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摘要：这篇文章构造了带参数的三角Bézier基函数，并且引入调节矩阵，得到带形状参数l的二阶三角Bézier曲线。它既保留了 Bézier 曲线的性质，又具有形状可调性且能精确表示圆锥曲线。曲线拼接的条件简单，是[Gn]连续的。此方法具有一般性，为复杂曲线的设计创造了条件。
关键词：三角Bézier曲线；形状参数；连续性；曲线拼接；保形
中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2016）32-0247-04
Order Two Trigonometric Bézier Curves with [Gn] Continuity
PAN Jing， XING Qing-dan， CHEN Xue-jiao
（ School of Mathematics of Liaoning Normal University， Liaoning 116029， China）
Abstract： This paper constructs a series of trigonometric Bézier basis function with the shape parameters，adding adjustment matrix ，and the two order triangular Bézier curves with shape parameter l are obtained. It retains the properties of Bézier curve. It is shape adjustable curves and it can accurately represent ellipse and circle. The curves are [Gn] continuous and the condition of curves blending is simple. This method is general， which creates the conditions for the design of complex curves.
Key words： triangular Bézier curve； shape parameter； continuity； curve blending； conformal
1 引言
在计算机辅助几何设计（ CAGD） 中，Bézier 曲线一直占有重要地位。然而其无法进行形状调整、不能精确表示椭圆、圆等图形的不足引起了许多学者的关注。文献[1-5]构造了含参数、性质类似于Bernstein基函数的新的基函数，使得定义曲线在具备Bézier 曲线基本性质的同时，还具有形状可调性。文献[6-7]中定义的三角多项式曲线解决了Bézier 曲线不能精确表示圆锥曲线的问题。文献[1-7]中定义的曲线都可以在不改变控制顶点的情况下，通过改变形状参数的值对曲线进行形状调整。文献[1][5]有别于其他曲线，曲线的2至你l阶导失和一阶导失一样，都与首末控制边平行。这对拼接时要求高阶光滑性的曲线造型十分方便。
利用二阶三角Bézier基函数，引入形状参数，可以通过调整参数对曲线进行局部形状调整，并且引入调节矩阵，使得曲线切点位于首末控制边中点，且达到[Gn]连续，能精确表示椭圆和圆。
2 [Gn]连续的二阶三角Bézier 基函数
2.1 基函数的定义
定义1：对于自变量[t∈[0，π2]]，称表达式：
[b0，2（t）=12（1-sint）l 1b1，2（t）=1-12（1-sint）l 1-12（1-cost）l 1b2，2（t）=12（1-cost）l 1] （1）
為切点可调的连续的二阶三角Bézier多项式基函数。其中l为形状参数，， 。
规定矩阵[1200121120012]为调节矩阵，则 （1）式的矩阵表现形式为：
[b0，2（t）b1，2（t）b2，2（t）]=[1200121120012（1-sint）l 11-（1-sint）l 1-（1-cost）l 1（1-cost）l 1]
2.2 基函数的性质
性质1：非负性
当[t∈[0，π2]]时，对所有[i=0，1，2]，有[bi，2（t）≥0]。
