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【摘要】本文通过三个教学片段，举例说明课堂上怎样培养高中生立体几何的直观感知能力，并对本课作反思。
【关键词】直观感知 操作确认 思辨论证 度量计算 培养
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）28-0122-02
1.发现问题
人教A版《数学2》导引中指出：“直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算是认识和探索几何图形及其性质的主要方法[1]”，那么，高中立体几何怎样进行学生直观感知能力的培养？本文选取“直线与平面垂直的判定”的三个片段为例，谈谈对此问题的一些思考，旨在交流分享。
2.直观感知的理解
徐利治先生提出：“直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。”[2]立体几何的直观感知能力是空间想象力的重要方面，它是以空间几何体为载体，通过空间点、线、面位置的观察，感知它们之间的空间关系，从而作出判断。但是，直观感知能力受个人经验、直观洞察力、判断能力等主观因素的限制，所作出判断不一定是正确的，还需要确认。确认的方式有三种：操作确认，思辨论证，度量计算。所以，直观感知能力的培养是离不开这三种方式的。在教学中一定要有机结合起来。
3.三个教学片段
3.1教学片段1直线与平面垂直的定义
情景设置在阳光下，直立于地面的旗杆与它的影子
问题1旗杆与影子是否垂直？旗杆与地面上的任意直线a，b是否都垂直？你能用两支笔说明吗？
设计意图 直观感知垂直的两条直线是相交或异面直线
问题2 如果一条直线与一个平面垂直，那么直线与平面内的直线是怎样的关系？你能给直线与平面垂直下一个定义吗？
设计意图 从具体到抽象、从特殊到一般，归纳出定义
片段说明 旗杆垂直地面的现象是学生观察到，這是学生的生活经验。旗杆与影子垂直，这是初中平面几何中的“两相交直线垂直”，存在垂足。但两异面直线垂直且没有垂足，学生“人生字典”里翻不到了。在教师引导下，通过平行关系转化为判断相交直线是否垂直，从而确认两异面直线是否垂直。从这里可以看出，直观感知能力受个人经验的限制，需要借助度量计算或推理论证来打开局限性。
3.2教学片段2 探究 如图，将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，把翻折后的纸片竖起放置在桌面上，使BD、DC与桌面接触，观察折痕AD与桌面的位置关系。
问题1 如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？
设计意图 通过操作调整获得正确的翻折方法。
问题2上述的折痕与多少直线垂直？直线与平面垂直的定义中，直线与平面多少条直线垂直？是否需要都去说明这些垂直？
设计意图 引导学生归纳出：无数组垂直转化为有限组（两个）垂直
片段说明 通过直观感知和操作确认，归纳得到的线面垂直的判定定理，这种处理方式，使教学过程更加流畅，学生更容易接受。这种合情推理的方式，虽然不够严密，但是能得到学生的认可，有助于对定理的理解。
3.3教学片段3 直线与平面判定定理的应用
例题 已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC。
问题1 要证明：AE⊥平面PBC，需要几个条件？有哪个条件？还缺条件吗？
设计意图 从三个关系AE⊥PC，AE⊥PB，AE⊥BC中确定两个，其中AE⊥PC已知，AE⊥PB，AE⊥BC二选一
问题2 从AE⊥PB，AE⊥BC中选取哪一个呢？哪个位置好、关系多就选哪个？
设计意图 在底面内的水平线与竖直线都是比斜线位置好;题目条件中提到的直线就是关系多。
问题3 要证明AE⊥BC，你觉得AE与BC是相交直线还是异面直线？两异面直线垂直该怎么证明？
设计意图 用直线与平面垂直定义的逆命题证明
问题4 要证明BC⊥平面PAC，有哪些条件？还缺条件吗？
设计意图 通过问题1学生基本上学会“三选二”
