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求解直线方程出现漏解的情况是一种普遍现象.由于直线方程的形式多达五种,所以漏解的情况多种多样.但是只要我们把导致漏解原因分析清楚,归纳出错解的类型,加以落实消化,就可以保证我们今后不再出现类似的错误.1.混淆倾斜角的取值范围导致直线方程漏解
【例1】 直线l在y轴上的截距为3,且倾斜角a的正弦值为45,求直线l的方程.
我们先看错解:
∵sina=45,∴cosa=35,∴直线的斜率k=43.故所求直线l的方程为y=43x+3,即4x-3y+9=0.
【错解分析】 由题意直接选择直线方程五种形式中的任何一个,写出形式适当的方程即为直接法.同时求解本例时不要混淆倾斜角的取值范围,倾斜角应在［0,π)内,从而cosa应有两个解.而以上解答显然是把倾斜角的取值范围定义为0,π2,导致漏掉一种情况.
【正确解答】 ∵sina=45,∴cosa=±35 ∴直线的斜率k=±43.
故所求直线l的方程为y=±43x+3,
即4x-3y+9=0或4x+3y-9=0.2.由于对截距理解失误导致直线方程漏解
截距的取值是任意实数,可正可负也可以是零,但由于我们平时总认为距离值恒为正值,这势必影响到有些同学,认为带“距”的值都为正值.一旦这种认识形成,在求直线方程时就会带来失误.
【例2】 求过点p(-5,-4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程.
我们先看错解:
设所求直线方程为xa+yb=1.
∵直线过点p(-5,-4).∴-5a+-4b=1,即4a+5b=-ab.
又12ab=5 ∴ab=10 联立4a+5b=-ab
ab=10
得方程无解.所以这样的直线不存在.
【错解分析】 因直线与坐标轴围成的三角形中的a和b可能取负值,即应为|ab|=10,从而遗漏ab=-10的情况.
【正确解答】 设所求方程为y+4=k(x+5),则直线与两坐标轴分别交于两点(0,5k-4),4k-5.0.
由题意得: 12|5k-4|·4k-5=5,解得k=85或k=25.
故所求直线方程为8x-5y+20=0和2x-5y-10=0.3.由于表示直线的方程局限性导致特殊情况的直线方程漏解
表示直线的方程有点斜式、斜截式、截距式和两点式,每一种都有其局限性(如解距式只可表示两截距都存在和不过原点的直线),一旦这些特殊情况成立,却不加以注意，就会造成直线方程的漏解.
【例3】 求过点A(5,2),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
我们先看错解:由于直线l在两坐标轴上的截距互为相反数,所以可设直线l的方程为:xa+yb=1. ∴l过点A(5,2), ∴5a+2-a=1.于是3a=1，得a=3.
所以l的直线方程为:x3-y3=1,即x-y-3=0.【错解分析】 在应用直线方程的各种形式解题时,要注意方程形式的适用条件,防止丢解.本题要考虑截距为零的情况,一般来说,直线l在两个坐标轴上的截距互为相反数时,应该是b与-b,而b=0也符合题意.但在错误解答中,仅考虑了b≠0的情况,所以错解只是完成了整个解题过程的一半,还须补上直线l过原点的情况.
【正确解答】 (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时,用上述求解过程.
(2)当直线l过坐标原点时,直线l在两坐标轴上的截距均为0,也是互为相反数,这时的直线方程为:y=25x,即2x-5y=0.
综合(1),(2)知:直线l的方程是x-y-3=0或2x-5y=0.4.忽视倾斜角π2的特殊性导致直线方程的漏解
所谓倾斜角π2的特殊性是指当直线倾斜角为π2时其斜率不存在.而我们在运用公式求直线方程时,若公式中涉及斜率则斜率值往往都是存在的,也就是说此时不包括倾斜角为π2的直线方程.
【例4】 已知直线l过点p(2,2),且与直线l1:y=x成45°的角，求直线l的方程.
我们先看错解:
∵直线l1:y=x与x轴成45°的角,
∴过点p(2,2)且与直线l1:y=45°角的直线的斜率为k=0
∴所求直线l的方程:y=2.
【错解分析】 由两直线的位置关系知所求直线应有两条,另一条的斜率不存在,故失掉一解.
【正确解答】 在上面解答的基础上应再分析所求直线倾斜角为π2的情况:
过点p(2,2)且与直线l1:y=x成45°的角的直线还有另一条:过点p(2,2)且与x轴垂直,即x=2.
