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不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法、二元一次不等式组与平面区域的关系是高中学习的重要基础内容，体会不等式的意义与价值，对于我们后续学习有着重要作用. 本文通过实例介绍这方面的解题技巧，以增强同学们学习的针对性和有效性.
1. 比较大小
例1 已知[a+b<0]，且[a>0]，则（ ）
A. [a2<-ab C. [a2 思路分析由已知条件得到[b<0,a<-b]，然后根据不等式的性质解决，亦可用特殊值法.
解析方法一：由[a+b<0]，且[a>0]，得[b<0,0 方法二：（特殊值法）令[a=1,b=-2,]则[a2=1,-ab=2,b2=4]，从而[a2<-ab 点拨涉及不等式性质的问题，一般来说，对于多项式、指数、对数字母型关系式，根据题设条件，寻求特殊值法比较方便.
例2 已知[x、y∈R,M=x2+y2+1,N=x+y][+xy]，则[M]与[N]的大小关系是.
思路分析由于[a-b>0⇔a>b,][a-b<0⇔a][ 解析[M-N=x2+y2+1-x-y-xy]
[=12[(x2+y2-2xy)+(x2-2x+1)+(y2-2y+1)]]
[=12[(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2]≥0,]
[∴M≥N,]
点拨作差法比较大小的步骤是：作差→变形→判断符号→下结论，其中变形为积（商）的形式或非负实数和的形式有利于符号的确定.
2. 证明不等式
例3 已知[a>b>0,c>d>0]，求证：[ad>bc].
思路分析由于直接证明思路不太清晰，故不妨从要证明的结论逆推，寻求证明思路，因为[ad>bc⇔ad>bc⇔ac>bd]，再根据已知条件结合不等式的性质可证明[ac>bd]成立.
解析因为[a>b>0]且[c>d>0]，
所以[ac>bd>0]，所以[ad>bc>0]，
所以[ad>bc].
点拨用不等式性质证明不等式时，可将要证明的结论变式，得到一个容易证明的新结论，即可得到证明思路.
例4 已知[a、b∈R,求证：a4+b4≥a3b+ab3.]
思路分析待证式子字母次数较高，用不等式的性质直接难以证明，且观察到作差后容易判断符号，故可用作差法证明.
解析[a4+b4-a3b-ab3=a3(a-b)+b3(b-a)]
[=(a-b)(a3-b3)][=(a-b)2(a2+ab+b2)]
[=(a-b)2[(a+b2)2+34b2]≥0,]
当且仅当[a=b]时取等号，
[∴a4+b4≥a3b+ab3.]
点拨作差法既可作为比较大小的方法也可作为证明不等式的方法，要重点掌握好配方、通分，因式分解、分母有理化等解题方法的应用，并注意取等号的条件.
3. 求取值范围问题
例5 设实数[x、y]满足[3≤xy2≤8,4≤x2y≤9]，则[x3y4]的最大值是．
思路分析观察已知式和待求式子的结构可知，用含[xy2]及[x2y]的式子表示[x3y4]，再结合不等式的性质，即可得到[x3y4]的取值范围.
解因为[3≤xy2≤8]，所以[18≤1xy2≤13]，
又因为[4≤x2y≤9]，所以[x3y4=x4y2⋅1xy2∈[2,27]]，
故[x3y4]的最大值是27.
点拨此类求式子取值范围的问题可用不等式的性质解决，关键掌握好将待求式子用已知式子整体代换的方法.
4. 解一元二次不等式
例6解下列不等式：
（1）[x2-3x-4≤0]；
（2）[-2x2+3x-2<0.]
思路分析（1）左边可以进行因式分解，可以直接由符号及不等号方向判断解集形式. （2）可先将二次项系数化为正，求出[Δ]，再结合抛物线性质直观判断解集.
解（1）[x2-3x-4≤0⇔(x-4))(x+1)≤0,]
[∴-1≤x≤4]，
所以原不等式的解集为[{x|-1≤x≤4}].
（2）[-2x2+3x-2<0,2x2-3x+2>0,]
[∵Δ=9-4×2×2=-7<0,]
又二次函数[y=2x2-3x+2]的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.
点拨解一元二次不等式一般步骤是：①将二次项系数化为正；②求[Δ]；③求出相应一元二次方程的根或根据[Δ<0]说明方程没有实根；④根据对应函数图象与[x]轴的位置关系，写出不等式的解集.
5. 解含有参数的一元二次不等式
例7解关于[x]的不等式：[2x2+ax+2>0(a∈R)]
思路分析本题含有参数，所以在求解时，对应的方程是否有根要讨论. 根存在时，两根的大小也要讨论.
解[Δ=a2-16.]
①当[Δ<0]，即[-4 ②当[Δ≥0]时，即[a≥4]或[a≤-4]，方程的两根为[x1=14(-a-a2-16)]，[x2=14(-a+a2-16).]