性质2：规范性
[i=02bi，2（t）=1]
性质3：对称性
当[t∈[0，π2]]时，对所有[i=0，1，2]，有[bi，2（t）=b2-i，2（π2-t）]。
性质4：端点函数值
[b0，2（0）=12] [b1，2（0）=12] [b2，2（0）=0]
[b0，2（π2）=0] [b1，2（π2）=12] [b2，2（π2）=12]
性质5：端点导数值
当时，有：
[b（j）0，2（0）=（-1）j（l 1）！2（l-j 1）！] [b（j）0，2（π2）=0]
[b（j）1，2（0）=（-1）j 1（l 1）！2（l-j 1）！] [b（j）0，2（π2）=-（l 1）！2（l-j 1）！] [b（j）2，2（0）=0] [b（j）0，2（π2）=（l 1）！2（l-j 1）！]
3 [Gn]连续的二阶三角Bézier 曲线
3.1 曲线的定义
定义2 给定3个控制顶点[Pi∈?2或?3]，[t∈[0，π2]]，称：
[p（t）=i=02Pibi，2（t） ] （2）
为[Gn]连续的二阶三角Bézier曲线。其中，[i=0，1，2]，[l=0，1，2，...，n] 2.2曲线的性质。
3.2 曲线的性质
性质1： 凸包性
由[Gn]连续二阶三角Bézier基的非负性和规范性即可得到。
性质2：对称性
由控制多边形[P0P1P2]和[P2P1P0]所生成的曲线是相同的，只是定向相反。
性质3：几何不变性
[Gn]连续二阶三角Bézier多项式基函数具有规范性，因此[Gn]连续二阶三角Bézier曲线具有几何不变性。
性质4：端点性质
[p（0）=12P0 12P1=12（P0 P1）]
[p（π2）=12P1 12P2=12（P1 P2）]
[p（j）（0）=（-1）j（l 1）！2（l-j 1）！P0 （-1）j 1（l 1）！2（l-j 1）！P1]
[p（j）（π2）=-（l 1）！2（l-j 1）！P1 （l 1）！2（l-j 1）！P2]
3.3 参数的几何意义
由[Gn]连续的二阶三角Bézier曲线的端点性质：
[p（0）=12P0 12P1=12（P0 P1）] [p（π2）=12P1 12P2=12（P1 P2）]
可知，调节矩阵将切点位置控制在[P0P1、] [P1P2]的中点，不同于切点在首末控制点的其他带参数三角Bézier曲线，为优化曲线拼接提供了条件。
l调节曲线的连续阶数，l越大，曲線越接近控制多边形，使曲线具有保形性。
4 曲线拼接
本节讨论[Gn]连续二阶三角Bézier曲线的光滑拼接条件，首先给出 一个引理。
引理1：设[t∈[0，π2]]，假设两条曲线[f（t）]与[g（t）]在[f（1）=g（0）]处相连，如果当1时， [f（j）（1）=Fj（Vb-Va）g（j）（0）=（-1）j-1Gj（Vb-Va）] （3）
式中，和是与j有关的常数，并且，则两条曲线在连接点处[Gn]连续。
证明：为了使两条曲线在公共连接点处达到[Gn]连续，
[g（0）g′（0）g″（0）g?（0）g（4）（0）?g（l）（0）=Bf（1）f′（1）f″（1）f?（1）f（4）（1）?f（l）（1）] （4）
式（4）中的关联矩阵为：
式中，[β1>0]。将式（3）代入式（4）并约掉等式两边的公共部分[Vb-Va]，得到：
[G1-G2G3-G4?（-1）l-1Gl=BF1F2F3F4?Fl] （5）
显然由式（5）可以求出[βi（1≤i≤l）]的唯一解，并且[β1=G1F1>0]，因此证明两条曲线可达到[Gl]连续。
证毕。
设两条相邻的带形状参数的二阶三角Bézier曲线的表达式分别为
[p1（t）=i=02Pibi，2（t）]，[t∈[0，π2]] [p2（t）=i=02Qibi，2（t）]， [t∈[0，π2]]
其中[P0P1P2]和[Q0Q1Q2]分别为[p1（t）]和[p2（t）]的控制多边，曲线[p1（t）]和[p2（t）]中基函数分别为[l1，l2]且[l1，l2∈N ]。
定理1：当且仅当[P1P2]与[Q0Q1]重合，即[P1=Q0，P2=Q1] 时，曲线[p1（t）]和[p2（t）]之间达到[Gn]连续，调节矩阵将切点控制在首末控制边中点位置。
证明：由曲线的端点性质可知
[p1（π2）=12P1 12P2] [p2（0）=12Q0 12Q1]
