论文部分内容阅读
【摘要】政治教学作为一门科学，从它诞生之日起，就同数学结下了不解之缘。英国古典政治教学的鼻祖威廉·配第就曾应用科学演绎法来阐明经济现象的基础，主张借助于统计和数学方法精确地观察、叙述经济过程，并著有《政治算术》的杰作。继而，重农学派的集大成者魁奈，运用数学方法编制了《经济表》，可见数学方法在政治教学研究中的地位与作用。
政治教学创新发展中能否运用数学一直是一个有争议的问题，本文发现政治教学运用数学是政治教学自身发展的一种趋势，符合政治教学的要求和数学规范化的要求，也是现实的需要，应当正确处理政治教学与数学逻辑的关系；如果在我们的教学过程中，灵活运用数学表达方法，如数学函数关系式、数学图表、数学等式变换等等，将会起到意想不到的教学效果。
【关键词】政治教学；数学应用；方法
1. 政治教学能否运用数学
政治教学作为一门科学.从它诞生之日起，就同数学结下了不解之缘。在马克思以前，政治教学对数学的运用大体上限于数值运算和统计分析，尽管在魁奈和李嘉图的著作中能够读出用数学来表达经济思想的内容。例如，被马克思称为英国资本主义古典政治教学创始人的威廉·配第和重农学派的代表人物弗朗斯瓦·魁奈都曾把数学作为经济分析的重要手段， 就曾应用科学演绎法来阐明经济现象的基础，主张借助于统计和数学方法精确地观察、叙述经济过程。他们的代表著作《政治算术》和《经济表》的书名就可以使人联想到“数学”。
不仅中国古典数学会汇入人类思想的主流，中国古典医学中医、中国古典政治教学也将汇入人类文明的主流。在各个领域，延续了八千年的中华文明是人类最保贵，也是最有价值的生活经验。中华文明一以贯之，是一个不可随意拆分的整体。中医经典《黄帝内经》中包含了诸多中国古典政治教学的哲学方法（翟玉忠，《〈黄帝内经〉中的中国古典政治教学原则》，中国古典数学经典《九章算术》中则阐述了诸多中国古典政治教学的数学方法。
但是，尽管在经济分析中应用数学的历史很长，早期的这种应用主要还是局限于把数学当成一种表述的方法，而不是研究的方法。那时的政治教学家们所做的工作仅仅是把现存的经济理论翻译成数学的语言。经济理论的建立和展开则与数学毫无关系。从这个意义上讲，政治教学与数学还没有真正地“结合”起来。实现这种结合的，是古诺和戈森。前者于1838年发表《关于财富理论的数学原理的研究》，后者于1854年发表《人类交换规律的发展及人类行为的准则》。这两部著作被公认为是数理政治教学的开山之作。正如熊彼特所说：“使用数字……甚或以代数形式重新表述某些非数学性的推理结果，并不就是数理政治教学：只有当产生结果的推理本身具有明显的数学性质时，才会显现出数理政治教学的特征。”
与前人不同，马克思不仅精通数学，而且在《资本论》的写作中就使用了一定的数学方法。马克思在继承数值运算和统计分析传统的基础上，创造了用数学来表达经济思想的方法。在《资本论》及其手稿中，不仅有大量定义方程，而且有大量用文字描述的函数方程和控制论模型。在数学分析方法上，马克思不仅使用了平均分析、比例分析这些属于常量数学的方法，而且使用了边际分析、弹性分析、动态分析和比较静态分析这些本质上属于变量数学的方法。在数学运用的范围上，马克思不仅在反映经济关系的量的方面广泛运用数学，而且在反映经济关系的质的方面也运用数学、运用一套符号化的表达即数理表达。可以说马克思创造了一套关于资本主义经济的符号体系和数学模型，创造了在抽象水平上运用数学的范例。正由于《资本论》中蕴涵着对数学的广泛运用，才使得人们能够将《资本论》原理用数学重新表述。
马克思在分析资本主义经济的运行过程中，既注重定性分析，又注重定量分析。可是直到现在，我们在政治的教学过程中，往往注重定性分析，对定量分析没有引起足够重视。政治教学能否运用数学，一直有争论[1]。近年来，随着政治教学教材的创新，出现了将政治教学数学化的各种努力。事实上，如果在教学过程中，能够灵活运用数学表达方法，如数学函数关系式、数学图表、数学等式变换等等，将会起到意想不到的教学效果。
马克思以后，在列宁早期研究俄国经济问题的著作中，仍然保持了政治教学运用数学的传统。例如，为说明资本主义在俄国的不可避免性，列宁给出了一个由自给自足经济向商品经济和资本主义经济演化的数学模型。在将马克思政治教学系统数学化方面，日本学者盐泽由典的工作值得注意（1982）。[2]盐泽由典采用抽象空间和矩阵代数，根据马克思政治教学的基本原理，从定义商品循环开始，构建了一个数理形式的政治教学。
