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摘 要： 试卷是考试的载体，其质量直接影响考试结果的可靠性，并对教学及学生学习态度产生影响。通过对数学试卷进行科学而合理的评价，以期达到检验试卷质量、评估教学水平，对今后的考试试卷的编制提供依据和方向，并最终做到“以评促教”。
关键词： 预科数学 试卷分析 重难点教学
2015年全国少数民族预科统考数学试卷，充分反映当前教育教学发展的要求，坚持从学生实际出发，立足学生的发展和终生学习能力的需要，考查学生在预科教育整个阶段学习的基础知识、基本技能、基本数学思想与方法；继续加强对课程标准和大纲中对学生运算能力、思维能力、空间想象能力的考查；继续考查学生用数学知识和思维方法分析解决现实生活的有关问题的应用能力。试题以能力考查为主线，以三基为辅，明显具有时代性、应用性、探究性、综合性的特点，贴近学生生活实际，适当设计新题型，考查了学生的创新意识与实践能力，没有繁难的计算和证明题，杜绝了非数学本质的和似是而非的题目。有利于推进预科数学课堂教学改革和新课程的实施，较好地实现了预科数学教学的导向性。
一、试卷特点分析
1.稳定试卷结构，控制试卷难度。
2015年全国少数民族预科统考数学试卷命题继承了前几年探索的成功经验，保持了试卷结构的稳定，单项选择题和多项选择题比例分别为70%、30%显示出“加大思维度，减少题量”的改革趋势。试题采用考生熟悉常见的考查内容、方法、设问方式，在形式上和考试心理上为考生创设了熟悉的考试情境，在解答题中采取了分步设问的命题方式，试卷中没有偏题、怪题，也没有脱离教学实际的试题，有利于预科数学教学内容定位的稳定。
为了控制试卷难度，命题者采取了如下措施：
1）控制试卷的入口题的难度。试卷的前4个小题难度较低，基本属于课本中的基本概念、练习题。
2）控制每种题型入口题的难度，不仅仅作为全卷入口题的选择题的前几个小题较容易。
3）控制新题型、较难题的比例。在单项选择题和多项选择题中，基本没有新题型，对试卷总体难度的稳定起到了保障作用。
2.注重基础，突出考查主干知识。
预科统考数学试卷全面考查了极限与连续、导数、微分及其应用、不定积分、定积分及其应用各部分的内容，教材中各章的内容都有所涉及，如导数的概念，函数的微分法，高阶导数。在全面考查的前提下，重点考查预科数学知识的主干内容，如数列的极限，函数的极限，极限运算法则，夹逼定理，两个重要极限，无穷小量的比较，函数的连续性，不定积分的概念与性质，换元积分法，分部积分法。
3.注重考查数学思想方法。
数学思想方法是对数学知识的最高层次的概括与提炼，是适用于预科数学全部内容的通法，能更好地区分考生的数学理性思维能力，是预科数学统考考试的核心。试卷中重点考查的数学思想有：函数（方程）思想、化归思想、数形结合思想和分类思想。
4.重视与实际生活的联系、考查数学应用能力。
全卷设置了具有现实生活背景的实际问题，这些试题贴近学生的实际生活，体现了数学与生活的联系，在考查中引导学生经历解决实际问题的过程，体验运用数学知识解决实际问题的情感，考查学生从实际问题中抽象数学模型的能力，培养用数学、做数学的意识。考查了学生处理数据、分析数据并从中获取信息、作出推断的能力。
二、答卷分析
通过本次阅卷的探讨和笔者对试卷的分析，学生在答卷中存在的主要问题有以下几点：
1.客观题。本次考试在考查基础知识的同时，注重考查能力，着重加强对分析分问题和解决问题能力的考查，送分题几乎没有，加大了对知识综合能力与理性思维能力的考查，这类学生答题比较吃力，客观题得分较低，导致总分低。
2.基础知识不扎实，基本技能和方法掌握不熟练。基础知识不扎实，在考生的答卷中暴露出的问题，一是想不到利用基本定理，二是微积分公式记错；考生在试卷中暴露的问题是：公式记错、特殊值记错导致出错及计算错误。这些问题究其实质是学生数学中的概念、公式、法则等基础知识掌握得不扎实导致的。
3.综合能力不够，运用能力欠佳。如导数问题（Ⅰ）求单调区间，（Ⅱ）求恒成立问题，（Ⅲ）最值问题。由于学生综合运用能力较弱，致使考生不知道如何分类讨论，或考虑问题不全面，导致解题思路受阻。绝大部分学生交了白卷。
