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本人执教《鸡兔同笼》一课,在市数学优质课比赛中获得了一等奖。从定下教材、试教、到定稿,整整经历了九次修改与磨砺。最终解决了三大难题,正如珠蚌孕育珍珠一般,在痛苦与迷茫后,收获了三颗闪亮的“珍珠”——在课堂中绽放主次、联系、破立之间的和谐智慧。
接下来,就遇到的三大难题以及在解决过程中收获的三颗“珍珠”以实录的形式,一一向大家加以阐述,敬请指正。
一、花开四朵、单表一枝
问题:如何面对多样的教材和参差的学情?
人教版 苏教版
教材:在选定内容后,我就开始翻阅各种不同版本的教材,发现不同版本的教材对解决鸡兔同笼方法各有侧重。北师大版的教材以介绍列表法为主;人教版的教材主要介绍列表和方程法;苏教版的教材则主要介绍画图和列表。
学情:通过初次试教,了解到学生课前对鸡兔同笼问题也并非一无所知,有一部分在奥数班学习中已掌握了用假设法解,也有个别能用方程的方法解,原来没有基础的学生也会通过自己动脑筋凑出正确答案。
不同的教材和参差的学情,使教学设计曾一度陷入了困境,让我不得不重新审视教材、揣摩学情,找寻理想的教学支点,以期能够在教材的“主”方法和学生的“众”方法之间找到平衡。经过慎重考虑和多次实践,最后解决了这一问题,孕育出了第一颗珍珠——“花开四朵,单表一枝”
【实录】:
“花开四朵”
今有鸡兔同笼,上有10头,下有28足,问鸡兔各几何?
师:我们来试试,看能不能通过自己的努力求出鸡、兔各几只?有困难的同学可以与边上的同学讨论。
生:(独立做)
师巡视,找不同的解题方法,让学生写在黑色卡纸上。
师:我们班的同学真不错,想了很多办法解决这个鸡兔同笼问题。我们一起来欣赏一下。
展示第一种方法:
(10×4-28)÷(4-2)=6只 10-6=4只
生:(解释)
(28-10×2)÷(4-2)=4只 10-4=6只
生:解释
师:你们这种方法是在哪里学的?
生:奥数班。
师:知道叫什么方法吗?
生:假设法。(板书:假设)
师:同学们,我们来检验一下你们的答案是不是正确。怎么检验?
生:看看脚是不是28只。
师:好。2×6+4×4是不是28只呢?
生:是的。
展示第二种方法:(画图)
师:请这位同学解释一下。
生:这些是10个头,然后先在每个头下面画上2只脚,这样就都成了鸡,而脚只有20只,说明还要添上8只脚,就2只2只添上去……结果也是兔4只,鸡6只。
师:画图是一种好办法,当我们遇到问题不知道从哪里下手的时候就可以画图。当然我们可以画得更简洁美观一些。
展示第三种方法:(方程法)
2×()+4×(10- )=28
生:如果第一个()填2,那么第二个就是(10-2),这样去试。最后我知道了,鸡6只,兔4只时正好等于28。
师:很好,这也可以看成是方程。
展示第四种方法:6+28=34 8+24=32 10+20=30 12+16=28鸡6只,兔4只
生:我是在算脚的只数,算到第四次的时候发现对了。
师:如果把他的这种思想方法列在表格里,就是我们今天重点要研究的列表法了。同学们,接下来我们就来研究列表法。(板书:列表)
“单表一枝”
在教材的主方法上,北师大版、苏教版、人教版教材不谋而合——其中都介绍了列表法。列表法蕴含了丰富的数学思想,且充分地体现了不同学生学习不同的数学。人教版推荐方程法,并将这一内容安排在六年级上册学习用方程解决问题之后,具有达到巩固用方程解决问题的用意。斟酌再三,本课以北师大版教材为主,其他教材为辅,单表列表法这“一枝花”。(详见教学实录片段)
探索列表法:
今有鸡兔同笼,上有10头,下有28足,问鸡兔各几只?
