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一位网友在搜狐的初中学习论坛上问了一道数学题：已知等边三角形ABC中，P为三角形内的一点，且PA=3，PB=5，PC=4.求∠APB的度数.作为一名初二学生的家长，同时又是一名老师（教计算机），我经常光顾初中学习这个论坛，并常常去浏览有关数学问题，以达到辅导女儿学习的目的.
一、解题的思维过程
对于如上问题，有网友认为可能缺少等边三角形的边长条件，但我们仔细想想或作一个图，就会知道通过已知条件可以确定这样的三角形，因此并不缺少条件.
还有网友“觉得用余弦定理一定可以解出来,不过好像不是初中知识”，这很有道理，我通过余弦定理可以得到如下方程式：
32+52-2×3×5×cos∠APB=32+42-2×3×4×cos∠APC=52+42-2×5×4×cos∠BPC.
（1）
∵∠BPC=2π-∠APB-∠APC，
∴cos∠BPC=cos(∠APB+∠APC).
带入（1）式后就是只有两个未知数的两个方程，好像可以解答出来了.可是因为是三角函数方程，解答起来比较困难.
∵cos(∠APB+∠APC)=cos∠APB•cos∠APC-sin∠APB•sin∠APC，
而sin∠APB=1-cos2∠APB，
sin∠APC=1-cos2∠APC.
再带入得到的方程非常复杂，很难解答出来，因此通过余弦定理来解答行不通.
避开了余弦定理，我曾尝试用三角函数的其他方法，如:
3sin∠PAB=5sinπ3-∠PBC，
5sin∠PBC=4sinπ3-∠PCA，
4sin∠PCA=3sinπ3-∠PAB.
（2）
同样是三个未知数三个方程，好像可以解答出来，但是由于展开后又是正弦和余弦函数都有的三角函数方程，解答起来依然非常困难，只好另求解答方法.
从PA=3，PB=5，PC=4的条件我们很容易联想到“勾三股四弦五”，即通过勾股定理来构造直角三角形，但又好像没有可以用来够成等腰直角三角形的边.这时我们可以想到：因为PB=5，以它为弦来构造一个Rt△PEB，使PE=3，BE=4，这样∠BPE就确定了，只要求出等腰三角形APE的顶角，题目就得解了.
可是由于AE的长度不知，求出∠APE同样困难.经过反复思考，突然发现△AEB和△APC有相同之处，如果它们全等问题就得解了.因为AB=AC，BE=PC，要证明△AEB和△APC全等，必须∠ABE=∠ACP，可是要证明∠ABE=∠ACP又不知该如何下手.
二、运用逆向思维方法
似乎解题方法又陷入了绝境，但我们又可以想到如果两个三角形全等，那么AE=AP=3，△APE就是等边三角形了.我们利用逆向思维方法，先通过AP为底边作△APE为等边三角形，连接BE，证明△BEP为直角三角形，问题同样得解了.
因为△APE为等边三角形，∠BAC=∠PAE=π3，则∠BAE=∠CAP,AE=AP=3,AC=AB,则△AEB和△APC全等，故EB=PC=4.因为BE=4,EP=3,BP=5,可以求得∠APB=π3+arcsin45.原题得解.
本题采用逆向思维方法，先通过AP为底边作△APE为等边三角形，是问题得解的关键.
三、问题的展开
从上面的答案可以看出，一个初中学生可能无法用π3+arcsin45来表示，因为他们没有学习过反三角函数.当然他可以这样来表述，设“勾三股四弦五”的直角三角形中，较大的一个锐角为α，则∠APB=π3+α.
我们通过同样的方法，以PC为底边作等边三角形PFC,可以得到∠BPC=π3+arcsin35.同样很容易证明四边形PEBF为矩形，则∠APC=2π-π3-π3-π2=5π6.
从以上可以看出，如果原题改为求∠APC的度数，就用不着反三角函数表示了.
四、逆向思维方法在教与学中的应用
其实逆向思维方法是我们在正常解答过程中遇到障碍时常用的一种方法，可是我们在许多教学辅导材料中只能看到它的解答过程，并不清楚在解答过程中的思维过程.很多同学在解答类似题目过程中，很难找到突破口，主要是在平时训练中按照正常的思考过程居多，很难跳跃到逆向思维.
在教学中，在证明题中，我们经常用到要证明某结果，需要什么条件，要证明这个条件成立，又需要什么条件，并一直推到已知条件，这就是一种逆向思维方法.
另外，作为教师，在给同学们解答例题时，要多给同学们讲解你的思维过程，包括失败的思维过程，以让同学们能够很好地总结.特别是在思维过程中是怎样采用逆向思维让问题得以解决的，不能单单把问题一步一步地解答出来了事.
当前，我们的大学教育一般都是根据老师的经验制订教学计划和教学大纲，上课的时候根据教材的内容给学生讲解，往往和实际很脱节.因此，教学改革势在必行.在改革中，我们也不妨采用逆向思维方法，深入了解学生的需求，了解当前流行的技术和社会需求，大刀阔斧地进行革新，对不必要的课程坚决去除，对学生感兴趣和流行的技术要采用先进的教学手段进行教学，使学生能从中受益.