当[a=-4]时，不等式的解集为[{x|x≠1 且x∈R};]
当[a=4]时，不等式的解集为[{x|x≠-1 且x∈R};]
当[a>4]或[a<-4]时，[x2>x1]，不等式的解集为[{x|x<14(-a-a2-16)]或[x>14(-a+a2-16)}.]
点拨对解含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，可能产生的讨论形式为：①二次项系数若含有参数，应讨论等于0、小于0及大于0三种情况，然后将二次项系数化为正；②讨论方程的判别式与0的关系；③确定方程无根时，可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.
6. 简单高次不等式的解法
例8 不等式[x-2x2+3x+2>0]的解集是 .
思路分析由于不等式[x-ax-b>0⇔(x-a)(x-b)][>0]，即将分式不等式化为整式不等式.
解[x-2x2+3x+2>0⇔x-2(x+2)(x+1)>0]
[⇔(x-2)(x+2)(x+1)>0.]
由图可知原不等式的解集为[{x|-22}].
[-2 -1][2]
点拨分式不等式的解法一般先化为整式不等式，若化后是高次不等式，则可用数轴标根法写出解集. 同时，要注意形如[x-ax-b≥0]的不等式应化为[(x-a)(x-b)≥0x-b≠0]，而不是[(x-a)(x-b)≥0.]
7. 简单的恒成立问题
例9若关于[x]的不等式[(a-2)x2+2(a-2)x-4][<0]在[R]上恒成立，则[a]的取值范围为（ ）
A. [(-2,2]] B. [[-2,2]]
C. [(-∞,-2)⋃[2,+∞)] D. [(-∞,-2]⋃(2,+∞)]
思路分析此題二次项系数含有参数，需讨论[a-2=0]和[a-2≠0]两种情况，当[a-2≠0]时，由二次函数的图象可知，要使不等式在[R]上恒成立，只需二次项系数小于0且[Δ<0].
解当[a-2=0]即[a=2]，原不等式为[-4<0]恒成立.
当[a-2≠0]时，要使原不等式的解集为[R]，只需[a-2<0,Δ=4(a-2)2+16(a-2)<0.]
解得[-2 综上，实数[a]的取值范围为[(-2,2]]，故选A.
点拨此类问题的解决方法可总结如下：
（1）[ax2+bx+c>0(a≠0)]恒成立[⇔a>0Δ<0]；
（2）[ax2+bx+c<0(a≠0)]恒成立[⇔a<0Δ<0]；
（3）对于[a=0]，需单独讨论.
8. 一元二次不等式与相应函数、方程的联系问题
例10若不等式[ax2+bx+c>0]的解集为[{x|-3 思路分析由已知不等式的解集，则可得到相应一元二次方程的根及[a]的符号，由根与系数的关系可得到[a、b、c]之间的关系，进而化简待求不等式.
解由已知得[a<0]，且[-3]、4是方程[ax2+bx+c=0]的两根，
由韦达定理得[-3+4=-ba,-3×4=ca,]
解得[b=-a,c=-12a]，
所以不等式[bx2+2ax-c-3b<0,]
即为[-ax2+2ax+15a<0]，两边同除以[-a>0]，
即[x2-2x-15<0]，[(x-5)(x+3)<0]，
故所求不等式的解集为[{x|-3 点拨抓住一元二次不等式的解集与对应方程、函数图象的内在联系是解决此类问题的关键.
9. 二元一次不等式（组）表示的平面区域
例11画出不等式[x+2y-4>0]表示的平面区域.
思路分析画二元一次不等式表示的平面区域的一般步骤为：
第一步：“直线定界”，即画出边界直线[Ax+By+c=0]，要注意虚线还是实线.
第二步：“特殊点定域”，取某个特殊点[(x0,y0)]作为测试点，由该点是否满足不等式，就可确定出所给不等式表示的平面区域.
解作出直线[x+2y-4=0]， 并画成虚线， 取（0，0）代入不等式，不满足，所以（0，0）不在[x+2y-4>0]表示的平面区域内，则直线另一侧的平面区域是不等式[x+2y-4>0]表示的平面区域（如图）.
点拨（1）[y=kx+b]表示的直線将平面分成两部分，即[y>kx+b]表示直线上方部分，[y0]，则当[B>0]时，表示直线上方的平面区域；当[B<0]时，表示直线下方的平面区域. 若[Ax+By+C<0]，与上述情况相反. 也可取某区域特殊点来判断不等式表示的区域. （2）在确定二元一次不等式表示的平面区域的基础上，进而可以确定二元一次不等式组表示的平面区域，即只要取它们的公共区域即可.