在社会主义学术界，直到20世纪80年代，最优计划和最优增长问题一直是政治教学运用数学的主题。围绕这一主题，先后构建了以再生产理论为基础的经济增长模型（费尔德曼，1928）[3]和基于计划经济实践的社会主义经济增长模型（卡莱斯基，1963）[4]、基于再生产理论的投入-产出模型、再生产理论的控制论模型和動态模型（斯特鲁米林，1954；涅姆钦诺夫，1965；兰格，1970）[5][6][7]、消费与积累的最优比例模型（斯特鲁米林，1962）[8]、含有农轻重比例关系的再生产模型和增长模型（刘国光，1962）。[9]
为解决计划计算问题，在前苏联形成了数理政治教学派。其重要代表人物康托洛维奇因资源最优利用方面的贡献而获得诺贝尔政治教学奖（1975）。[10]到1980年代，在前苏联和东欧的政治教学教科书中已经出现了属于形式化的公理表述和证明（明兹，1981；莫依谢延科，1982）。[11][12]
从20世纪80年代起，我国学术界开始了持续至今的用形式化方法研究马克思政治教学主要经典问题和现代问题的努力，形成了一系列重要的研究成果，提高了我国政治教学的研究水平，创新了政治教学研究范式，推动了政治教学的数学化（张熏华，1993；吴易风，1994；宋则行，1997；程恩富，2002、2007；林岗，1991、2004；白暴力，1986、2006；丁堡骏，1995、2005；孟捷，2001）[13][14][15][16][17][18][19]） 电子计算机技术的发展使人们看到了中国古典数学体系的现代意义。我们著名数学家，中科院院士吴文俊正是用《九章算术》的基本理论开拓了数学机器证明的新时代，创造了世所公认的“吴方法”。吴文俊先生数学机械化思想直接源于他从上个世纪七十年代开始对中国数学史的研究。当发现直到 14 世纪中国古典数学体系在许多领域都保持西方望尘莫及的水平时，吴老不再像那些西化知识分子一样将中国数学不加分析地排斥于“数学主流”之外！多年后，在为数学史家李继闵先生的《〈九章算术〉及其刘徽注研究》作序时，吴文俊满怀激情地写道：“我国传统数学在从问题出发以解决问题为主旨的发展过程中建立了以构造性与机械化为其特色的算法体系，这与西方数学以欧几里得《几何原本》为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥相对。《九章》与《刘注》是这一机械化体系的代表作，与公理化的代表作欧几里得《几何原本》可谓东西辉映，在数学发展的历史长河中，数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复互为消长，交替成为数学发展中的主流。肇始于我国的这种机械化体系，在经过明代以来近几百年的相对消沉后，势必重新登上历史舞台。《九章》与《刘注》所贯穿的机械化思想，不仅曾深刻影响了数学的历史进程，而且对数学的现状也正在发扬它日益显著的影响。它在进入 21 世纪后在数学中的地位，几乎可以预卜。”
以上回顾是不完全的，但已经表明政治教学运用数学和形式化是政治教学自身发展的一种趋势。这是因为，第一，政治教学所揭示的经济关系和经济规律是质和量的统一，这在客观上要求运用数学来分析和描述。第二，政治教学理论体系和原理本身就蕴涵着以可检验假设为基础的函数方程集和，将这些函数方程集显化、系统化构成政治教学本身的一项任务，这必须要运用数学。同时，随着对政治教学经典课题的深入研究，政治教学体系原理的精确化成为一种要求，这也只能依靠运用数学来实现。第三，现代数学提供了处理动态过程和定性关系定量化描述的方法，而政治教学范畴的质的分析也已经达到了有效利用数学的水平，这解决了政治教学能否运用数学的最大分歧。
今天，数学自身有了巨大的发展，我们政治教学研究者更应该自觉加强马克思主义政治教学中的数学建设，努力推动马克思主义政治教学的创新发展。其实，借助数学工具，利用函数关系式进行表达概念时，其内在逻辑往往从不同的方面，不同的角度来进行阐述，以辩证地、严密地展示其蕴含，可以帮助我们理解。譬如分析商品的价值量，马克思对这一问题，作了较为详细的阐述。商品的价值量是由社会必要劳动时间决定的。我们可以用数学函数关系式表示：Q=f（T）。式中：Q表示商品的价值量，T表示社会必要劳动时间。该函数因变量Q和自变量T應是正比关系，因此可以得出如下结论：若T1>T2，则Q1>Q2，即社会必要劳动时间越长，商品的价值量就越大。
2. 政治教学如何运用数学