将[P1=Q0，P2=Q1]代入（4）中，即可证明曲线[p1（t）]和[p2（t）]达到[G0]连续。
当 ，
[p（j）1（π2）=-（l 1）！2（l-j 1）！P1 （l 1）！2（l-j 1）！P2=（l 1）！2（l-j 1）！（P2-P1）]
[p（j）2（π2）=（-1）j（l 1）！2（l-j 1）！P1 （-1）j 1（l 1）！2（l-j 1）！P2=（-1）j（l 1）！2（l-j 1）！（P1-P2）]
由引理1可证明曲线[p1（t）]和[p2（t）]达到[Gn]连续。
证毕。
5 精确表示椭圆、圆
下面给出切点可调的[Gn]连续二阶三角Bézier曲线精确表示椭圆、圆的条件。 定理2 當l=0时，曲线[Gn]连续，如果给定的控制顶点[P0]、[P1]、[P2]，满足点[P0]、[P2]的横（纵）坐标相等且[P1]为线段[P0P2]垂直平分线上的一点，那么切点可调的带形状参数的二阶三角Bézier曲线[p（t）]可精确表示椭圆弧。
证明：
[x（t）=b0，2（t）x0 b1，2（t）x1 b2，2（t）x2=x2 12（1-sint）l 1（x0-x1） 12（1-cost）l 1（x0-x2）]
当l=0时，
[x（t）=b0，2（t）x0 b1，2（t）x1 b2，2（t）x2=（12x0 12x2） 12sint（x1-x0） 12cost（x1-x2）]
同理，
[y（t）=b0，2（t）y0 b1，2（t）y1 b2，2（t）y2=（12y0 12y2） 12sint（y1-y0） 12cost（y1-y2）]
为使曲线精准表示椭圆弧，控制点应该满足如下条件在：
[x1-x0=x1-x2y1-y0=y2-y1或x0-x1=x1-x2y0-y1=y2-y1]
解得之：
[x0=x2y1=12（y0 y2）或y0=y2x1=12（x0 x2）]
只有当控制点满足以上条件，曲线可以精确表示椭圆弧。
证毕。
推论1 若满足[P0P1⊥P1P2]，则曲线[p（t）]精可确表示圆弧。
6 数值例子
例1：图1中曲线右下至上分别取[l=0，1，2]，显然，l越大，曲线越接近控制多边形。
图1 参数l对曲线的与影响
例2：图2中取l=0，[P0（4，0）]、[P1（0，3）]、[P2（4，6）]（ [P0，P2]横坐标相同）为控制点生成第一段椭圆弧；[P1（0，3）]、[P2（4，6）]、[P3（8，3）]（ [P1，P3]纵坐标相同）生成第二段椭圆弧； [P2（4，6）]、[P3（8，3）] 、[P0（4，0）] （[P2，P4]横坐标相同） 生成第三段椭圆弧； [P3（8，3）] 、[P0（4，0）]、[P1（0，3）] （[P1，P3]纵坐标相同）生成第四段椭圆弧。通过此方法可精确表示整个椭圆，且在连接点达到[Gn]连续。
[P0（4，0）]、[P1（0，4）]、[P2（4，8）]、 [P3（8，4）]为顶顶点的封闭正方形，分别生成四段圆弧，精确表示整圆，如图3，且在连接点达到连续。
7 结论
该方法以三角函数为工具，得到了一组新的基函数，进而构造出[Gn]连续的二阶三角Bézier曲线。它既保留了 Bézier 曲线的端点性质、几何不变性与对称性等好的性质，又具有形状可调性并且可以精确表示椭圆、圆。它不仅解决了类Bézier 曲线的扩展问题，还解决了 Bézier 曲线不能精确表示除抛物线外的圆锥曲线的问题。且与传统拼接方法相比，该方法只要满足前一条曲线的末控制边与后一条曲线的首控制边重合，即可使曲线达到[Gn]连续，不必增加辅助控制点，且连接点的位置可以通过位置参数进行调整。
[Gn]连续的二阶三角Bézier 曲线的研究为复杂曲线的设计提供了方便，特别是对光滑度要求较高的场合，本文的方法更能体现其优势。
参考文献：
[1] 齐从谦，邬弘毅. 一类可调控 Bézier 曲线及其逼近性[J].湖南大学学报：自然科学版，1996，23（6）：15-19.
[2]吴晓勤. 带形状参数的 Bézier 曲线[J]. 中国图象图形学报，2006，11（ 2） ：269-274.
[3]Yan L L，Liang J F. An extension of the Bézier model[J]. Ap-plied Mathematics and Computation，2011，218（6）：2863-2879.