10. 与平面区域面积有关的问题
例12若不等式组[x≥0,x+3y≥4,3x+y≤4]所表示的平面区域被直线[y=kx+43]分为面积相等的两部分，则[k]的值是（ ）
A. [73]B. [37] C. [43]D. [34]
思路分析先画出平面区域，弄清楚不等式组表示的区域是什么图形，再根据被直线分成两部分面积相等求解.
解不等式组表示如图所示的阴影部分[△ABC]
由[x+3y=4,3x+y=4,]得[A(1,1).]又[B(0,4)]，[C(0,43)]，
得[SΔABC=12(4-43)×1=43]，
设[y=kx+43]与[3x+y=4]的交点为[D]，
则由[SΔBCD=12SΔABC=23],知[xD=12]，则[yD=52]，
因此[52=k×12+43,k=73]，故选A.
点拨解决有关平面区域面积的问题，首先作出平面区域，探求平面区域图形的性质,然后利用面积公式求解.
1. 比较大小
例1 已知[a+b<0]，且[a>0]，则（ ）
A. [a2<-ab
解析方法一：由[a+b<0]，且[a>0]，得[b<0,0
例2 已知[x、y∈R,M=x2+y2+1,N=x+y][+xy]，则[M]与[N]的大小关系是.
思路分析由于[a-b>0⇔a>b,][a-b<0⇔a][
[=12[(x2+y2-2xy)+(x2-2x+1)+(y2-2y+1)]]
[=12[(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2]≥0,]
[∴M≥N,]
点拨作差法比较大小的步骤是：作差→变形→判断符号→下结论，其中变形为积（商）的形式或非负实数和的形式有利于符号的确定.
2. 证明不等式
例3 已知[a>b>0,c>d>0]，求证：[ad>bc].
思路分析由于直接证明思路不太清晰，故不妨从要证明的结论逆推，寻求证明思路，因为[ad>bc⇔ad>bc⇔ac>bd]，再根据已知条件结合不等式的性质可证明[ac>bd]成立.
解析因为[a>b>0]且[c>d>0]，
所以[ac>bd>0]，所以[ad>bc>0]，
所以[ad>bc].
点拨用不等式性质证明不等式时，可将要证明的结论变式，得到一个容易证明的新结论，即可得到证明思路.
例4 已知[a、b∈R,求证：a4+b4≥a3b+ab3.]
思路分析待证式子字母次数较高，用不等式的性质直接难以证明，且观察到作差后容易判断符号，故可用作差法证明.
解析[a4+b4-a3b-ab3=a3(a-b)+b3(b-a)]
[=(a-b)(a3-b3)][=(a-b)2(a2+ab+b2)]
[=(a-b)2[(a+b2)2+34b2]≥0,]
当且仅当[a=b]时取等号，
[∴a4+b4≥a3b+ab3.]
点拨作差法既可作为比较大小的方法也可作为证明不等式的方法，要重点掌握好配方、通分，因式分解、分母有理化等解题方法的应用，并注意取等号的条件.
3. 求取值范围问题
例5 设实数[x、y]满足[3≤xy2≤8,4≤x2y≤9]，则[x3y4]的最大值是．
思路分析观察已知式和待求式子的结构可知，用含[xy2]及[x2y]的式子表示[x3y4]，再结合不等式的性质，即可得到[x3y4]的取值范围.
解因为[3≤xy2≤8]，所以[18≤1xy2≤13]，
又因为[4≤x2y≤9]，所以[x3y4=x4y2⋅1xy2∈[2,27]]，
故[x3y4]的最大值是27.
点拨此类求式子取值范围的问题可用不等式的性质解决，关键掌握好将待求式子用已知式子整体代换的方法.
4. 解一元二次不等式
例6解下列不等式：
（1）[x2-3x-4≤0]；
（2）[-2x2+3x-2<0.]
思路分析（1）左边可以进行因式分解，可以直接由符号及不等号方向判断解集形式. （2）可先将二次项系数化为正，求出[Δ]，再结合抛物线性质直观判断解集.
解（1）[x2-3x-4≤0⇔(x-4))(x+1)≤0,]
[∴-1≤x≤4]，
所以原不等式的解集为[{x|-1≤x≤4}].
（2）[-2x2+3x-2<0,2x2-3x+2>0,]
[∵Δ=9-4×2×2=-7<0,]
又二次函数[y=2x2-3x+2]的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.
点拨解一元二次不等式一般步骤是：①将二次项系数化为正；②求[Δ]；③求出相应一元二次方程的根或根据[Δ<0]说明方程没有实根；④根据对应函数图象与[x]轴的位置关系，写出不等式的解集.
5. 解含有参数的一元二次不等式
例7解关于[x]的不等式：[2x2+ax+2>0(a∈R)]
思路分析本题含有参数，所以在求解时，对应的方程是否有根要讨论. 根存在时，两根的大小也要讨论.
解[Δ=a2-16.]