在肯定政治教学能够运用数学的前提下，需要进一步讨论的是政治教学应当如何运用数学，即政治教学运用数学应当遵循哪些基本原则。除了简单性这一公认的数学运用原则外，本文认为应当特别强调如下一些基本原则：
第一，符合政治教学的要求。政治教学研究的是社会生产关系或生产方式，目的是揭示经济运动规律。政治教学运用数学和形式化，无非是采用一套公式化的数学语言来表达政治教学的基本理论和原理，将政治教学由文字表达转化成数理表达。这从根本上决定了数学的政治教学运用和形式化，必须符合政治教学从理论上再现具体的逻辑。因此，在数学的政治教学运用和形式化方面，应当根据政治教学再现具体的要求，包括从抽象上升到具体的各个层次和环节。这就要求进一步研究以《资本论》为基础的政治教学理论逻辑中包含的显性的和隐性的数学运用，总结国内外在马克思主义政治教学数学化方面取得的已有研究成果，用现代数学对政治教学体系和原理做出符合政治教学要求的数学表述。
第二，符合数学规范和数学的形式化要求。政治教学运用数学大体上包括两个方面：一方面是对经济关系的数量方面进行分析和描述，另一方面是对经济关系的质的方面进行数学描述。这两方面的工作都应当符合数学规范，符合数学的形式化要求。
就前一方面的工作而言，需要将隐含在政治教学各原理中的假定显性化，在这些假定的基础上，将政治教学原理用数学推导加以证明，形成定理、引理和推论，使政治教学原理精确化。就后一方面的工作而言，本质上属于采用公理性方法对政治教学进行形式化。这要求遵循公理性方法的逻辑和步骤，在给出不加定义的初始范畴或初始概念的基础上，运用定理、引理、推论和数学模型进行逻辑推导（数学推导），将政治教学运用抽象思维所揭示的经济关系和理论分析过程抽象化为严密的数学结构。
运用公理性方法的前提是一些构成推理基础的初始范畴或初始概念，即理论的基本假定或公理。因此，应当从政治教学原理中抽象出能够运用公理性方法的基本假定和公理，并构建相应的公理体系。
第三，正确处理政治教学逻辑与数学逻辑的关系。政治教学运用数学和形式化所改变的只是政治教学的存在形式而不是本质。采用数学形式可以保证推理和论证过程的准确性，从而保证结论和思想表达的准确性，保证不发生理解上的歧义。但是，数学形式并不能保证经济理论本身的正确可靠。经济理论本身是否正确可靠，只能依赖于经济观察是否深刻准确，理论分析是否正确合理，理论结论是否可被经验事实所证实。所有这些都不依赖数学形式。因此，当数学逻辑与政治教学逻辑发生矛盾时，应当保留政治教学逻辑而放弃数学逻辑，不能让政治教学逻辑服从数学逻辑。
但是，当理论政治教学数学化以后，数学逻辑的力量可能导致其取代政治教学逻辑，并出可能现过度数学化。政治教学逻辑与数学逻辑的颠倒和过度数学化，是最早被数学化的新古典政治教学的根本弊端之一。除其他根本性缺陷外，颠倒政治教学逻辑与数学逻辑的关系、过度数学化，也是目前西方国家由一群法国大学生发起的政治教学反思运动的重要起因（富布鲁克，2004）。 由于不能正确理解数学在政治教学中的意义，新古典政治教学尽管构建了严密的形式体系，但其正确性始终受到来自经济观察和政治教学逻辑的质疑。例如，按新古典政治教学的消费者选择理论，效用最大化是边际效用为零的一点（一阶导数等于零）。这对于从纯数学意义上求解效用函数来说，当然是正确的，但对于任何一个现实的消费者的实际消费决策来说是不能成立的。因为消费者决不可能消费一单位边际效用为零的商品。
再如，在现代高级宏观政治教学中，都有采用连续时间或离散时间动态最优化方法对中央计划经济（中央管制经济）与市场经济（分散经济）等价性的形式化证明（布兰查德、费希尔，1992）。这些证明在数学上都是成立的、准确的，形式上是优美的，其表达的思想也是清晰而没有歧义的。但是，这一证明并没有实际意义，也经不住观察和经验检验，其数学逻辑与政治教学逻辑是明显冲突的。此外，由于不能将分工和报酬递增用数学模型来描述，新古典政治教学曾长期忽视杨格的文献。
上述案例说明，政治教学的数学形式化必须正确处理政治教学逻辑与数学逻辑的关系，避免用数学逻辑代替政治教学逻辑，避免过度数学化。
接下来，请大家看几道政治教学中常遇到的数学题：
（1）某资本主义国家纺织部门原预付资本共计100亿美元，资本有机构成9：1，工人平均月工资为2000美元，由于生产技术进步，纺织部门预付资本更新时资本有机构成提高为19：1.这时，再不追加预付资本情况下，纺织部门应裁掉的工人是多少人？（资本有机构成=不变资本：可变资本=C：V可知，v=10亿，需要工人人数=可变资本/每人工资=10亿/2000=50万人.技术进步后，v=100亿*1/20=5亿，需要工人人数=5亿/2000=25万人。因此，50万-25万=25万人。答案是25万人。）