一、解题的思维过程
对于如上问题，有网友认为可能缺少等边三角形的边长条件，但我们仔细想想或作一个图，就会知道通过已知条件可以确定这样的三角形，因此并不缺少条件.
还有网友“觉得用余弦定理一定可以解出来,不过好像不是初中知识”，这很有道理，我通过余弦定理可以得到如下方程式：
32+52-2×3×5×cos∠APB=32+42-2×3×4×cos∠APC=52+42-2×5×4×cos∠BPC.
（1）
∵∠BPC=2π-∠APB-∠APC，
∴cos∠BPC=cos(∠APB+∠APC).
带入（1）式后就是只有两个未知数的两个方程，好像可以解答出来了.可是因为是三角函数方程，解答起来比较困难.
∵cos(∠APB+∠APC)=cos∠APB•cos∠APC-sin∠APB•sin∠APC，
而sin∠APB=1-cos2∠APB，
sin∠APC=1-cos2∠APC.
再带入得到的方程非常复杂，很难解答出来，因此通过余弦定理来解答行不通.
避开了余弦定理，我曾尝试用三角函数的其他方法，如:
3sin∠PAB=5sinπ3-∠PBC，
5sin∠PBC=4sinπ3-∠PCA，
4sin∠PCA=3sinπ3-∠PAB.
（2）
同样是三个未知数三个方程，好像可以解答出来，但是由于展开后又是正弦和余弦函数都有的三角函数方程，解答起来依然非常困难，只好另求解答方法.
从PA=3，PB=5，PC=4的条件我们很容易联想到“勾三股四弦五”，即通过勾股定理来构造直角三角形，但又好像没有可以用来够成等腰直角三角形的边.这时我们可以想到：因为PB=5，以它为弦来构造一个Rt△PEB，使PE=3，BE=4，这样∠BPE就确定了，只要求出等腰三角形APE的顶角，题目就得解了.
可是由于AE的长度不知，求出∠APE同样困难.经过反复思考，突然发现△AEB和△APC有相同之处，如果它们全等问题就得解了.因为AB=AC，BE=PC，要证明△AEB和△APC全等，必须∠ABE=∠ACP，可是要证明∠ABE=∠ACP又不知该如何下手.
二、运用逆向思维方法
似乎解题方法又陷入了绝境，但我们又可以想到如果两个三角形全等，那么AE=AP=3，△APE就是等边三角形了.我们利用逆向思维方法，先通过AP为底边作△APE为等边三角形，连接BE，证明△BEP为直角三角形，问题同样得解了.
因为△APE为等边三角形，∠BAC=∠PAE=π3，则∠BAE=∠CAP,AE=AP=3,AC=AB,则△AEB和△APC全等，故EB=PC=4.因为BE=4,EP=3,BP=5,可以求得∠APB=π3+arcsin45.原题得解.
本题采用逆向思维方法，先通过AP为底边作△APE为等边三角形，是问题得解的关键.
三、问题的展开
从上面的答案可以看出，一个初中学生可能无法用π3+arcsin45来表示，因为他们没有学习过反三角函数.当然他可以这样来表述，设“勾三股四弦五”的直角三角形中，较大的一个锐角为α，则∠APB=π3+α.
我们通过同样的方法，以PC为底边作等边三角形PFC,可以得到∠BPC=π3+arcsin35.同样很容易证明四边形PEBF为矩形，则∠APC=2π-π3-π3-π2=5π6.
从以上可以看出，如果原题改为求∠APC的度数，就用不着反三角函数表示了.
四、逆向思维方法在教与学中的应用
其实逆向思维方法是我们在正常解答过程中遇到障碍时常用的一种方法，可是我们在许多教学辅导材料中只能看到它的解答过程，并不清楚在解答过程中的思维过程.很多同学在解答类似题目过程中，很难找到突破口，主要是在平时训练中按照正常的思考过程居多，很难跳跃到逆向思维.
在教学中，在证明题中，我们经常用到要证明某结果，需要什么条件，要证明这个条件成立，又需要什么条件，并一直推到已知条件，这就是一种逆向思维方法.
另外，作为教师，在给同学们解答例题时，要多给同学们讲解你的思维过程，包括失败的思维过程，以让同学们能够很好地总结.特别是在思维过程中是怎样采用逆向思维让问题得以解决的，不能单单把问题一步一步地解答出来了事.
当前，我们的大学教育一般都是根据老师的经验制订教学计划和教学大纲，上课的时候根据教材的内容给学生讲解，往往和实际很脱节.因此，教学改革势在必行.在改革中，我们也不妨采用逆向思维方法，深入了解学生的需求，了解当前流行的技术和社会需求，大刀阔斧地进行革新，对不必要的课程坚决去除，对学生感兴趣和流行的技术要采用先进的教学手段进行教学，使学生能从中受益.