片段说明 “直线与平面垂直判定定理”的应用易采用分析法，即从结论出发由果索源。在这个过程中，会遇到“该选哪一组垂直”的问题，那么应该怎样取舍呢？应该选择“位置好的、关系多的直线”。一般来说，水平直线与竖直直线的位置比斜线的位置好;题目中条件多的直线比没条件的直线要好。这里的“好与不好”就是一种直观感知，但是最终的选择是否恰当，还需要严密的推理确认。
4.我的感悟
（1）培养学生立体几何的直观感知能力，方法应该灵活多样。比如异面直线的既不像平行也不像相交的体会，可以先让学生用两只笔比划，再从教室里找这样的线，再用桥上通过的车与河上航行的船，让学生体会。提供足够多实例，让学生获得体会后，再纸上谈兵。应用“直线与平面平行的判定定理”时，关键是在平面内找线。可以用尺推平行线粗略找到，确定采用哪条直线。对于垂直问题，教师往往把重心放在逻辑推理上，往往忽视垂线与垂面位置的感知：斜面配斜线，水平配竖直。
（2）培养立体几何的直观感知能力，应该重视三视图，尤其要重视由三视图还原成直观图这一类问题。这似乎是“只可意会，不可言传”的一块内容，但是，教师可以从学生的认知出发，循序渐进地训练，似乎也能“言之凿凿、收获多多”。下面以棱椎为例作一说明。
要重视顶点在底面投影的位置的训练，要重视教材的配套练习：
由于学生空间想象力的不同，三视图的感知能力也不一样，需要反复训练。
（3）要常布置画图作业，使学生在画图中体会点、线、面的关系，从而提高空间直观感知能力可以尝试让学生抄题后再做题。现在的作业都是现成的课外资料，就算是老师补充的练习也是打印的，虽说这是节省了时间，但也削弱了学生画图能力。常看到学生画的立体图形全是实线，没有虚线。底面的正方形就是平面几何的正方形，正三角形就是三边相等的正三角形。被平面挡住的线段画虚线的学生就更少了，至于几何体怎么放置虚线最少那就更不讲究了。这些问题除了老师及时纠正以外，还需要学生学习与模仿。所以，布置画图作图是提高学生直观感知能力的比较好的途径。
参考文献：
[1]刘绍学.《数学2》人民教育出版社 2007.
[2]姜建平.新课程背景下空间思维障碍的突破[J].数学教学，2005（10）：5-7.
【关键词】直观感知 操作确认 思辨论证 度量计算 培养
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）28-0122-02
1.发现问题
人教A版《数学2》导引中指出：“直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算是认识和探索几何图形及其性质的主要方法[1]”，那么，高中立体几何怎样进行学生直观感知能力的培养？本文选取“直线与平面垂直的判定”的三个片段为例，谈谈对此问题的一些思考，旨在交流分享。
2.直观感知的理解
徐利治先生提出：“直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。”[2]立体几何的直观感知能力是空间想象力的重要方面，它是以空间几何体为载体，通过空间点、线、面位置的观察，感知它们之间的空间关系，从而作出判断。但是，直观感知能力受个人经验、直观洞察力、判断能力等主观因素的限制，所作出判断不一定是正确的，还需要确认。确认的方式有三种：操作确认，思辨论证，度量计算。所以，直观感知能力的培养是离不开这三种方式的。在教学中一定要有机结合起来。
3.三个教学片段
3.1教学片段1直线与平面垂直的定义
情景设置在阳光下，直立于地面的旗杆与它的影子
问题1旗杆与影子是否垂直？旗杆与地面上的任意直线a，b是否都垂直？你能用两支笔说明吗？
设计意图 直观感知垂直的两条直线是相交或异面直线
问题2 如果一条直线与一个平面垂直，那么直线与平面内的直线是怎样的关系？你能给直线与平面垂直下一个定义吗？
设计意图 从具体到抽象、从特殊到一般，归纳出定义
片段说明 旗杆垂直地面的现象是学生观察到，這是学生的生活经验。旗杆与影子垂直，这是初中平面几何中的“两相交直线垂直”，存在垂足。但两异面直线垂直且没有垂足，学生“人生字典”里翻不到了。在教师引导下，通过平行关系转化为判断相交直线是否垂直，从而确认两异面直线是否垂直。从这里可以看出，直观感知能力受个人经验的限制，需要借助度量计算或推理论证来打开局限性。