（2） 某资本家投资100万元，资本有机构成4：1，m′=100%，一年周转4次，其年剩余价值量和剩余价值率分别是 多少？（资本有机构成即不变资本与可变资本之比，即C：V，可知：C=80万元，V=20万元。由m′=100%，即剩余价值率等于剩余价值与可变资本之比（m'=m：v）可知，一次周转的剩余价值m=20万元。一年周转4次，则年剩余价值量为M=80万元。年剩余价值率=年剩余价值量M/V=80万/20万=400%）
（3）流通中的货币需要量是考察经济生活运行的重要指标，假设某国去年的商品价格总额为24万亿元，流通需要量为3亿元，若今年该国商品价格总额增长10%，其他条件不变，今年流通中需要的货币量为多少？（根据货币流通规律的公式来计算，即一定时期内流通中所需要的货币量=商品价格总额/货币流通速度。题目中去年商品价格总额为24万亿元，货币量为3亿元，因此，去年货币流通速度为=8万次/年。若今年该国商品价格总额增长10%，今年的商品价格总额则为24×（1+10%）=26.4万亿元，在其他条件不变的情况下，今年流通中的货币量为26.4/8=3.3亿元）
（4）某块土地，地租为200万元，土地价格为4000萬元，若银行存款利息率不变，该土地的地租增加到300万元时，银行存款利息率和土地价格分别是多少？（影响土地价格的因素，从理论上说，主要有两个：一是地租收入的多少（成正比）；二是银行利息率的高低（成反比）。所以，土地价格的计算公式是：土地价格=地租/利息率。进而利息率=地租/土地价格=200万元/4000万元=5%；。存款利息率不变，在新形势下的土地价格为=地租/存款利息率=300万元/5%=6000万元）
（5）某资本家企业预付资本1000万元，资本有机构成9：1，剩余价值率100%，其中可变资本每年周转2.5次，其年利润率为多少？（资本有机构成即不变资本与可变资本之比，即C：V，可知：C=900万元，V=100万元。由m′=100%，即剩余价值率等于剩余价值与可变资本之比（m'=m：v）可知，一次周转的剩余价值m=100万元。一年周转2.5次，则年剩余价值量为M=250万元。年利润率P'=年剩余价值量/预付资本=M/（C+V）=250/1000=25%）
（6）假设2008年某国M商品，其价值用该国货币表示为15元，若2009年生产M的社会劳动生产率提高50%，且该国货币价值下降（贬值）20%，在其他条件不变情况下，2009年以单位M商品的价值用货币表示为多少元？（社会劳动生产率与商品价值量成反比，提高社会劳动生产率后，该商品为15/（1+50%）=10元，同时贬值20%，最后得10*（1+20%）=12元）
【参考文献】
[1] Michio Morishima.Marxs Economics[M]. Cambridge ：Cambridge University Press， 1973.
[2] 盐泽由典.数理政治教学基础[M].杭州：浙江人民出版社，1984. [3]卡莱斯基.社会主义经济增长理论导论[M].上海：上海三联书店，1988.
[3] 涅姆钦诺夫.经济数学方法和模型[M]. 北京：商务印书馆，1981.
[4] 兰格.经济控制论导论[M].北京：中国社会科学出版社，1981.
[5] 刘国光.社会主义再生产问题[M].北京：三联书店，1980.
[6] 康托洛维奇.最优化规划论文集[M].北京：商务印书馆，1984.
[7] 明兹.现代政治教学[M].北京：东方出版社，1988.
[8] 张熏华.《资本论》中的数量分析[M].济南：山东人民出版社，1993.
[9] 吴易风.马克思主义政治教学与西方经济[M].北京：经济科学出版社，2001.
[10] 宋则行.马克思经济理论再认识[M].北京：经济科学出版社，1997.
[11] 程恩富.现代政治教学创新[M]. 上海：世纪出版集团，上海人民出版社，2007.
[12] 林岗.马克思主义与政治教学[M].北京：经济科学出版社，2007.
[13] 白暴力.价值价格通论[M].北京：经济科学出版社，2006.
[14] 丁堡骏.马克思劳动价值理论与当代现实[M].北京：经济科学出版社，2005.
[15] 孟捷.马克思主义政治教学的创造性转化[M].北京：经济科学出版社，2001.