①当[Δ<0]，即[-4
当[a=-4]时，不等式的解集为[{x|x≠1 且x∈R};]
当[a=4]时，不等式的解集为[{x|x≠-1 且x∈R};]
当[a>4]或[a<-4]时，[x2>x1]，不等式的解集为[{x|x<14(-a-a2-16)]或[x>14(-a+a2-16)}.]
点拨对解含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，可能产生的讨论形式为：①二次项系数若含有参数，应讨论等于0、小于0及大于0三种情况，然后将二次项系数化为正；②讨论方程的判别式与0的关系；③确定方程无根时，可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.
6. 简单高次不等式的解法
例8 不等式[x-2x2+3x+2>0]的解集是 .
思路分析由于不等式[x-ax-b>0⇔(x-a)(x-b)][>0]，即将分式不等式化为整式不等式.
解[x-2x2+3x+2>0⇔x-2(x+2)(x+1)>0]
[⇔(x-2)(x+2)(x+1)>0.]
由图可知原不等式的解集为[{x|-2
[-2 -1][2]
点拨分式不等式的解法一般先化为整式不等式，若化后是高次不等式，则可用数轴标根法写出解集. 同时，要注意形如[x-ax-b≥0]的不等式应化为[(x-a)(x-b)≥0x-b≠0]，而不是[(x-a)(x-b)≥0.]
7. 简单的恒成立问题
例9若关于[x]的不等式[(a-2)x2+2(a-2)x-4][<0]在[R]上恒成立，则[a]的取值范围为（ ）
A. [(-2,2]] B. [[-2,2]]
C. [(-∞,-2)⋃[2,+∞)] D. [(-∞,-2]⋃(2,+∞)]
思路分析此題二次项系数含有参数，需讨论[a-2=0]和[a-2≠0]两种情况，当[a-2≠0]时，由二次函数的图象可知，要使不等式在[R]上恒成立，只需二次项系数小于0且[Δ<0].
解当[a-2=0]即[a=2]，原不等式为[-4<0]恒成立.
当[a-2≠0]时，要使原不等式的解集为[R]，只需[a-2<0,Δ=4(a-2)2+16(a-2)<0.]
解得[-2
点拨此类问题的解决方法可总结如下：
（1）[ax2+bx+c>0(a≠0)]恒成立[⇔a>0Δ<0]；
（2）[ax2+bx+c<0(a≠0)]恒成立[⇔a<0Δ<0]；
（3）对于[a=0]，需单独讨论.
8. 一元二次不等式与相应函数、方程的联系问题
例10若不等式[ax2+bx+c>0]的解集为[{x|-3
解由已知得[a<0]，且[-3]、4是方程[ax2+bx+c=0]的两根，
由韦达定理得[-3+4=-ba,-3×4=ca,]
解得[b=-a,c=-12a]，
所以不等式[bx2+2ax-c-3b<0,]
即为[-ax2+2ax+15a<0]，两边同除以[-a>0]，
即[x2-2x-15<0]，[(x-5)(x+3)<0]，
故所求不等式的解集为[{x|-3
9. 二元一次不等式（组）表示的平面区域
例11画出不等式[x+2y-4>0]表示的平面区域.
思路分析画二元一次不等式表示的平面区域的一般步骤为：
第一步：“直线定界”，即画出边界直线[Ax+By+c=0]，要注意虚线还是实线.
第二步：“特殊点定域”，取某个特殊点[(x0,y0)]作为测试点，由该点是否满足不等式，就可确定出所给不等式表示的平面区域.
解作出直线[x+2y-4=0]， 并画成虚线， 取（0，0）代入不等式，不满足，所以（0，0）不在[x+2y-4>0]表示的平面区域内，则直线另一侧的平面区域是不等式[x+2y-4>0]表示的平面区域（如图）.
点拨（1）[y=kx+b]表示的直線将平面分成两部分，即[y>kx+b]表示直线上方部分，[y
10. 与平面区域面积有关的问题
例12若不等式组[x≥0,x+3y≥4,3x+y≤4]所表示的平面区域被直线[y=kx+43]分为面积相等的两部分，则[k]的值是（ ）
A. [73]B. [37] C. [43]D. [34]
思路分析先画出平面区域，弄清楚不等式组表示的区域是什么图形，再根据被直线分成两部分面积相等求解.
解不等式组表示如图所示的阴影部分[△ABC]
由[x+3y=4,3x+y=4,]得[A(1,1).]又[B(0,4)]，[C(0,43)]，
得[SΔABC=12(4-43)×1=43]，
设[y=kx+43]与[3x+y=4]的交点为[D]，
则由[SΔBCD=12SΔABC=23],知[xD=12]，则[yD=52]，
因此[52=k×12+43,k=73]，故选A.
点拨解决有关平面区域面积的问题，首先作出平面区域，探求平面区域图形的性质,然后利用面积公式求解.