数值与E点纵坐标的误差为0.3(亿元).
(3) 把x=6代入解析式,得y=8.6.预计今年的财政收入为8.6亿元.
责任编辑/赵良河
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文”｡