[16] 布留明：《政治教学中的主观学派》（上下），北京：人民出版社1983年。
[17] 丁晓钦、余斌：《马克思主义政治教学研究中的数学应用问题》，《学习与探索》，2008年第3期。
[18] 潘石：《数学化：中国政治教学现代化的误区》，《政治教学家》，2008
政治教学创新发展中能否运用数学一直是一个有争议的问题，本文发现政治教学运用数学是政治教学自身发展的一种趋势，符合政治教学的要求和数学规范化的要求，也是现实的需要，应当正确处理政治教学与数学逻辑的关系；如果在我们的教学过程中，灵活运用数学表达方法，如数学函数关系式、数学图表、数学等式变换等等，将会起到意想不到的教学效果。
【关键词】政治教学；数学应用；方法
1. 政治教学能否运用数学
政治教学作为一门科学.从它诞生之日起，就同数学结下了不解之缘。在马克思以前，政治教学对数学的运用大体上限于数值运算和统计分析，尽管在魁奈和李嘉图的著作中能够读出用数学来表达经济思想的内容。例如，被马克思称为英国资本主义古典政治教学创始人的威廉·配第和重农学派的代表人物弗朗斯瓦·魁奈都曾把数学作为经济分析的重要手段， 就曾应用科学演绎法来阐明经济现象的基础，主张借助于统计和数学方法精确地观察、叙述经济过程。他们的代表著作《政治算术》和《经济表》的书名就可以使人联想到“数学”。
不仅中国古典数学会汇入人类思想的主流，中国古典医学中医、中国古典政治教学也将汇入人类文明的主流。在各个领域，延续了八千年的中华文明是人类最保贵，也是最有价值的生活经验。中华文明一以贯之，是一个不可随意拆分的整体。中医经典《黄帝内经》中包含了诸多中国古典政治教学的哲学方法（翟玉忠，《〈黄帝内经〉中的中国古典政治教学原则》，中国古典数学经典《九章算术》中则阐述了诸多中国古典政治教学的数学方法。
但是，尽管在经济分析中应用数学的历史很长，早期的这种应用主要还是局限于把数学当成一种表述的方法，而不是研究的方法。那时的政治教学家们所做的工作仅仅是把现存的经济理论翻译成数学的语言。经济理论的建立和展开则与数学毫无关系。从这个意义上讲，政治教学与数学还没有真正地“结合”起来。实现这种结合的，是古诺和戈森。前者于1838年发表《关于财富理论的数学原理的研究》，后者于1854年发表《人类交换规律的发展及人类行为的准则》。这两部著作被公认为是数理政治教学的开山之作。正如熊彼特所说：“使用数字……甚或以代数形式重新表述某些非数学性的推理结果，并不就是数理政治教学：只有当产生结果的推理本身具有明显的数学性质时，才会显现出数理政治教学的特征。”
与前人不同，马克思不仅精通数学，而且在《资本论》的写作中就使用了一定的数学方法。马克思在继承数值运算和统计分析传统的基础上，创造了用数学来表达经济思想的方法。在《资本论》及其手稿中，不仅有大量定义方程，而且有大量用文字描述的函数方程和控制论模型。在数学分析方法上，马克思不仅使用了平均分析、比例分析这些属于常量数学的方法，而且使用了边际分析、弹性分析、动态分析和比较静态分析这些本质上属于变量数学的方法。在数学运用的范围上，马克思不仅在反映经济关系的量的方面广泛运用数学，而且在反映经济关系的质的方面也运用数学、运用一套符号化的表达即数理表达。可以说马克思创造了一套关于资本主义经济的符号体系和数学模型，创造了在抽象水平上运用数学的范例。正由于《资本论》中蕴涵着对数学的广泛运用，才使得人们能够将《资本论》原理用数学重新表述。
马克思在分析资本主义经济的运行过程中，既注重定性分析，又注重定量分析。可是直到现在，我们在政治的教学过程中，往往注重定性分析，对定量分析没有引起足够重视。政治教学能否运用数学，一直有争论[1]。近年来，随着政治教学教材的创新，出现了将政治教学数学化的各种努力。事实上，如果在教学过程中，能够灵活运用数学表达方法，如数学函数关系式、数学图表、数学等式变换等等，将会起到意想不到的教学效果。
马克思以后，在列宁早期研究俄国经济问题的著作中，仍然保持了政治教学运用数学的传统。例如，为说明资本主义在俄国的不可避免性，列宁给出了一个由自给自足经济向商品经济和资本主义经济演化的数学模型。在将马克思政治教学系统数学化方面，日本学者盐泽由典的工作值得注意（1982）。[2]盐泽由典采用抽象空间和矩阵代数，根据马克思政治教学的基本原理，从定义商品循环开始，构建了一个数理形式的政治教学。