1.第一次列表
师:出示
师:我们可以从鸡有几只开始?
生:鸡1只,兔9只,脚有38只。
师:然后鸡……
生:然后就鸡2只,兔8只,脚36只。鸡3只,兔7只,脚有34只。……
师:怎么共有几只脚,算得这么快呢?
生:鸡每增加一只,兔就减少一只,脚数就会减少2只。
师:很棒。鸡每减少一只,兔每增加一只,脚数就会……?
生:会增加2只。
师:好,那我们接着往下写。
师:很能干,最后凑到了脚数是28只。让我们数一数,假设鸡1只,兔9只,总共算了几次脚数。
生:6次。
师:这个效率好像不是很……
生:效率不高。
师:那让我们一起来动动脑筋,看有没有提高效率的方法。
生:开始的时候假设是鸡5只,兔5只,脚有30只。鸡6只,兔4只,脚就是28只。
师:哦?!对半分。你一下就到了这里,再调整一次就成功了。对半分,好办法。
师:命中率真高。但是这有一个问题,如果在鸡5只,兔5只,脚有30只之后,我朝着相反的方向去凑,鸡4只,兔6只去想,那么岂不是南辕北辙啦,越走越远啦?
生:当你看到,脚数太多时就是兔要减少,脚数太少就是兔要增加。
师:太棒了,原来还有窍门的。还有谁也知道这个窍门呢?
生:脚数太多时就是兔要减少,脚数太少就是兔要增加。
2.《孙子算经》中历史名题
师:大家都来施展一下自己的数学才华,同桌两人合作用列表的方法做做这道历史名题。看看,在做的过程中,能不能找到更好的方法提高命中率。
生(用列表法解)
今有鸡兔同笼,上有35头,下有94足,问:鸡、兔共几何?
师展示学生的作业纸。
师:他是调了7次,得到了正确答案。有没有比他少的?拿上来展示,并说出你比他高明在什么地方。
生2:
生2:我想106只脚和94只脚相差比较大,所以鸡两只两只增加。
师:很好,确实次数也少了。还有更少的吗,说出你又是高明在哪里?
生3:
生3:106只脚和94相差12只脚,说明鸡要增加6只。
师:她高明就高明在提高了计算的含量。
师:我们班的同学太厉害了,不管先假设有几只鸡和兔,最后都能经过调整,得出正确答案,而且还发现了这么多可以提高列表法效率的好窍门。
闪光之处:
如果说“花开四朵”是顺应学情,充分展示学生的各种解决方法,那么“单表一枝”则是对学生已有水平的提升,是面对多样教材的一种选择。所以说“花开四朵,单表一枝”是针对参差的学情和多样的教材找到的一个平衡。
而其中“单表一枝”更蕴含了设计者的匠心。怎样用好列表法,是这节课的难点所在。如何让学生抽丝剥茧自己“悟”到其窍门所在,是我们设计者最期望达到的教学效果。从以上“单表一枝”的实录中,我们不难发现教师的几个(黑体)关键问句,巧妙地让学生悟出列表法的几大窍门。
二、沟通联系,浑然一体
问题:各种方法像盘散沙,自成一家。
各种方法的较好展现固然是好,但是各种方法就如它们的名称一样,都自成一家。难道它们真的是几种完全不搭界的方法?还是也有一些共性存在,我试图去寻找它们的联系。在找寻中收获了第二颗珍珠——“沟通联系,浑然一体”
【实录】:沟通方法间的联系
师:同学们,现在让我们回过头,来认真地研究一下这几种方法,看看能不能找到它们之间的联系。
师:如果有用这种方法凑脚数的话,它是有方程的思想在里面的,(板书:方程)好,同学们仔细研究一下,这几种方法的联系。
生:画图法和假设法是同一种方法。
师:这两种方法一起看的话,在数学里是很重要的思想,叫数形结合。
生:方程和列表是同一种方法。
师:说的很好。再仔细看看,这几种方法是不是有同样的思想存在呢?