[4]Qin X Q， Hu G， Zhang N J，et al.A novel extension to the polynomial basis functions describing Bézier curves and surfaces of degree n with multiple shape parameters[J].Applied Mathematics and Computation，2013，223（5）：1-16.
[5] 严兰兰，韩旭里.对可调控Bézier曲线的改进[J].中国图像图形学报，2014，19，（9）：1368-1376.
[6] 严兰兰，韩旭里，邬国根，等.二/三阶三角Bézier曲线[J].图学学报，2013，34（5）：71-75.
[7]王晶昕，倪静，董莹.带参数的二阶三角Bézier多项式曲线[J].辽宁师范大学学报：自然科学版，2012，35（3）：289-293.
[8] 施法中.计算机辅助几何设计与非均匀有理 B 样条[M].北京： 高等教育出版社，2001：178-182.
关键词：三角Bézier曲线；形状参数；连续性；曲线拼接；保形
中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2016）32-0247-04
Order Two Trigonometric Bézier Curves with [Gn] Continuity
PAN Jing， XING Qing-dan， CHEN Xue-jiao
（ School of Mathematics of Liaoning Normal University， Liaoning 116029， China）
Abstract： This paper constructs a series of trigonometric Bézier basis function with the shape parameters，adding adjustment matrix ，and the two order triangular Bézier curves with shape parameter l are obtained. It retains the properties of Bézier curve. It is shape adjustable curves and it can accurately represent ellipse and circle. The curves are [Gn] continuous and the condition of curves blending is simple. This method is general， which creates the conditions for the design of complex curves.
Key words： triangular Bézier curve； shape parameter； continuity； curve blending； conformal
1 引言
在计算机辅助几何设计（ CAGD） 中，Bézier 曲线一直占有重要地位。然而其无法进行形状调整、不能精确表示椭圆、圆等图形的不足引起了许多学者的关注。文献[1-5]构造了含参数、性质类似于Bernstein基函数的新的基函数，使得定义曲线在具备Bézier 曲线基本性质的同时，还具有形状可调性。文献[6-7]中定义的三角多项式曲线解决了Bézier 曲线不能精确表示圆锥曲线的问题。文献[1-7]中定义的曲线都可以在不改变控制顶点的情况下，通过改变形状参数的值对曲线进行形状调整。文献[1][5]有别于其他曲线，曲线的2至你l阶导失和一阶导失一样，都与首末控制边平行。这对拼接时要求高阶光滑性的曲线造型十分方便。
利用二阶三角Bézier基函数，引入形状参数，可以通过调整参数对曲线进行局部形状调整，并且引入调节矩阵，使得曲线切点位于首末控制边中点，且达到[Gn]连续，能精确表示椭圆和圆。
2 [Gn]连续的二阶三角Bézier 基函数
2.1 基函数的定义
定义1：对于自变量[t∈[0，π2]]，称表达式：