3.2教学片段2 探究 如图，将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，把翻折后的纸片竖起放置在桌面上，使BD、DC与桌面接触，观察折痕AD与桌面的位置关系。
问题1 如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？
设计意图 通过操作调整获得正确的翻折方法。
问题2上述的折痕与多少直线垂直？直线与平面垂直的定义中，直线与平面多少条直线垂直？是否需要都去说明这些垂直？
设计意图 引导学生归纳出：无数组垂直转化为有限组（两个）垂直
片段说明 通过直观感知和操作确认，归纳得到的线面垂直的判定定理，这种处理方式，使教学过程更加流畅，学生更容易接受。这种合情推理的方式，虽然不够严密，但是能得到学生的认可，有助于对定理的理解。
3.3教学片段3 直线与平面判定定理的应用
例题 已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC。
问题1 要证明：AE⊥平面PBC，需要几个条件？有哪个条件？还缺条件吗？
设计意图 从三个关系AE⊥PC，AE⊥PB，AE⊥BC中确定两个，其中AE⊥PC已知，AE⊥PB，AE⊥BC二选一
问题2 从AE⊥PB，AE⊥BC中选取哪一个呢？哪个位置好、关系多就选哪个？
设计意图 在底面内的水平线与竖直线都是比斜线位置好;题目条件中提到的直线就是关系多。
问题3 要证明AE⊥BC，你觉得AE与BC是相交直线还是异面直线？两异面直线垂直该怎么证明？
设计意图 用直线与平面垂直定义的逆命题证明
问题4 要证明BC⊥平面PAC，有哪些条件？还缺条件吗？
设计意图 通过问题1学生基本上学会“三选二”
片段说明 “直线与平面垂直判定定理”的应用易采用分析法，即从结论出发由果索源。在这个过程中，会遇到“该选哪一组垂直”的问题，那么应该怎样取舍呢？应该选择“位置好的、关系多的直线”。一般来说，水平直线与竖直直线的位置比斜线的位置好;题目中条件多的直线比没条件的直线要好。这里的“好与不好”就是一种直观感知，但是最终的选择是否恰当，还需要严密的推理确认。
4.我的感悟
（1）培养学生立体几何的直观感知能力，方法应该灵活多样。比如异面直线的既不像平行也不像相交的体会，可以先让学生用两只笔比划，再从教室里找这样的线，再用桥上通过的车与河上航行的船，让学生体会。提供足够多实例，让学生获得体会后，再纸上谈兵。应用“直线与平面平行的判定定理”时，关键是在平面内找线。可以用尺推平行线粗略找到，确定采用哪条直线。对于垂直问题，教师往往把重心放在逻辑推理上，往往忽视垂线与垂面位置的感知：斜面配斜线，水平配竖直。
（2）培养立体几何的直观感知能力，应该重视三视图，尤其要重视由三视图还原成直观图这一类问题。这似乎是“只可意会，不可言传”的一块内容，但是，教师可以从学生的认知出发，循序渐进地训练，似乎也能“言之凿凿、收获多多”。下面以棱椎为例作一说明。
要重视顶点在底面投影的位置的训练，要重视教材的配套练习：
由于学生空间想象力的不同，三视图的感知能力也不一样，需要反复训练。
（3）要常布置画图作业，使学生在画图中体会点、线、面的关系，从而提高空间直观感知能力可以尝试让学生抄题后再做题。现在的作业都是现成的课外资料，就算是老师补充的练习也是打印的，虽说这是节省了时间，但也削弱了学生画图能力。常看到学生画的立体图形全是实线，没有虚线。底面的正方形就是平面几何的正方形，正三角形就是三边相等的正三角形。被平面挡住的线段画虚线的学生就更少了，至于几何体怎么放置虚线最少那就更不讲究了。这些问题除了老师及时纠正以外，还需要学生学习与模仿。所以，布置画图作图是提高学生直观感知能力的比较好的途径。
参考文献：
[1]刘绍学.《数学2》人民教育出版社 2007.
[2]姜建平.新课程背景下空间思维障碍的突破[J].数学教学，2005（10）：5-7.