生:都是有假设思想。
师:说的太好了!只是有的是假设后,一步到位,有的是假设后慢慢调整。接下来我们要去解决问题,到底选择哪种方法,就看自己的喜欢。
闪光之处:
从教方法到教思想,是一种不同的境界和高度。在这个环节中,教师创设平台让学生去领会方法中蕴含的思想。学生容易找到画图法和假设法,不定方程法和列表法它们两两相似,而且思想几近一致。但教学并没有止步于此,而是让学生更进一步找这四种方法共同存在的思想——假设。将来学生或许会忘却具体的解决方法,但是只要想到假设思想,就定能解决鸡兔同笼问题。
三、破立之间,建构模型
问题:如何能让学生有较强的解决生活中鸡兔同笼问题的能力?
其实会解决鸡兔同笼这个历史名题并不难,难的是:能够解决各种由鸡兔同笼变式出来的生活问题。而学习鸡兔同笼问题的一部分价值也正在于此,如何能让学生拥有这样的能力呢?于是就有了第三颗珍珠——“破立之间,建构模型”
“立”基本模型
【实录】:
1.初建模型
师:龟鹤共11只,脚共32只。问龟几只?鹤几只?
你能解决吗?试试。
生:(独立解决)
师:说说,龟鹤各几只,你是用什么方法做的?
生:龟是5只,鹤是6只。用画图法的……
生:龟是5只,鹤是6只。用列表法的……
师:为什么大家都用解决鸡兔同笼问题时的方法来解决这个问题呢?
生:它和鸡兔同笼是一样的。鸡和鹤都是2只脚,兔和乌龟都是4只脚的。
师:其实,鸡兔同笼从中国传到日本,日本人才改名为“龟鹤问题”的。如果现在给你们一个重新取名的机会,你会取名为什么呢?
生:鸭猫问题……
师:虽然大家取的名字听起来有些可笑,但是从数学的角度看,都抓住了问题的本质特征,在脑子里,初步建立了这类问题的模型。
“破”基本模型
2.完善模型
师:生活中也有类似的问题,请看这是什么?(课件:四副照片,由学生自主选择看照片,然后引出相关的题)
师:12张乒乓球桌上同时有34人在比赛。正在进行单打与双打的球桌各有几张?是鸡兔同笼问题吗?
生:是鸡兔同笼问题。
生:12张乒乓球桌就是12个头,34人就是34条腿。单打就是鸡,双打就是兔子。
师:小明的储蓄罐里有12张2元、5元的纸币共30元。2元纸币有几张?5元纸币有几张?是鸡兔同笼问题吗?
生:是的。12张就是12个头,30元就是30只脚,2元纸币就是鸡,5元纸币就是5只脚的怪兔。
生:58名同学去划船,租了10条船,每条大船坐9人,每条小船坐5人。问大船要几条?小船要几条?
师:这是鸡兔同笼问题吗?你是怎么想的?
生:10条船就是10个头,58名同学就是58条腿,大船相当于9条腿的怪兔,小船相当于5条腿的怪鸡。
师:在这个活动中,把生活中的问题与鸡兔同笼问题建立了联系,大家发挥了很强的想象力,甚至想象出了5条腿的怪兔,3条腿的怪鸡。说明大家头脑中的模型越来越清晰、完整。那么选择其中的一题进行解决吧。
生:(独立解决)
师:校对
再现模型
3.再现模型
师:能不能编编生活中鸡兔同笼问题呢?
生编在作业纸上,师展示。
闪光之处:
从取名——初建模型,到和历史名题建立联系——完善模型,最后编鸡兔同笼问题——再现模型,是循序渐进的过程。在其间,初建模型是“立”基本模型,完善模型环节则是“破”基本模型,建更完整的模型。“破与立”之间,模型更完善与深刻,使“建立模型,由点及面”这颗珍珠更熠熠生辉。
结束语:
磨课的过程是痛苦的,迷茫中曾想过放弃,但最终还是坚持了,就如同珠蚌孕珠,在坚持中体验了痛苦、学会了包容,在坚持中收获了智慧,也在坚持中获得了圆润光洁的“珍珠”。
作者单位:浙江省金华市东苑小学
接下来,就遇到的三大难题以及在解决过程中收获的三颗“珍珠”以实录的形式,一一向大家加以阐述,敬请指正。
一、花开四朵、单表一枝
问题:如何面对多样的教材和参差的学情?