[b0，2（t）=12（1-sint）l 1b1，2（t）=1-12（1-sint）l 1-12（1-cost）l 1b2，2（t）=12（1-cost）l 1] （1）
為切点可调的
规定矩阵[1200121120012]为调节矩阵，则 （1）式的矩阵表现形式为：
[b0，2（t）b1，2（t）b2，2（t）]=[1200121120012（1-sint）l 11-（1-sint）l 1-（1-cost）l 1（1-cost）l 1]
2.2 基函数的性质
性质1：非负性
当[t∈[0，π2]]时，对所有[i=0，1，2]，有[bi，2（t）≥0]。
性质2：规范性
[i=02bi，2（t）=1]
性质3：对称性
当[t∈[0，π2]]时，对所有[i=0，1，2]，有[bi，2（t）=b2-i，2（π2-t）]。
性质4：端点函数值
[b0，2（0）=12] [b1，2（0）=12] [b2，2（0）=0]
[b0，2（π2）=0] [b1，2（π2）=12] [b2，2（π2）=12]
性质5：端点导数值
当
[b（j）0，2（0）=（-1）j（l 1）！2（l-j 1）！] [b（j）0，2（π2）=0]
[b（j）1，2（0）=（-1）j 1（l 1）！2（l-j 1）！] [b（j）0，2（π2）=-（l 1）！2（l-j 1）！] [b（j）2，2（0）=0] [b（j）0，2（π2）=（l 1）！2（l-j 1）！]
3 [Gn]连续的二阶三角Bézier 曲线
3.1 曲线的定义
定义2 给定3个控制顶点[Pi∈?2或?3]，[t∈[0，π2]]，称：
[p（t）=i=02Pibi，2（t） ] （2）
为[Gn]连续的二阶三角Bézier曲线。其中，[i=0，1，2]，[l=0，1，2，...，n] 2.2曲线的性质。
3.2 曲线的性质
性质1： 凸包性
由[Gn]连续二阶三角Bézier基的非负性和规范性即可得到。
性质2：对称性
由控制多边形[P0P1P2]和[P2P1P0]所生成的曲线是相同的，只是定向相反。
性质3：几何不变性
[Gn]连续二阶三角Bézier多项式基函数具有规范性，因此[Gn]连续二阶三角Bézier曲线具有几何不变性。
性质4：端点性质
[p（0）=12P0 12P1=12（P0 P1）]
[p（π2）=12P1 12P2=12（P1 P2）]
[p（j）（0）=（-1）j（l 1）！2（l-j 1）！P0 （-1）j 1（l 1）！2（l-j 1）！P1]
[p（j）（π2）=-（l 1）！2（l-j 1）！P1 （l 1）！2（l-j 1）！P2]
3.3 参数的几何意义
由[Gn]连续的二阶三角Bézier曲线的端点性质：
[p（0）=12P0 12P1=12（P0 P1）] [p（π2）=12P1 12P2=12（P1 P2）]
可知，调节矩阵将切点位置控制在[P0P1、] [P1P2]的中点，不同于切点在首末控制点的其他带参数三角Bézier曲线，为优化曲线拼接提供了条件。
l调节曲线的连续阶数，l越大，曲線越接近控制多边形，使曲线具有保形性。
4 曲线拼接
本节讨论[Gn]连续二阶三角Bézier曲线的光滑拼接条件，首先给出 一个引理。
引理1：设[t∈[0，π2]]，假设两条曲线[f（t）]与[g（t）]在[f（1）=g（0）]处相连，如果当1
式中，
证明：为了使两条曲线在公共连接点处达到[Gn]连续，
[g（0）g′（0）g″（0）g?（0）g（4）（0）?g（l）（0）=Bf（1）f′（1）f″（1）f?（1）f（4）（1）?f（l）（1）] （4）
式（4）中的关联矩阵为：
式中，[β1>0]。将式（3）代入式（4）并约掉等式两边的公共部分[Vb-Va]，得到：
[G1-G2G3-G4?（-1）l-1Gl=BF1F2F3F4?Fl] （5）
显然由式（5）可以求出[βi（1≤i≤l）]的唯一解，并且[β1=G1F1>0]，因此证明两条曲线可达到[Gl]连续。
证毕。
设两条相邻的带形状参数的二阶三角Bézier曲线的表达式分别为
[p1（t）=i=02Pibi，2（t）]，[t∈[0，π2]] [p2（t）=i=02Qibi，2（t）]， [t∈[0，π2]]
其中[P0P1P2]和[Q0Q1Q2]分别为[p1（t）]和[p2（t）]的控制多边，曲线[p1（t）]和[p2（t）]中基函数分别为[l1，l2]且[l1，l2∈N ]。