4.心态不好，应变能力较弱。考试本身的巨大压力，考生信心不足，造成考生情绪紧张，缺乏冷静，不能灵活应变，会而不对、对而不全，甚至会而不得分的情形常可见到。
三、针对存在问题的解决措施
1.立足基础，注重能力培养。“基础知识、基本方法、基本技能、基本的数学活动经验”是新课程高考的考查重点，所以，后期的复课中，要重视“基础知识、基本方法、基本技能、基本的数学活动经验”训练，打好基础。“基础知识”一定要在“准确”上下工夫，
“基本方法”、“基本技能”、“基本的数学活动经验”要在“熟练”上下工夫。对大多数学生而言还是要坚持“低起点，严要求”的原则。训练时要舍得在基础题上花时间。对于基础题，要求学生勤动笔，完整地表达出来，不要眼会心不会、心会手不会。平时训练中，淡化解题技巧，要求学生掌握通性、通法，一定要加强基本数学思想方法的渗透与应用。注重思维能力和运算能力的训练，整体提高学生的数学能力。
2.全面提高学生的数学素养和分析解决问题的能力。教师首先要完善教育教学观念，提高素养和能力，配合新课改，采取适合学生实际的教学方法，充分调动学生的主动性和创造性。再者平时教学中以课本和考纲、考试说明为本，以预科课程为资料，弄清预科统考考要考什么，要教给学生什么，以及怎样才能教好的问题。教学中帮助学生掌握基本的数学思想方法。教学中要有反思，同时要求学生也要有反思，他们要有自己的“总结”、“评注”。让他们在反思中体会数学思想方法，总结解题规律，做到触类旁通。 3.重视回归教材。“教材是统考试题的生长点”，我们相信这一点已经成为各位的共识，考前应注意引导学生回归到教材中。
四、几点建议
1.抓好三基，夯实基础。数学的三基，是指数学的基础知识、基本技能和基本数学方法。预科统考数学试卷中有相当多的试题是课本上基本题目的直接引用或稍作变形而得来的，其目的在于引导师生重视基础，抓好基础知识和基本训练。要抓好基础知识和基本训练，绝不仅仅是简单重复、加强记忆，重要的是要从本质上发现数学知识之间的关系和联系，并进一步加以分类、整理、综合，形成一个知识结构系统，使得在记忆系统中储存一个“数学的认识结构”。信息学研究表明，只有在大脑中的知识是一个条理化、有序化、关系清晰分明的体系时，才能在解题时，由题目提供的信息的启示，迅速地提取相关信息，并从多个可以联系的知识点中，选取与题目的信息能构成最佳组合者，促使解题过程最优化。
数学思想方法作为数学意识，只能领会、运用，属于思维的范畴。数学基本方法是数学思想的具体表现，具有模式化与可操作性的特征。数学思想方法与数学基本方法在学习、掌握数学知识的同时获得，因此在教学时，应注意引导学生对数学思想方法与数学基本方法进行体会、感悟、梳理、总结。
2.认真研究教材。在备课与授课过程中，教师务必做到：
1）及时构筑知识网络。数学能力的培养是以知识为载体的，如果教师本人或指导的学生在大脑中的知识是混乱、无序的，那么如何能使学生的思维理性化、简缩化？
2）深入挖掘教材的导言、小结、重要例习题和课题学习。教材的导言、小结明晰了本章要研究的问题，有利于知识的网络化；重要的例习题往往反映了相关数学理论的本质属性，蕴含着重要的数学思维方法和思想精髓，对这类数学问题，通过类比、延伸、迁移、拓广，提出新的问题并加以解决，能有效掌握数学知识，发展数学能力，发挥教材的多种效应。这是一个“知识—能力—知识—能力”的良性循环过程。
3）以学定教，落实新课程理念。给学生创造充分从事数学活动的机会，变课堂的问题串为活动串，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学和方法。处理好过程与结果的关系，帮助学生形成良好的数学观念。处理好学生自主探索与教师指导的关系，不让合作学习流于形式。特别要关心数学学习困难的学生，通过学习兴趣培养和学习方法指导，使他们达到学习的基本要求，使不同学生在数学上都得到发展。