在社会主义学术界，直到20世纪80年代，最优计划和最优增长问题一直是政治教学运用数学的主题。围绕这一主题，先后构建了以再生产理论为基础的经济增长模型（费尔德曼，1928）[3]和基于计划经济实践的社会主义经济增长模型（卡莱斯基，1963）[4]、基于再生产理论的投入-产出模型、再生产理论的控制论模型和動态模型（斯特鲁米林，1954；涅姆钦诺夫，1965；兰格，1970）[5][6][7]、消费与积累的最优比例模型（斯特鲁米林，1962）[8]、含有农轻重比例关系的再生产模型和增长模型（刘国光，1962）。[9]
为解决计划计算问题，在前苏联形成了数理政治教学派。其重要代表人物康托洛维奇因资源最优利用方面的贡献而获得诺贝尔政治教学奖（1975）。[10]到1980年代，在前苏联和东欧的政治教学教科书中已经出现了属于形式化的公理表述和证明（明兹，1981；莫依谢延科，1982）。[11][12]
从20世纪80年代起，我国学术界开始了持续至今的用形式化方法研究马克思政治教学主要经典问题和现代问题的努力，形成了一系列重要的研究成果，提高了我国政治教学的研究水平，创新了政治教学研究范式，推动了政治教学的数学化（张熏华，1993；吴易风，1994；宋则行，1997；程恩富，2002、2007；林岗，1991、2004；白暴力，1986、2006；丁堡骏，1995、2005；孟捷，2001）[13][14][15][16][17][18][19]） 电子计算机技术的发展使人们看到了中国古典数学体系的现代意义。我们著名数学家，中科院院士吴文俊正是用《九章算术》的基本理论开拓了数学机器证明的新时代，创造了世所公认的“吴方法”。吴文俊先生数学机械化思想直接源于他从上个世纪七十年代开始对中国数学史的研究。当发现直到 14 世纪中国古典数学体系在许多领域都保持西方望尘莫及的水平时，吴老不再像那些西化知识分子一样将中国数学不加分析地排斥于“数学主流”之外！多年后，在为数学史家李继闵先生的《〈九章算术〉及其刘徽注研究》作序时，吴文俊满怀激情地写道：“我国传统数学在从问题出发以解决问题为主旨的发展过程中建立了以构造性与机械化为其特色的算法体系，这与西方数学以欧几里得《几何原本》为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥相对。《九章》与《刘注》是这一机械化体系的代表作，与公理化的代表作欧几里得《几何原本》可谓东西辉映，在数学发展的历史长河中，数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复互为消长，交替成为数学发展中的主流。肇始于我国的这种机械化体系，在经过明代以来近几百年的相对消沉后，势必重新登上历史舞台。《九章》与《刘注》所贯穿的机械化思想，不仅曾深刻影响了数学的历史进程，而且对数学的现状也正在发扬它日益显著的影响。它在进入 21 世纪后在数学中的地位，几乎可以预卜。”
以上回顾是不完全的，但已经表明政治教学运用数学和形式化是政治教学自身发展的一种趋势。这是因为，第一，政治教学所揭示的经济关系和经济规律是质和量的统一，这在客观上要求运用数学来分析和描述。第二，政治教学理论体系和原理本身就蕴涵着以可检验假设为基础的函数方程集和，将这些函数方程集显化、系统化构成政治教学本身的一项任务，这必须要运用数学。同时，随着对政治教学经典课题的深入研究，政治教学体系原理的精确化成为一种要求，这也只能依靠运用数学来实现。第三，现代数学提供了处理动态过程和定性关系定量化描述的方法，而政治教学范畴的质的分析也已经达到了有效利用数学的水平，这解决了政治教学能否运用数学的最大分歧。
今天，数学自身有了巨大的发展，我们政治教学研究者更应该自觉加强马克思主义政治教学中的数学建设，努力推动马克思主义政治教学的创新发展。其实，借助数学工具，利用函数关系式进行表达概念时，其内在逻辑往往从不同的方面，不同的角度来进行阐述，以辩证地、严密地展示其蕴含，可以帮助我们理解。譬如分析商品的价值量，马克思对这一问题，作了较为详细的阐述。商品的价值量是由社会必要劳动时间决定的。我们可以用数学函数关系式表示：Q=f（T）。式中：Q表示商品的价值量，T表示社会必要劳动时间。该函数因变量Q和自变量T應是正比关系，因此可以得出如下结论：若T1>T2，则Q1>Q2，即社会必要劳动时间越长，商品的价值量就越大。
2. 政治教学如何运用数学
在肯定政治教学能够运用数学的前提下，需要进一步讨论的是政治教学应当如何运用数学，即政治教学运用数学应当遵循哪些基本原则。除了简单性这一公认的数学运用原则外，本文认为应当特别强调如下一些基本原则：
