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数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的. 教师钻研习题、精通解题方法，可以促进教师进一步熟练地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提高解题技巧，积累教学资料，提高业务水平和教学能力. 下面介绍的解题方法都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的.
１. 配方法
所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式. 通过配方解决数学问题的方法叫配方法. 其中，用的最多的是配成完全平方式. 配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它.
例１ 已知：ａ２ ＋ ｂ２ ＝ １，ｃ２ ＋ ｂ２ ＝ １，求证：（ａｃ － ｂｄ）２ ＋ （ａｄ ＋ ｂｃ）２ ＝ １.
证明 ａ２ ＋ ｂ２ ＝ １①，ｃ２ ＋ ｄ２ ＝ １ ②.
由① × ② ，得ａ２ｃ２ ＋ ａ２ｄ２ ＋ ｂ２ｃ２ ＋ ｂ２ｄ２ ＝ １.
ａ２ｃ２ － ２ａｂｃｄ ＋ ｂ２ｄ２ ＋ ａ２ｄ２ ＋ ２ａｂｃｄ ＋ ｂ２ｃ２ ＝ １，得
（ａｃ － ｂｄ）２ ＋ （ａｄ ＋ ｂｃ）２ ＝ １.
例２ 已知：３（ａ２ ＋ ｂ２ ＋ ｃ２） ＝ （ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）２，求证：ａ ＝ ｂ ＝ ｃ.
证明 由已知， 得 ３ａ２ ＋ ３ｂ２ ＋ ３ｃ２ － ａ２ － ｂ２ － ｃ２ － ２ａｂ － ２ｂｃ － ２ｃａ ＝ ０.
配方，得（ａ － ｂ）２ ＋ （ｂ － ｃ）２ ＋ （ｃ － ａ）２ ＝ ０.
由（ａ － ｂ）２ ≥ ０，（ｂ － ｃ）２ ≥ ０，（ｃ － ａ）２ ≥ ０，得ａ － ｂ ＝ ０，ｂ － ｃ ＝ ０，ｃ － ａ ＝ ０，得ａ ＝ ｂ ＝ ｃ.
例３ 已知：ａ， ｂ， ｃ ，ｘ ， ｙ， ｚ∈Ｒ，且都不为０，ａ２ ＋ ｂ２ ＋ ｃ２ ＝ ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ ｚ２ ＝ ａｘ ＋ ｂｙ ＋ ｃｚ，求证 == .
证明 由已知，得ａ２ ＋ ｂ２ ＋ ｃ２ ＝ ａｘ ＋ ｂｙ ＋ ｃｚ①，
ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ ｚ２ ＝ ａｘ ＋ ｂｙ ＋ ｃｚ②.
① ＋ ②，移项，得ａ２ ＋ ｂ２ ＋ ｃ２ ＋ ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ ｚ２ － ２ａｘ － ２ｂｙ － ２ｃｚ ＝ ０.
配方，得（ｘ － ａ）２ ＝ ０，（ｙ － ｂ）２ ＝ ０，（ｚ － ｃ）２ ＝ ０.
∵ ａ，ｂ，ｃ，ｘ，ｙ，ｚ∈Ｒ ，∴（ｘ － ａ） ≥ ０，（ｙ － ｂ） ≥ ０，（ｚ － ｃ） ≥ ０，
∴ ｘ － ａ ＝ ０，ｙ － ｂ ＝ ０，ｚ － ｃ ＝ ０，又ａ，ｂ，ｃ都不为０，
∴== .
２. 因式分解法
因式分解就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式. 因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用. 因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等. 如：
例4 已知：ａ３ ＋ ｂ３ ＋ ｃ３ ＝ （ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）３，求证：ａ２ｋ＋１ ＋ ｂ２ｋ＋１ ＋ ｃ２ｋ＋１ ＝ （ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）２ｋ＋１ （ｋ∈N）.