3.做好解题、推理、应用研究。数学学习从某种意义上讲就是解题学习，“问题是数学的心脏”，认识学习波利亚的《解题表》，明白数学能力的提高重在解题的质量，重在解题的方向和策略，通过不断反思，帮助学生总结经验，积累解题的思维方法，学会选取最佳解题路径。
在数学活动过程中大量的是推理过程，通过多种推理方法的合理运用，培养学生思维的准确性、深刻性、灵活性；通过对推理过程的合理表述，培养学生思维的逻辑性、完整性和流畅性。通过对演绎推理和归纳推理的培养，发展学生的逻辑推理能力，同时还应对直觉思维能力引起足够的重视并在教学中进行培养。
通过创设数学应用问题情境，引导学生将实际问题转化为数学问题，通过观察、分析，归纳抽象出数学概念和规律，让学生不断体验数学与生活的联系，在提高学习兴趣的同时，培养应用意识与数学建模能力。这不仅是创新意识和实践能力的重要表现，而且有利于促进学生综合文化素质的培养和提高。在解题过程中，还要加强心理素质培养，通过有一定思维度的问题锻炼克服困难的意志，形成良好的心理品质。
4.关注过程，引导探究创新。数学教学不仅要使学生获得基础知识和基本技能，而且要着力引导学生进行自主探索，培养自觉发现新知、发现规律的能力，这样既能使学生对知识有深层次的理解，又能让学生在探索过程中学会探索的科学方法，让学生不仅知其然，还知其所以然。综观整体这次数学试卷能充分体现以学生为主体的新的教学理念，使每一个学生都能在不断获得成功乐趣的同时，唤起对学习的兴趣和人生的自信。
五、通过考试反馈的信息对今后教学的建议
通过以上考试命题、试卷质量、答卷质量、基本概况的综合分析，实行统一命题，统一考试，统一阅卷是非常必要的。对改进教学方法，分析和探索预科数学的教学规律，也是很有必要的。特别是通过考生的答卷分析，对开展教研活动，分析教学中的薄弱环节，采取有针对性的措施，不断提高教学质量非常有必要。
参考文献：
[1]杨耕文.微分中值定理的研究性学习[J].洛阳大学学报，2005，20（4）：99-101.
[2]宁连华.数学探究学习研究的特点及其思考[J].数学教育学报，2005，14（4）：28-30.
[3]傅海伦.数学教育发展概论.北京：科学出版社，2001.
本文为湖南省教改项目“少数民族本科预科课程教学定位的研究与实践”（湘教通〔2009〕321号）的成果。
关键词： 预科数学 试卷分析 重难点教学
2015年全国少数民族预科统考数学试卷，充分反映当前教育教学发展的要求，坚持从学生实际出发，立足学生的发展和终生学习能力的需要，考查学生在预科教育整个阶段学习的基础知识、基本技能、基本数学思想与方法；继续加强对课程标准和大纲中对学生运算能力、思维能力、空间想象能力的考查；继续考查学生用数学知识和思维方法分析解决现实生活的有关问题的应用能力。试题以能力考查为主线，以三基为辅，明显具有时代性、应用性、探究性、综合性的特点，贴近学生生活实际，适当设计新题型，考查了学生的创新意识与实践能力，没有繁难的计算和证明题，杜绝了非数学本质的和似是而非的题目。有利于推进预科数学课堂教学改革和新课程的实施，较好地实现了预科数学教学的导向性。
一、试卷特点分析
1.稳定试卷结构，控制试卷难度。
2015年全国少数民族预科统考数学试卷命题继承了前几年探索的成功经验，保持了试卷结构的稳定，单项选择题和多项选择题比例分别为70%、30%显示出“加大思维度，减少题量”的改革趋势。试题采用考生熟悉常见的考查内容、方法、设问方式，在形式上和考试心理上为考生创设了熟悉的考试情境，在解答题中采取了分步设问的命题方式，试卷中没有偏题、怪题，也没有脱离教学实际的试题，有利于预科数学教学内容定位的稳定。
为了控制试卷难度，命题者采取了如下措施：
1）控制试卷的入口题的难度。试卷的前4个小题难度较低，基本属于课本中的基本概念、练习题。
2）控制每种题型入口题的难度，不仅仅作为全卷入口题的选择题的前几个小题较容易。
3）控制新题型、较难题的比例。在单项选择题和多项选择题中，基本没有新题型，对试卷总体难度的稳定起到了保障作用。
2.注重基础，突出考查主干知识。