人教版 苏教版
教材:在选定内容后,我就开始翻阅各种不同版本的教材,发现不同版本的教材对解决鸡兔同笼方法各有侧重。北师大版的教材以介绍列表法为主;人教版的教材主要介绍列表和方程法;苏教版的教材则主要介绍画图和列表。
学情:通过初次试教,了解到学生课前对鸡兔同笼问题也并非一无所知,有一部分在奥数班学习中已掌握了用假设法解,也有个别能用方程的方法解,原来没有基础的学生也会通过自己动脑筋凑出正确答案。
不同的教材和参差的学情,使教学设计曾一度陷入了困境,让我不得不重新审视教材、揣摩学情,找寻理想的教学支点,以期能够在教材的“主”方法和学生的“众”方法之间找到平衡。经过慎重考虑和多次实践,最后解决了这一问题,孕育出了第一颗珍珠——“花开四朵,单表一枝”
【实录】:
“花开四朵”
今有鸡兔同笼,上有10头,下有28足,问鸡兔各几何?
师:我们来试试,看能不能通过自己的努力求出鸡、兔各几只?有困难的同学可以与边上的同学讨论。
生:(独立做)
师巡视,找不同的解题方法,让学生写在黑色卡纸上。
师:我们班的同学真不错,想了很多办法解决这个鸡兔同笼问题。我们一起来欣赏一下。
展示第一种方法:
(10×4-28)÷(4-2)=6只 10-6=4只
生:(解释)
(28-10×2)÷(4-2)=4只 10-4=6只
生:解释
师:你们这种方法是在哪里学的?
生:奥数班。
师:知道叫什么方法吗?
生:假设法。(板书:假设)
师:同学们,我们来检验一下你们的答案是不是正确。怎么检验?
生:看看脚是不是28只。
师:好。2×6+4×4是不是28只呢?
生:是的。
展示第二种方法:(画图)
师:请这位同学解释一下。
生:这些是10个头,然后先在每个头下面画上2只脚,这样就都成了鸡,而脚只有20只,说明还要添上8只脚,就2只2只添上去……结果也是兔4只,鸡6只。
师:画图是一种好办法,当我们遇到问题不知道从哪里下手的时候就可以画图。当然我们可以画得更简洁美观一些。
展示第三种方法:(方程法)
2×()+4×(10- )=28
生:如果第一个()填2,那么第二个就是(10-2),这样去试。最后我知道了,鸡6只,兔4只时正好等于28。
师:很好,这也可以看成是方程。
展示第四种方法:6+28=34 8+24=32 10+20=30 12+16=28鸡6只,兔4只
生:我是在算脚的只数,算到第四次的时候发现对了。
师:如果把他的这种思想方法列在表格里,就是我们今天重点要研究的列表法了。同学们,接下来我们就来研究列表法。(板书:列表)
“单表一枝”
在教材的主方法上,北师大版、苏教版、人教版教材不谋而合——其中都介绍了列表法。列表法蕴含了丰富的数学思想,且充分地体现了不同学生学习不同的数学。人教版推荐方程法,并将这一内容安排在六年级上册学习用方程解决问题之后,具有达到巩固用方程解决问题的用意。斟酌再三,本课以北师大版教材为主,其他教材为辅,单表列表法这“一枝花”。(详见教学实录片段)
探索列表法:
今有鸡兔同笼,上有10头,下有28足,问鸡兔各几只?
1.第一次列表
师:出示
师:我们可以从鸡有几只开始?