证明 由ａ３ ＋ ｂ３ ＋ ｃ３ ＝（ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）３，有
ａ３ ＋ ｂ３ ＋ ［ｃ３ － （ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）３］ ＝ ０.
（ａ ＋ ｂ）（ａ２ － ａｂ ＋ ｂ２） － （ａ ＋ ｂ）［（ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）２ ＋ ｃ（ａ ＋ ｂ ＋ ｃ） ＋ ｃ２］ ＝ ０.
即（ａ ＋ ｂ）（ｂ ＋ ｃ）（ｃ ＋ ａ） ＝ ０，得 ａ ＋ ｂ ＝ ０ 或ｂ ＋ ｃ ＝ ０ 或 ｃ ＋ ａ ＝ ０.
当ａ ＋ ｂ ＝ ０时，即ａ ＝ －ｂ时，则ａ２ｋ＋１ ＋ ｂ２ｋ＋１ ＋ ｃ２ｋ＋１ ＝ －ｂ２ｋ＋１ ＋ｂ２ｋ＋１ ＋ ｃ２ｋ＋１ ＝ ｃ２ｋ＋１.
（ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）２ｋ＋１ ＝ （－ｂ ＋ ｂ ＋ ｃ）２ｋ＋１ ＝ ｃ２ｋ＋１.
∴ ａ２ｋ＋１ ＋ ｂ２ｋ＋１ ＋ ｃ２ｋ＋１ ＝ （ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）２ｋ＋１.
同理，ｂ ＋ ｃ ＝ ０ 或ｃ ＋ ａ ＝ ０，等式也成立.
例5 已知：ｘ２ － ｙｚ ＝ ｙ２ － ｚｘ（ｘ ≠ ｙ），求证：ｚ２ － ｘｙ ＝ ｙ２ － ｚｘ.
证明 由已知ｘ２ － ｙｚ ＝ ｙ２ － ｚｘ，得（ｘ２ － ｙ２） ＋ （ｘｚ － ｙｚ） ＝ ０， 即（ｘ － ｙ）（ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ） ＝ ０.
∵ ｘ ≠ ｙ，∴ ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ ＝ ０.①
又ｘ２ － ｙｚ － （ｙ２ － ｚｘ） ＝ （ｚ２ － ｙ２） － ｘ（ｚ － ｙ） ＝ （ｚ － ｙ）（ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ），
将①代入上式得ｚ２－ｘｙ － （ｙ２ － ｚｘ） ＝ ０.
∴ z２ － xｙ ＝ ｙ２ － ｚｘ.
３. 换元法
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法. 我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决.
例6 将（ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ４）（ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ６） － ８分解因式．
解 设ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ４ ＝ ｙ，则ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ６ ＝ ｙ ＋ ２．
原式 ＝ ｙ（ｙ ＋ ２） － ８ ＝ ｙ２ ＋ ２ｙ － ８ ＝ （ｙ ＋ ４）（ｙ － ２）．
把ｙ ＝ ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ４代入上式，
原式 ＝ （ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ４ ＋ ４）（ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ４ － ２） ＝ （ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ８）（ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ２）．
说明 利用换元法，可将原式转化为二次三项式，从而可用因式分解法分解．
例7 解方程１４４ｘ２ ＋ ６ｘ － ５ ＝ ０．
解 设６ｘ ＝ ｙ，则原方程可化为（２ｙ）２ ＋ ｙ － ５ ＝ ０，有（４ｙ ＋ ５）（ｙ － １） ＝ ０.
得４ｙ ＋ ５ ＝ ０或ｙ－ １ ＝ ０ 得ｙ１ ＝ －， ｙ２ ＝ １,
故ｘ１ ＝ －，ｘ２ ＝ .
说明 利用换元法，可将系数的绝对值化小．从而使题目简单化．
４. 待定系数法
在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出這些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法. 它是中学数学中常用的方法之一.
５.构造法
在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程（组）、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法. 运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决.