故所求直线l的方程为:y=2和x=2.
【作者单位:山东省利津县第一中学】
【责任编辑:刘彩霞】
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
【例1】 直线l在y轴上的截距为3,且倾斜角a的正弦值为45,求直线l的方程.
我们先看错解:
∵sina=45,∴cosa=35,∴直线的斜率k=43.故所求直线l的方程为y=43x+3,即4x-3y+9=0.
【错解分析】 由题意直接选择直线方程五种形式中的任何一个,写出形式适当的方程即为直接法.同时求解本例时不要混淆倾斜角的取值范围,倾斜角应在［0,π)内,从而cosa应有两个解.而以上解答显然是把倾斜角的取值范围定义为0,π2,导致漏掉一种情况.
【正确解答】 ∵sina=45,∴cosa=±35 ∴直线的斜率k=±43.
故所求直线l的方程为y=±43x+3,
即4x-3y+9=0或4x+3y-9=0.2.由于对截距理解失误导致直线方程漏解
截距的取值是任意实数,可正可负也可以是零,但由于我们平时总认为距离值恒为正值,这势必影响到有些同学,认为带“距”的值都为正值.一旦这种认识形成,在求直线方程时就会带来失误.
【例2】 求过点p(-5,-4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程.
我们先看错解:
设所求直线方程为xa+yb=1.
∵直线过点p(-5,-4).∴-5a+-4b=1,即4a+5b=-ab.
又12ab=5 ∴ab=10 联立4a+5b=-ab
ab=10
得方程无解.所以这样的直线不存在.
【错解分析】 因直线与坐标轴围成的三角形中的a和b可能取负值,即应为|ab|=10,从而遗漏ab=-10的情况.
【正确解答】 设所求方程为y+4=k(x+5),则直线与两坐标轴分别交于两点(0,5k-4),4k-5.0.
由题意得: 12|5k-4|·4k-5=5,解得k=85或k=25.
故所求直线方程为8x-5y+20=0和2x-5y-10=0.3.由于表示直线的方程局限性导致特殊情况的直线方程漏解
表示直线的方程有点斜式、斜截式、截距式和两点式,每一种都有其局限性(如解距式只可表示两截距都存在和不过原点的直线),一旦这些特殊情况成立,却不加以注意，就会造成直线方程的漏解.
【例3】 求过点A(5,2),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
我们先看错解:由于直线l在两坐标轴上的截距互为相反数,所以可设直线l的方程为:xa+yb=1. ∴l过点A(5,2), ∴5a+2-a=1.于是3a=1，得a=3.
所以l的直线方程为:x3-y3=1,即x-y-3=0.【错解分析】 在应用直线方程的各种形式解题时,要注意方程形式的适用条件,防止丢解.本题要考虑截距为零的情况,一般来说,直线l在两个坐标轴上的截距互为相反数时,应该是b与-b,而b=0也符合题意.但在错误解答中,仅考虑了b≠0的情况,所以错解只是完成了整个解题过程的一半,还须补上直线l过原点的情况.
【正确解答】 (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时,用上述求解过程.
(2)当直线l过坐标原点时,直线l在两坐标轴上的截距均为0,也是互为相反数,这时的直线方程为:y=25x,即2x-5y=0.
综合(1),(2)知:直线l的方程是x-y-3=0或2x-5y=0.4.忽视倾斜角π2的特殊性导致直线方程的漏解
所谓倾斜角π2的特殊性是指当直线倾斜角为π2时其斜率不存在.而我们在运用公式求直线方程时,若公式中涉及斜率则斜率值往往都是存在的,也就是说此时不包括倾斜角为π2的直线方程.
【例4】 已知直线l过点p(2,2),且与直线l1:y=x成45°的角，求直线l的方程.
我们先看错解:
∵直线l1:y=x与x轴成45°的角,
∴过点p(2,2)且与直线l1:y=45°角的直线的斜率为k=0
∴所求直线l的方程:y=2.
【错解分析】 由两直线的位置关系知所求直线应有两条,另一条的斜率不存在,故失掉一解.
【正确解答】 在上面解答的基础上应再分析所求直线倾斜角为π2的情况:
过点p(2,2)且与直线l1:y=x成45°的角的直线还有另一条:过点p(2,2)且与x轴垂直,即x=2.
故所求直线l的方程为:y=2和x=2.
【作者单位:山东省利津县第一中学】
【责任编辑:刘彩霞】
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”