生:鸡1只,兔9只,脚有38只。
师:然后鸡……
生:然后就鸡2只,兔8只,脚36只。鸡3只,兔7只,脚有34只。……
师:怎么共有几只脚,算得这么快呢?
生:鸡每增加一只,兔就减少一只,脚数就会减少2只。
师:很棒。鸡每减少一只,兔每增加一只,脚数就会……?
生:会增加2只。
师:好,那我们接着往下写。
师:很能干,最后凑到了脚数是28只。让我们数一数,假设鸡1只,兔9只,总共算了几次脚数。
生:6次。
师:这个效率好像不是很……
生:效率不高。
师:那让我们一起来动动脑筋,看有没有提高效率的方法。
生:开始的时候假设是鸡5只,兔5只,脚有30只。鸡6只,兔4只,脚就是28只。
师:哦?!对半分。你一下就到了这里,再调整一次就成功了。对半分,好办法。
师:命中率真高。但是这有一个问题,如果在鸡5只,兔5只,脚有30只之后,我朝着相反的方向去凑,鸡4只,兔6只去想,那么岂不是南辕北辙啦,越走越远啦?
生:当你看到,脚数太多时就是兔要减少,脚数太少就是兔要增加。
师:太棒了,原来还有窍门的。还有谁也知道这个窍门呢?
生:脚数太多时就是兔要减少,脚数太少就是兔要增加。
2.《孙子算经》中历史名题
师:大家都来施展一下自己的数学才华,同桌两人合作用列表的方法做做这道历史名题。看看,在做的过程中,能不能找到更好的方法提高命中率。
生(用列表法解)
今有鸡兔同笼,上有35头,下有94足,问:鸡、兔共几何?
师展示学生的作业纸。
师:他是调了7次,得到了正确答案。有没有比他少的?拿上来展示,并说出你比他高明在什么地方。
生2:
生2:我想106只脚和94只脚相差比较大,所以鸡两只两只增加。
师:很好,确实次数也少了。还有更少的吗,说出你又是高明在哪里?
生3:
生3:106只脚和94相差12只脚,说明鸡要增加6只。
师:她高明就高明在提高了计算的含量。
师:我们班的同学太厉害了,不管先假设有几只鸡和兔,最后都能经过调整,得出正确答案,而且还发现了这么多可以提高列表法效率的好窍门。
闪光之处:
如果说“花开四朵”是顺应学情,充分展示学生的各种解决方法,那么“单表一枝”则是对学生已有水平的提升,是面对多样教材的一种选择。所以说“花开四朵,单表一枝”是针对参差的学情和多样的教材找到的一个平衡。
而其中“单表一枝”更蕴含了设计者的匠心。怎样用好列表法,是这节课的难点所在。如何让学生抽丝剥茧自己“悟”到其窍门所在,是我们设计者最期望达到的教学效果。从以上“单表一枝”的实录中,我们不难发现教师的几个(黑体)关键问句,巧妙地让学生悟出列表法的几大窍门。
二、沟通联系,浑然一体
问题:各种方法像盘散沙,自成一家。
各种方法的较好展现固然是好,但是各种方法就如它们的名称一样,都自成一家。难道它们真的是几种完全不搭界的方法?还是也有一些共性存在,我试图去寻找它们的联系。在找寻中收获了第二颗珍珠——“沟通联系,浑然一体”
【实录】:沟通方法间的联系
师:同学们,现在让我们回过头,来认真地研究一下这几种方法,看看能不能找到它们之间的联系。
师:如果有用这种方法凑脚数的话,它是有方程的思想在里面的,(板书:方程)好,同学们仔细研究一下,这几种方法的联系。
生:画图法和假设法是同一种方法。
师:这两种方法一起看的话,在数学里是很重要的思想,叫数形结合。
生:方程和列表是同一种方法。
师:说的很好。再仔细看看,这几种方法是不是有同样的思想存在呢?