预科统考数学试卷全面考查了极限与连续、导数、微分及其应用、不定积分、定积分及其应用各部分的内容，教材中各章的内容都有所涉及，如导数的概念，函数的微分法，高阶导数。在全面考查的前提下，重点考查预科数学知识的主干内容，如数列的极限，函数的极限，极限运算法则，夹逼定理，两个重要极限，无穷小量的比较，函数的连续性，不定积分的概念与性质，换元积分法，分部积分法。
3.注重考查数学思想方法。
数学思想方法是对数学知识的最高层次的概括与提炼，是适用于预科数学全部内容的通法，能更好地区分考生的数学理性思维能力，是预科数学统考考试的核心。试卷中重点考查的数学思想有：函数（方程）思想、化归思想、数形结合思想和分类思想。
4.重视与实际生活的联系、考查数学应用能力。
全卷设置了具有现实生活背景的实际问题，这些试题贴近学生的实际生活，体现了数学与生活的联系，在考查中引导学生经历解决实际问题的过程，体验运用数学知识解决实际问题的情感，考查学生从实际问题中抽象数学模型的能力，培养用数学、做数学的意识。考查了学生处理数据、分析数据并从中获取信息、作出推断的能力。
二、答卷分析
通过本次阅卷的探讨和笔者对试卷的分析，学生在答卷中存在的主要问题有以下几点：
1.客观题。本次考试在考查基础知识的同时，注重考查能力，着重加强对分析分问题和解决问题能力的考查，送分题几乎没有，加大了对知识综合能力与理性思维能力的考查，这类学生答题比较吃力，客观题得分较低，导致总分低。
2.基础知识不扎实，基本技能和方法掌握不熟练。基础知识不扎实，在考生的答卷中暴露出的问题，一是想不到利用基本定理，二是微积分公式记错；考生在试卷中暴露的问题是：公式记错、特殊值记错导致出错及计算错误。这些问题究其实质是学生数学中的概念、公式、法则等基础知识掌握得不扎实导致的。
3.综合能力不够，运用能力欠佳。如导数问题（Ⅰ）求单调区间，（Ⅱ）求恒成立问题，（Ⅲ）最值问题。由于学生综合运用能力较弱，致使考生不知道如何分类讨论，或考虑问题不全面，导致解题思路受阻。绝大部分学生交了白卷。
4.心态不好，应变能力较弱。考试本身的巨大压力，考生信心不足，造成考生情绪紧张，缺乏冷静，不能灵活应变，会而不对、对而不全，甚至会而不得分的情形常可见到。
三、针对存在问题的解决措施
1.立足基础，注重能力培养。“基础知识、基本方法、基本技能、基本的数学活动经验”是新课程高考的考查重点，所以，后期的复课中，要重视“基础知识、基本方法、基本技能、基本的数学活动经验”训练，打好基础。“基础知识”一定要在“准确”上下工夫，
“基本方法”、“基本技能”、“基本的数学活动经验”要在“熟练”上下工夫。对大多数学生而言还是要坚持“低起点，严要求”的原则。训练时要舍得在基础题上花时间。对于基础题，要求学生勤动笔，完整地表达出来，不要眼会心不会、心会手不会。平时训练中，淡化解题技巧，要求学生掌握通性、通法，一定要加强基本数学思想方法的渗透与应用。注重思维能力和运算能力的训练，整体提高学生的数学能力。
2.全面提高学生的数学素养和分析解决问题的能力。教师首先要完善教育教学观念，提高素养和能力，配合新课改，采取适合学生实际的教学方法，充分调动学生的主动性和创造性。再者平时教学中以课本和考纲、考试说明为本，以预科课程为资料，弄清预科统考考要考什么，要教给学生什么，以及怎样才能教好的问题。教学中帮助学生掌握基本的数学思想方法。教学中要有反思，同时要求学生也要有反思，他们要有自己的“总结”、“评注”。让他们在反思中体会数学思想方法，总结解题规律，做到触类旁通。 3.重视回归教材。“教材是统考试题的生长点”，我们相信这一点已经成为各位的共识，考前应注意引导学生回归到教材中。
四、几点建议
1.抓好三基，夯实基础。数学的三基，是指数学的基础知识、基本技能和基本数学方法。预科统考数学试卷中有相当多的试题是课本上基本题目的直接引用或稍作变形而得来的，其目的在于引导师生重视基础，抓好基础知识和基本训练。要抓好基础知识和基本训练，绝不仅仅是简单重复、加强记忆，重要的是要从本质上发现数学知识之间的关系和联系，并进一步加以分类、整理、综合，形成一个知识结构系统，使得在记忆系统中储存一个“数学的认识结构”。信息学研究表明，只有在大脑中的知识是一个条理化、有序化、关系清晰分明的体系时，才能在解题时，由题目提供的信息的启示，迅速地提取相关信息，并从多个可以联系的知识点中，选取与题目的信息能构成最佳组合者，促使解题过程最优化。