第一，符合政治教学的要求。政治教学研究的是社会生产关系或生产方式，目的是揭示经济运动规律。政治教学运用数学和形式化，无非是采用一套公式化的数学语言来表达政治教学的基本理论和原理，将政治教学由文字表达转化成数理表达。这从根本上决定了数学的政治教学运用和形式化，必须符合政治教学从理论上再现具体的逻辑。因此，在数学的政治教学运用和形式化方面，应当根据政治教学再现具体的要求，包括从抽象上升到具体的各个层次和环节。这就要求进一步研究以《资本论》为基础的政治教学理论逻辑中包含的显性的和隐性的数学运用，总结国内外在马克思主义政治教学数学化方面取得的已有研究成果，用现代数学对政治教学体系和原理做出符合政治教学要求的数学表述。
第二，符合数学规范和数学的形式化要求。政治教学运用数学大体上包括两个方面：一方面是对经济关系的数量方面进行分析和描述，另一方面是对经济关系的质的方面进行数学描述。这两方面的工作都应当符合数学规范，符合数学的形式化要求。
就前一方面的工作而言，需要将隐含在政治教学各原理中的假定显性化，在这些假定的基础上，将政治教学原理用数学推导加以证明，形成定理、引理和推论，使政治教学原理精确化。就后一方面的工作而言，本质上属于采用公理性方法对政治教学进行形式化。这要求遵循公理性方法的逻辑和步骤，在给出不加定义的初始范畴或初始概念的基础上，运用定理、引理、推论和数学模型进行逻辑推导（数学推导），将政治教学运用抽象思维所揭示的经济关系和理论分析过程抽象化为严密的数学结构。
运用公理性方法的前提是一些构成推理基础的初始范畴或初始概念，即理论的基本假定或公理。因此，应当从政治教学原理中抽象出能够运用公理性方法的基本假定和公理，并构建相应的公理体系。
第三，正确处理政治教学逻辑与数学逻辑的关系。政治教学运用数学和形式化所改变的只是政治教学的存在形式而不是本质。采用数学形式可以保证推理和论证过程的准确性，从而保证结论和思想表达的准确性，保证不发生理解上的歧义。但是，数学形式并不能保证经济理论本身的正确可靠。经济理论本身是否正确可靠，只能依赖于经济观察是否深刻准确，理论分析是否正确合理，理论结论是否可被经验事实所证实。所有这些都不依赖数学形式。因此，当数学逻辑与政治教学逻辑发生矛盾时，应当保留政治教学逻辑而放弃数学逻辑，不能让政治教学逻辑服从数学逻辑。
但是，当理论政治教学数学化以后，数学逻辑的力量可能导致其取代政治教学逻辑，并出可能现过度数学化。政治教学逻辑与数学逻辑的颠倒和过度数学化，是最早被数学化的新古典政治教学的根本弊端之一。除其他根本性缺陷外，颠倒政治教学逻辑与数学逻辑的关系、过度数学化，也是目前西方国家由一群法国大学生发起的政治教学反思运动的重要起因（富布鲁克，2004）。 由于不能正确理解数学在政治教学中的意义，新古典政治教学尽管构建了严密的形式体系，但其正确性始终受到来自经济观察和政治教学逻辑的质疑。例如，按新古典政治教学的消费者选择理论，效用最大化是边际效用为零的一点（一阶导数等于零）。这对于从纯数学意义上求解效用函数来说，当然是正确的，但对于任何一个现实的消费者的实际消费决策来说是不能成立的。因为消费者决不可能消费一单位边际效用为零的商品。
再如，在现代高级宏观政治教学中，都有采用连续时间或离散时间动态最优化方法对中央计划经济（中央管制经济）与市场经济（分散经济）等价性的形式化证明（布兰查德、费希尔，1992）。这些证明在数学上都是成立的、准确的，形式上是优美的，其表达的思想也是清晰而没有歧义的。但是，这一证明并没有实际意义，也经不住观察和经验检验，其数学逻辑与政治教学逻辑是明显冲突的。此外，由于不能将分工和报酬递增用数学模型来描述，新古典政治教学曾长期忽视杨格的文献。
上述案例说明，政治教学的数学形式化必须正确处理政治教学逻辑与数学逻辑的关系，避免用数学逻辑代替政治教学逻辑，避免过度数学化。
接下来，请大家看几道政治教学中常遇到的数学题：
（1）某资本主义国家纺织部门原预付资本共计100亿美元，资本有机构成9：1，工人平均月工资为2000美元，由于生产技术进步，纺织部门预付资本更新时资本有机构成提高为19：1.这时，再不追加预付资本情况下，纺织部门应裁掉的工人是多少人？（资本有机构成=不变资本：可变资本=C：V可知，v=10亿，需要工人人数=可变资本/每人工资=10亿/2000=50万人.技术进步后，v=100亿*1/20=5亿，需要工人人数=5亿/2000=25万人。因此，50万-25万=25万人。答案是25万人。）