生:都是有假设思想。
师:说的太好了!只是有的是假设后,一步到位,有的是假设后慢慢调整。接下来我们要去解决问题,到底选择哪种方法,就看自己的喜欢。
闪光之处:
从教方法到教思想,是一种不同的境界和高度。在这个环节中,教师创设平台让学生去领会方法中蕴含的思想。学生容易找到画图法和假设法,不定方程法和列表法它们两两相似,而且思想几近一致。但教学并没有止步于此,而是让学生更进一步找这四种方法共同存在的思想——假设。将来学生或许会忘却具体的解决方法,但是只要想到假设思想,就定能解决鸡兔同笼问题。
三、破立之间,建构模型
问题:如何能让学生有较强的解决生活中鸡兔同笼问题的能力?
其实会解决鸡兔同笼这个历史名题并不难,难的是:能够解决各种由鸡兔同笼变式出来的生活问题。而学习鸡兔同笼问题的一部分价值也正在于此,如何能让学生拥有这样的能力呢?于是就有了第三颗珍珠——“破立之间,建构模型”
“立”基本模型
【实录】:
1.初建模型
师:龟鹤共11只,脚共32只。问龟几只?鹤几只?
你能解决吗?试试。
生:(独立解决)
师:说说,龟鹤各几只,你是用什么方法做的?
生:龟是5只,鹤是6只。用画图法的……
生:龟是5只,鹤是6只。用列表法的……
师:为什么大家都用解决鸡兔同笼问题时的方法来解决这个问题呢?
生:它和鸡兔同笼是一样的。鸡和鹤都是2只脚,兔和乌龟都是4只脚的。
师:其实,鸡兔同笼从中国传到日本,日本人才改名为“龟鹤问题”的。如果现在给你们一个重新取名的机会,你会取名为什么呢?
生:鸭猫问题……
师:虽然大家取的名字听起来有些可笑,但是从数学的角度看,都抓住了问题的本质特征,在脑子里,初步建立了这类问题的模型。
“破”基本模型
2.完善模型
师:生活中也有类似的问题,请看这是什么?(课件:四副照片,由学生自主选择看照片,然后引出相关的题)
师:12张乒乓球桌上同时有34人在比赛。正在进行单打与双打的球桌各有几张?是鸡兔同笼问题吗?
生:是鸡兔同笼问题。
生:12张乒乓球桌就是12个头,34人就是34条腿。单打就是鸡,双打就是兔子。
师:小明的储蓄罐里有12张2元、5元的纸币共30元。2元纸币有几张?5元纸币有几张?是鸡兔同笼问题吗?
生:是的。12张就是12个头,30元就是30只脚,2元纸币就是鸡,5元纸币就是5只脚的怪兔。
生:58名同学去划船,租了10条船,每条大船坐9人,每条小船坐5人。问大船要几条?小船要几条?
师:这是鸡兔同笼问题吗?你是怎么想的?
生:10条船就是10个头,58名同学就是58条腿,大船相当于9条腿的怪兔,小船相当于5条腿的怪鸡。
师:在这个活动中,把生活中的问题与鸡兔同笼问题建立了联系,大家发挥了很强的想象力,甚至想象出了5条腿的怪兔,3条腿的怪鸡。说明大家头脑中的模型越来越清晰、完整。那么选择其中的一题进行解决吧。
生:(独立解决)
师:校对
再现模型
3.再现模型
师:能不能编编生活中鸡兔同笼问题呢?
生编在作业纸上,师展示。
闪光之处:
从取名——初建模型,到和历史名题建立联系——完善模型,最后编鸡兔同笼问题——再现模型,是循序渐进的过程。在其间,初建模型是“立”基本模型,完善模型环节则是“破”基本模型,建更完整的模型。“破与立”之间,模型更完善与深刻,使“建立模型,由点及面”这颗珍珠更熠熠生辉。
结束语:
磨课的过程是痛苦的,迷茫中曾想过放弃,但最终还是坚持了,就如同珠蚌孕珠,在坚持中体验了痛苦、学会了包容,在坚持中收获了智慧,也在坚持中获得了圆润光洁的“珍珠”。
作者单位:浙江省金华市东苑小学