数学思想方法作为数学意识，只能领会、运用，属于思维的范畴。数学基本方法是数学思想的具体表现，具有模式化与可操作性的特征。数学思想方法与数学基本方法在学习、掌握数学知识的同时获得，因此在教学时，应注意引导学生对数学思想方法与数学基本方法进行体会、感悟、梳理、总结。
2.认真研究教材。在备课与授课过程中，教师务必做到：
1）及时构筑知识网络。数学能力的培养是以知识为载体的，如果教师本人或指导的学生在大脑中的知识是混乱、无序的，那么如何能使学生的思维理性化、简缩化？
2）深入挖掘教材的导言、小结、重要例习题和课题学习。教材的导言、小结明晰了本章要研究的问题，有利于知识的网络化；重要的例习题往往反映了相关数学理论的本质属性，蕴含着重要的数学思维方法和思想精髓，对这类数学问题，通过类比、延伸、迁移、拓广，提出新的问题并加以解决，能有效掌握数学知识，发展数学能力，发挥教材的多种效应。这是一个“知识—能力—知识—能力”的良性循环过程。
3）以学定教，落实新课程理念。给学生创造充分从事数学活动的机会，变课堂的问题串为活动串，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学和方法。处理好过程与结果的关系，帮助学生形成良好的数学观念。处理好学生自主探索与教师指导的关系，不让合作学习流于形式。特别要关心数学学习困难的学生，通过学习兴趣培养和学习方法指导，使他们达到学习的基本要求，使不同学生在数学上都得到发展。
3.做好解题、推理、应用研究。数学学习从某种意义上讲就是解题学习，“问题是数学的心脏”，认识学习波利亚的《解题表》，明白数学能力的提高重在解题的质量，重在解题的方向和策略，通过不断反思，帮助学生总结经验，积累解题的思维方法，学会选取最佳解题路径。
在数学活动过程中大量的是推理过程，通过多种推理方法的合理运用，培养学生思维的准确性、深刻性、灵活性；通过对推理过程的合理表述，培养学生思维的逻辑性、完整性和流畅性。通过对演绎推理和归纳推理的培养，发展学生的逻辑推理能力，同时还应对直觉思维能力引起足够的重视并在教学中进行培养。
通过创设数学应用问题情境，引导学生将实际问题转化为数学问题，通过观察、分析，归纳抽象出数学概念和规律，让学生不断体验数学与生活的联系，在提高学习兴趣的同时，培养应用意识与数学建模能力。这不仅是创新意识和实践能力的重要表现，而且有利于促进学生综合文化素质的培养和提高。在解题过程中，还要加强心理素质培养，通过有一定思维度的问题锻炼克服困难的意志，形成良好的心理品质。
4.关注过程，引导探究创新。数学教学不仅要使学生获得基础知识和基本技能，而且要着力引导学生进行自主探索，培养自觉发现新知、发现规律的能力，这样既能使学生对知识有深层次的理解，又能让学生在探索过程中学会探索的科学方法，让学生不仅知其然，还知其所以然。综观整体这次数学试卷能充分体现以学生为主体的新的教学理念，使每一个学生都能在不断获得成功乐趣的同时，唤起对学习的兴趣和人生的自信。
五、通过考试反馈的信息对今后教学的建议
通过以上考试命题、试卷质量、答卷质量、基本概况的综合分析，实行统一命题，统一考试，统一阅卷是非常必要的。对改进教学方法，分析和探索预科数学的教学规律，也是很有必要的。特别是通过考生的答卷分析，对开展教研活动，分析教学中的薄弱环节，采取有针对性的措施，不断提高教学质量非常有必要。
参考文献：
[1]杨耕文.微分中值定理的研究性学习[J].洛阳大学学报，2005，20（4）：99-101.
[2]宁连华.数学探究学习研究的特点及其思考[J].数学教育学报，2005，14（4）：28-30.
[3]傅海伦.数学教育发展概论.北京：科学出版社，2001.
本文为湖南省教改项目“少数民族本科预科课程教学定位的研究与实践”（湘教通〔2009〕321号）的成果。