定理1：当且仅当[P1P2]与[Q0Q1]重合，即[P1=Q0，P2=Q1] 时，曲线[p1（t）]和[p2（t）]之间达到[Gn]连续，调节矩阵将切点控制在首末控制边中点位置。
证明：由曲线的端点性质可知
[p1（π2）=12P1 12P2] [p2（0）=12Q0 12Q1]
将[P1=Q0，P2=Q1]代入（4）中，即可证明曲线[p1（t）]和[p2（t）]达到[G0]连续。
当
[p（j）1（π2）=-（l 1）！2（l-j 1）！P1 （l 1）！2（l-j 1）！P2=（l 1）！2（l-j 1）！（P2-P1）]
[p（j）2（π2）=（-1）j（l 1）！2（l-j 1）！P1 （-1）j 1（l 1）！2（l-j 1）！P2=（-1）j（l 1）！2（l-j 1）！（P1-P2）]
由引理1可证明曲线[p1（t）]和[p2（t）]达到[Gn]连续。
证毕。
5 精确表示椭圆、圆
下面给出切点可调的[Gn]连续二阶三角Bézier曲线精确表示椭圆、圆的条件。 定理2 當l=0时，曲线[Gn]连续，如果给定的控制顶点[P0]、[P1]、[P2]，满足点[P0]、[P2]的横（纵）坐标相等且[P1]为线段[P0P2]垂直平分线上的一点，那么切点可调的带形状参数的二阶三角Bézier曲线[p（t）]可精确表示椭圆弧。
证明：
[x（t）=b0，2（t）x0 b1，2（t）x1 b2，2（t）x2=x2 12（1-sint）l 1（x0-x1） 12（1-cost）l 1（x0-x2）]
当l=0时，
[x（t）=b0，2（t）x0 b1，2（t）x1 b2，2（t）x2=（12x0 12x2） 12sint（x1-x0） 12cost（x1-x2）]
同理，
[y（t）=b0，2（t）y0 b1，2（t）y1 b2，2（t）y2=（12y0 12y2） 12sint（y1-y0） 12cost（y1-y2）]
为使曲线精准表示椭圆弧，控制点应该满足如下条件在：
[x1-x0=x1-x2y1-y0=y2-y1或x0-x1=x1-x2y0-y1=y2-y1]
解得之：
[x0=x2y1=12（y0 y2）或y0=y2x1=12（x0 x2）]
只有当控制点满足以上条件，曲线可以精确表示椭圆弧。
证毕。
推论1 若满足[P0P1⊥P1P2]，则曲线[p（t）]精可确表示圆弧。
6 数值例子
例1：图1中曲线右下至上分别取[l=0，1，2]，显然，l越大，曲线越接近控制多边形。
图1 参数l对曲线的与影响
例2：图2中取l=0，[P0（4，0）]、[P1（0，3）]、[P2（4，6）]（ [P0，P2]横坐标相同）为控制点生成第一段椭圆弧；[P1（0，3）]、[P2（4，6）]、[P3（8，3）]（ [P1，P3]纵坐标相同）生成第二段椭圆弧； [P2（4，6）]、[P3（8，3）] 、[P0（4，0）] （[P2，P4]横坐标相同） 生成第三段椭圆弧； [P3（8，3）] 、[P0（4，0）]、[P1（0，3）] （[P1，P3]纵坐标相同）生成第四段椭圆弧。通过此方法可精确表示整个椭圆，且在连接点达到[Gn]连续。
[P0（4，0）]、[P1（0，4）]、[P2（4，8）]、 [P3（8，4）]为顶顶点的封闭正方形，分别生成四段圆弧，精确表示整圆，如图3，且在连接点达到
7 结论
该方法以三角函数为工具，得到了一组新的基函数，进而构造出[Gn]连续的二阶三角Bézier曲线。它既保留了 Bézier 曲线的端点性质、几何不变性与对称性等好的性质，又具有形状可调性并且可以精确表示椭圆、圆。它不仅解决了类Bézier 曲线的扩展问题，还解决了 Bézier 曲线不能精确表示除抛物线外的圆锥曲线的问题。且与传统拼接方法相比，该方法只要满足前一条曲线的末控制边与后一条曲线的首控制边重合，即可使曲线达到[Gn]连续，不必增加辅助控制点，且连接点的位置可以通过位置参数进行调整。
[Gn]连续的二阶三角Bézier 曲线的研究为复杂曲线的设计提供了方便，特别是对光滑度要求较高的场合，本文的方法更能体现其优势。
参考文献：
[1] 齐从谦，邬弘毅. 一类可调控 Bézier 曲线及其逼近性[J].湖南大学学报：自然科学版，1996，23（6）：15-19.
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