６. 面积法
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果. 运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法. 用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线. 面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果. 所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
１. 配方法
所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式. 通过配方解决数学问题的方法叫配方法. 其中，用的最多的是配成完全平方式. 配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它.
例１ 已知：ａ２ ＋ ｂ２ ＝ １，ｃ２ ＋ ｂ２ ＝ １，求证：（ａｃ － ｂｄ）２ ＋ （ａｄ ＋ ｂｃ）２ ＝ １.
证明 ａ２ ＋ ｂ２ ＝ １①，ｃ２ ＋ ｄ２ ＝ １ ②.
由① × ② ，得ａ２ｃ２ ＋ ａ２ｄ２ ＋ ｂ２ｃ２ ＋ ｂ２ｄ２ ＝ １.
ａ２ｃ２ － ２ａｂｃｄ ＋ ｂ２ｄ２ ＋ ａ２ｄ２ ＋ ２ａｂｃｄ ＋ ｂ２ｃ２ ＝ １，得
（ａｃ － ｂｄ）２ ＋ （ａｄ ＋ ｂｃ）２ ＝ １.
例２ 已知：３（ａ２ ＋ ｂ２ ＋ ｃ２） ＝ （ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）２，求证：ａ ＝ ｂ ＝ ｃ.
证明 由已知， 得 ３ａ２ ＋ ３ｂ２ ＋ ３ｃ２ － ａ２ － ｂ２ － ｃ２ － ２ａｂ － ２ｂｃ － ２ｃａ ＝ ０.
配方，得（ａ － ｂ）２ ＋ （ｂ － ｃ）２ ＋ （ｃ － ａ）２ ＝ ０.
由（ａ － ｂ）２ ≥ ０，（ｂ － ｃ）２ ≥ ０，（ｃ － ａ）２ ≥ ０，得ａ － ｂ ＝ ０，ｂ － ｃ ＝ ０，ｃ － ａ ＝ ０，得ａ ＝ ｂ ＝ ｃ.
例３ 已知：ａ， ｂ， ｃ ，ｘ ， ｙ， ｚ∈Ｒ，且都不为０，ａ２ ＋ ｂ２ ＋ ｃ２ ＝ ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ ｚ２ ＝ ａｘ ＋ ｂｙ ＋ ｃｚ，求证 == .
证明 由已知，得ａ２ ＋ ｂ２ ＋ ｃ２ ＝ ａｘ ＋ ｂｙ ＋ ｃｚ①，
ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ ｚ２ ＝ ａｘ ＋ ｂｙ ＋ ｃｚ②.
① ＋ ②，移项，得ａ２ ＋ ｂ２ ＋ ｃ２ ＋ ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ ｚ２ － ２ａｘ － ２ｂｙ － ２ｃｚ ＝ ０.
配方，得（ｘ － ａ）２ ＝ ０，（ｙ － ｂ）２ ＝ ０，（ｚ － ｃ）２ ＝ ０.
∵ ａ，ｂ，ｃ，ｘ，ｙ，ｚ∈Ｒ ，∴（ｘ － ａ） ≥ ０，（ｙ － ｂ） ≥ ０，（ｚ － ｃ） ≥ ０，
∴ ｘ － ａ ＝ ０，ｙ － ｂ ＝ ０，ｚ － ｃ ＝ ０，又ａ，ｂ，ｃ都不为０，
∴== .
２. 因式分解法
因式分解就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式. 因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用. 因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等. 如：
例4 已知：ａ３ ＋ ｂ３ ＋ ｃ３ ＝ （ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）３，求证：ａ２ｋ＋１ ＋ ｂ２ｋ＋１ ＋ ｃ２ｋ＋１ ＝ （ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）２ｋ＋１ （ｋ∈N）.