（2） 某资本家投资100万元，资本有机构成4：1，m′=100%，一年周转4次，其年剩余价值量和剩余价值率分别是 多少？（资本有机构成即不变资本与可变资本之比，即C：V，可知：C=80万元，V=20万元。由m′=100%，即剩余价值率等于剩余价值与可变资本之比（m'=m：v）可知，一次周转的剩余价值m=20万元。一年周转4次，则年剩余价值量为M=80万元。年剩余价值率=年剩余价值量M/V=80万/20万=400%）
（3）流通中的货币需要量是考察经济生活运行的重要指标，假设某国去年的商品价格总额为24万亿元，流通需要量为3亿元，若今年该国商品价格总额增长10%，其他条件不变，今年流通中需要的货币量为多少？（根据货币流通规律的公式来计算，即一定时期内流通中所需要的货币量=商品价格总额/货币流通速度。题目中去年商品价格总额为24万亿元，货币量为3亿元，因此，去年货币流通速度为=8万次/年。若今年该国商品价格总额增长10%，今年的商品价格总额则为24×（1+10%）=26.4万亿元，在其他条件不变的情况下，今年流通中的货币量为26.4/8=3.3亿元）
（4）某块土地，地租为200万元，土地价格为4000萬元，若银行存款利息率不变，该土地的地租增加到300万元时，银行存款利息率和土地价格分别是多少？（影响土地价格的因素，从理论上说，主要有两个：一是地租收入的多少（成正比）；二是银行利息率的高低（成反比）。所以，土地价格的计算公式是：土地价格=地租/利息率。进而利息率=地租/土地价格=200万元/4000万元=5%；。存款利息率不变，在新形势下的土地价格为=地租/存款利息率=300万元/5%=6000万元）
（5）某资本家企业预付资本1000万元，资本有机构成9：1，剩余价值率100%，其中可变资本每年周转2.5次，其年利润率为多少？（资本有机构成即不变资本与可变资本之比，即C：V，可知：C=900万元，V=100万元。由m′=100%，即剩余价值率等于剩余价值与可变资本之比（m'=m：v）可知，一次周转的剩余价值m=100万元。一年周转2.5次，则年剩余价值量为M=250万元。年利润率P'=年剩余价值量/预付资本=M/（C+V）=250/1000=25%）
（6）假设2008年某国M商品，其价值用该国货币表示为15元，若2009年生产M的社会劳动生产率提高50%，且该国货币价值下降（贬值）20%，在其他条件不变情况下，2009年以单位M商品的价值用货币表示为多少元？（社会劳动生产率与商品价值量成反比，提高社会劳动生产率后，该商品为15/（1+50%）=10元，同时贬值20%，最后得10*（1+20%）=12元）
【参考文献】
[1] Michio Morishima.Marxs Economics[M]. Cambridge ：Cambridge University Press， 1973.
[2] 盐泽由典.数理政治教学基础[M].杭州：浙江人民出版社，1984. [3]卡莱斯基.社会主义经济增长理论导论[M].上海：上海三联书店，1988.
[3] 涅姆钦诺夫.经济数学方法和模型[M]. 北京：商务印书馆，1981.
[4] 兰格.经济控制论导论[M].北京：中国社会科学出版社，1981.
[5] 刘国光.社会主义再生产问题[M].北京：三联书店，1980.
[6] 康托洛维奇.最优化规划论文集[M].北京：商务印书馆，1984.
[7] 明兹.现代政治教学[M].北京：东方出版社，1988.
[8] 张熏华.《资本论》中的数量分析[M].济南：山东人民出版社，1993.
[9] 吴易风.马克思主义政治教学与西方经济[M].北京：经济科学出版社，2001.
[10] 宋则行.马克思经济理论再认识[M].北京：经济科学出版社，1997.
[11] 程恩富.现代政治教学创新[M]. 上海：世纪出版集团，上海人民出版社，2007.
[12] 林岗.马克思主义与政治教学[M].北京：经济科学出版社，2007.
[13] 白暴力.价值价格通论[M].北京：经济科学出版社，2006.
[14] 丁堡骏.马克思劳动价值理论与当代现实[M].北京：经济科学出版社，2005.
[15] 孟捷.马克思主义政治教学的创造性转化[M].北京：经济科学出版社，2001.
[16] 布留明：《政治教学中的主观学派》（上下），北京：人民出版社1983年。
[17] 丁晓钦、余斌：《马克思主义政治教学研究中的数学应用问题》，《学习与探索》，2008年第3期。
[18] 潘石：《数学化：中国政治教学现代化的误区》，《政治教学家》，2008