证明 由ａ３ ＋ ｂ３ ＋ ｃ３ ＝（ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）３，有
ａ３ ＋ ｂ３ ＋ ［ｃ３ － （ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）３］ ＝ ０.
（ａ ＋ ｂ）（ａ２ － ａｂ ＋ ｂ２） － （ａ ＋ ｂ）［（ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）２ ＋ ｃ（ａ ＋ ｂ ＋ ｃ） ＋ ｃ２］ ＝ ０.
即（ａ ＋ ｂ）（ｂ ＋ ｃ）（ｃ ＋ ａ） ＝ ０，得 ａ ＋ ｂ ＝ ０ 或ｂ ＋ ｃ ＝ ０ 或 ｃ ＋ ａ ＝ ０.
当ａ ＋ ｂ ＝ ０时，即ａ ＝ －ｂ时，则ａ２ｋ＋１ ＋ ｂ２ｋ＋１ ＋ ｃ２ｋ＋１ ＝ －ｂ２ｋ＋１ ＋ｂ２ｋ＋１ ＋ ｃ２ｋ＋１ ＝ ｃ２ｋ＋１.
（ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）２ｋ＋１ ＝ （－ｂ ＋ ｂ ＋ ｃ）２ｋ＋１ ＝ ｃ２ｋ＋１.
∴ ａ２ｋ＋１ ＋ ｂ２ｋ＋１ ＋ ｃ２ｋ＋１ ＝ （ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）２ｋ＋１.
同理，ｂ ＋ ｃ ＝ ０ 或ｃ ＋ ａ ＝ ０，等式也成立.
例5 已知：ｘ２ － ｙｚ ＝ ｙ２ － ｚｘ（ｘ ≠ ｙ），求证：ｚ２ － ｘｙ ＝ ｙ２ － ｚｘ.
证明 由已知ｘ２ － ｙｚ ＝ ｙ２ － ｚｘ，得（ｘ２ － ｙ２） ＋ （ｘｚ － ｙｚ） ＝ ０， 即（ｘ － ｙ）（ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ） ＝ ０.
∵ ｘ ≠ ｙ，∴ ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ ＝ ０.①
又ｘ２ － ｙｚ － （ｙ２ － ｚｘ） ＝ （ｚ２ － ｙ２） － ｘ（ｚ － ｙ） ＝ （ｚ － ｙ）（ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ），
将①代入上式得ｚ２－ｘｙ － （ｙ２ － ｚｘ） ＝ ０.
∴ z２ － xｙ ＝ ｙ２ － ｚｘ.
３. 换元法
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法. 我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决.
例6 将（ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ４）（ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ６） － ８分解因式．
解 设ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ４ ＝ ｙ，则ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ６ ＝ ｙ ＋ ２．
原式 ＝ ｙ（ｙ ＋ ２） － ８ ＝ ｙ２ ＋ ２ｙ － ８ ＝ （ｙ ＋ ４）（ｙ － ２）．
把ｙ ＝ ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ４代入上式，
原式 ＝ （ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ４ ＋ ４）（ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ４ － ２） ＝ （ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ８）（ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ２）．
说明 利用换元法，可将原式转化为二次三项式，从而可用因式分解法分解．
例7 解方程１４４ｘ２ ＋ ６ｘ － ５ ＝ ０．
解 设６ｘ ＝ ｙ，则原方程可化为（２ｙ）２ ＋ ｙ － ５ ＝ ０，有（４ｙ ＋ ５）（ｙ － １） ＝ ０.
得４ｙ ＋ ５ ＝ ０或ｙ－ １ ＝ ０ 得ｙ１ ＝ －， ｙ２ ＝ １,
故ｘ１ ＝ －，ｘ２ ＝ .
说明 利用换元法，可将系数的绝对值化小．从而使题目简单化．
４. 待定系数法
在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出這些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法. 它是中学数学中常用的方法之一.
５.构造法
在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程（组）、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法. 运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决.
６. 面积法
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果. 运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法. 用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线. 面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果. 所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文